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专题14. 六类几何最值模型专项训练
本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型等。
1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形 边长为8，点 在对角线 上运动， 为
上一点， ，则 长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴点B与D关于直线 对称，
连接 ， 交 于 ，连接 ，∴ ，∴ ，
∴ 即为所求的点，∴ 的长即为 的最小值，∵正方形 ，∴ ，
，
∵ ，∴ ，∴ ．∴ 长的最小值为 ；故答案为：
．
2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图， 中， ， ， 是 的角平分
线， 是 上的动点．（1）若 ，则 的长度为 ；（2）若 是 边上的动点，则
的最小值为 ．【答案】 /
【详解】解：（1）∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，设
，
在 中，由勾股定理得 ，∴ ，
解得 或 （舍去），∴ ，∴ ，故答案为： ；
（2）如图所示，连接 ，∵ ，∴ 垂直平分 ，
∴ ，∴ ，
∴当 三点共线，且 时， ，即 最小，最小值为 的值，
∴此时有 ，∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形 的边长为4，点M在边 上， ，P为正方形
内（含边上）一点，且 ，G为边 上一动点，连接 ，则 的最小值为
．
【答案】3
【详解】解：过点P作 ，分别交 于点E，F，
∵四边形 是正方形，∴四边形 和四边形 都是矩形，
∵ ，正方形 的边长为4，∴ ，解得 ，∴ ，
作点M关于 的对称点 ，连接 ，则 ，
∴ ，∴ 的最小值为 的长，
∵ ，∴ 的最小值为3，故答案为：3．
4．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，菱形 ，P为对角线 上一动点，E为 边的中点，
连接 ．若菱形 的面积为 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，作 于 ，交 于 ，连接 ，
∵菱形 的面积为 ， ， ， ，
在 中， ， ， 与 重合，
∵四边形 是菱形， 垂直平分 ， 关于 对称，
当P与 重合时， 的值最小，最小值为 ，故答案为： ．
5．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，将线段沿x轴平移得到 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作 ，且使 ，连接 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∵点 ，∴设 ， ， ，∴ ，
作点 关于x轴的对称点 ，连接 ，交x轴于W，
∴ ，∴当点 在W处时， 最小，最小值是 的长，
∵ ，∴ 的最小值是 ，故答案为： ．
6．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，边 、
分别在 轴、 轴的正半轴上，点 、 在直线 上，且点 、 分别是 、 的中点．点
、 分别是 、 上的动点，且 ，若 ，则 的最小值为 ．【答案】 +4
【详解】解：作EE′∥AB，且EE′=AB，连接DE′，与B的C交点就是点M，此时DM+MN+NE的值最小，
∵OA=6，∴D的横坐标为6，把x=6代入y= x求得y=8，∴AD=8，∴D（6，8），
∵点O、B分别是DE、AD的中点，∴MN=AB=EE′=4，∴E′（-6，-4），
∴DE′= ，∴DM+MN+NE=DE′+MN= +4，故答案为： +4．
7．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的顶点O在坐标原点，顶
点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上， ， ，D为边 的中点．若E，F为边 上的两个动
点，且 ，当四边形 的周长最小时，点F的坐标为【答案】
【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点 ，在 边上截取 ，连接 与x轴交于点E，在
上截取 ，而 ， ，结合平移的性质可得 ，
又 、EF的长为定值， 此时得到的点E、F使四边形 的周长最小．
∵ ， ，D为 的中点，∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；故答案为： ．
8．（23-24八年级下·广东广州·期末）在矩形 中， ， ，G，H分别是边AB与边
CD上的点，且 ．动点P从点D出发，沿 向点A运动，同时动点Q从点B出发，沿 向点
C运动，点P，Q的运动速度都是 ，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间
为t．连接 ， ， ， ．(1)如图1，求证：四边形 为平行四边形；(2)在点P，Q移动的过程中，求四边形 周长的最小值；(3)如图2，当四边形 是菱形时，且 ，求t
的值．
【答案】(1)见解析(2) (3)
【详解】（1）证明：由题可得 ， ，
又∵ 是矩形，∴ ，
∴ ，∴ ，同理可得： ，∴四边形 为平行四边形；
（2）解：∵ 为平行四边形，∴四边形 周长为 ，
作点H关于AD的对称点 ，连接 ，则 ， ，
∴ ，则当P、G、 三点共线时， 最小，
这时，过点 作 于点M，则 ， ，
∴ ，∴四边形 周长的最小值为 ；
（3）解：设 ，∵ ，∴ ， ，
∵ 是菱形，∴ ，即 ，即 ①，又∵ ，∴ ，即 ②，联立①②解得： ．
9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边 中， ，将 沿 翻折，得到 ，
连接 ，交 于O点，E点在 上，且 ，F是 的中点，P是 上的一个动点，则
的最大值为 ．
【答案】
【详解】解： 为等边三角形， ， ，
将 沿 翻折，得到 ， ， 四边形 为菱形，
∴ ， ， ，∴ 是 边上的中线，
如图，连接 ，交 于 ，
∵F是 的中点，∴ 是 边上的中线， 的角平分线，∴ ， ，
，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴当点P运动到点A时， 最大，最大为 ，∵ ，∴ ，由勾股定理得，
，∴ ，故答案为： ．
10．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形 中， 是对称轴 上的一
个动点，连接 将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则在点 运动过程中， 的最小
值是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】解：如图，连接 ．
由旋转可得 ， ， 是等边三角形， ， ，
，
在 和 中 ， ， ，
边长为8的等边三角形中， 是对称轴 上的一个动点， 平分 ，且垂直平分
， ， ，即点的运动轨迹为直线 ，
当 时， 最短，此时 ， 的最小值是2，故选：C．
11．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，已知等边 的边长为4，点D，E分别在边 ，
上， ．以 为边向右作等边 ，则 的最小值为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作 于点H，作射线 ，则 ，
∵ 和 都是等边三角形，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴点F在经过点C且与 垂直的直线上运动，
作 交 的延长线于点L，则 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴点L与点A关于直线 对称，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ，故选：C．
12．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，在等边三角形 中， ，点 分别在边
上，且 ，动点 从点 出发沿射线 运动，以 为边向右侧作等边三角形 ，
连接 ．(1)求证： 是等边三角形；(2)当点P在线段 上运动时，求 与 之间的数量关系；
(3)如图2，当点 在线段 的延长线上运动时． ① __________度；②当 时，求 的
长；(4)连接 ，直接写出 的最小值．
【答案】(1)见解析(2) (3)① ；②16(4)20
【详解】（1）证明： 是等边三角形， ， ，
， ，即 ， 是等边三角形；
（2） 是等边三角形， ， ，
是等边三角形， ， ，
，即 ，
在 与 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
（3）① 和 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，则 ，∴ ，即 ；
②由①可得 ． 是等边三角形，∴ ， ，
． ， ，
， ；
（4）作点 关于 的对称点 ，连接 ，如图，则 ，
由（2）和（3）可知动点 从点 沿射线 运动过程中， ，，即点 在 外角的角平分线上运动，
若 最小，即 最小．当点 与点 重合时， 最小，
此时最小值为 ，则 最小值为20．
13．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图①，在 中， ， ， ，
点O为 内一点，连接 ， ， ，且 ，以点B为旋转中心，
将 绕点B顺时针方向旋转 ，得到 （点A，O的对应点分别为点 ， ），求：
(1) __________ ；(2)求 的值；(3)延伸迁移：如图②， 中， ，
， ，点P是三角形内一动点，请直接写出 的最小值．
【答案】(1)90(2) (3)
【详解】（1）解：∵ 绕点B顺时针方向旋转 ，
∴ ，∴ ；故答案为：90；
（2）∵ ， ， ，∴ ，则 ，连接 ，
∵ 绕点B顺时针方向旋转 ，得到 ，∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形， ∴ ， ，
∵ ， ∴ ，∴C、O、 、 四点共线，∴在 中， ，
∴ ．
（3）将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，
∴ ， ， ， ，∴ 是等边三角形， ∴ ，
则 ，当 、 、 、 四点共线时取等号，
过点 作 于 ，∵ ，∴ ，
则 ， ，∴
∴ ，∴ ，即： 的最小值为
．
14．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）问题情境：课堂上老师提出如下问题：如图，在等边 内有任
意一点 ，连接 ， ， ，将等边 分成三个小三角形．请利用三角板，将 以点 为旋
转中心，逆时针旋转 ，画出旋转后的图形．
(1)数学思考：请你按要求在图1中完成画图．(2)老师又给出了一组具体的数值， ， ，
，要求同学们求 的度数．请你利用在图1中画出的图形，完成解答．
(3) 深入探究：“智慧小组”的同学发现， 点的位置不是唯一确定的， ， ， 的长度只要满足
一定的关系， 的度数可以同上题②中的结论一样．请你写出三者之间应满足的关系：___（直接写
出答案）
(4) “创新小组”的同学在“智慧小组”发现的基础上，又提出了新问题，并经过探索做出了猜想，得到了
老师的肯定．
新问题：设等边三角形的边长为4，当 的度数是多少时， 点就是唯一存在的呢？
探索过程：研究了将 以点 为旋转中心，顺时针旋转 所得到的图形．
猜想：当 的值最小时，可以求出 的度数，此时 点就是唯一的．请你求出这个最小值是______，此时 的度数为______．（直接写出答案）
【答案】(1)见详解(2) (3) (4) ；
【详解】（1）解：由题意作图如图1， 即为所求：
（2）解：如图1，连接 ， 由旋转的性质可知， ， ，
∵ ，∴ 是等边三角形， ， ，
∵ ，∴ ，∴ 是直角三角形， ，
∴ ，∴ ；
（3）解：由（2）可知，当 时， ，故答案为： ；
（4）解：如图2，将 绕点 顺时针旋转 到 ，连接 ，
由旋转的性质可得 ， ， ， ，
∴ ，
同理（2）可得， 是等边三角形，则 ， ，
∴ ，∴当 四点共线时， 的值最小，
∴ ，∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴ 垂直平分 ，
如图2，记 与 的交点为 ，∴ ， ，由勾股定理得， ，
∴ ，即 的值最小为 ，故答案为： ， ．
15．（2024·山东青岛·二模）（1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图1，在等边三角形 内部有一点P， ， ， ．求 的度数．
解：将 绕点A逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．， ， ， ．
为______三角形 的度数为______．
（2）类比延伸：如图2，在正方形 内部有一点P，若 ，试判断线段 之间
的数量关系，并说明理由．
（3）联想拓展：如图3，在 中， ， ．点P在直线AB上方且 ，试
判断是否存在常数k，满足 ．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由，
【答案】（1）直角； （2） ．理由见解析；（3）存在， ，证明见解析
【详解】（1）如图1，将 绕点A逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ， ．
为直角三角形． 的度数为 ．故答案为：直角； ；
（2） ．理由如下：
如图2，把 绕点A顺时针旋转90°得到 ，连接 ．
则 ， ， ， 是等腰直角三角形， ，
，
， ， ，
在 中，由勾股定理得， ， ．（3）如图，将 晓A点顺时针旋转 得到 ，连接PP'，过点A作 于点H，
∴ ， ， ，∵∠APB=60°， ，
， ． ， ．
16．（2024九年级上·浙江·专题练习）问题提出
(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究：(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决：(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修
一凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点
的位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)
(3)对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小，理由见解析
【详解】（1）解：如图1，连接点 ，与直线 交于点 ，点 即为所求．
（2）解：如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ， ， ，
是等边三角形， ， ，
， ， ，
， ；故 ；
（3）解：如图，连接 ，设在 内一点 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质， ， ， ， ， ， ，
、 是等边三角形， ， ，
根据两点间线段距离最短得：当 时最短，
是等边三角形， 以 为一边作等边三角形 ，
最小值为 的长，此时点 在线段 上， 点 为 、 的交点．
若点 与点 重合，即 在对角线 上，
则点 为 与 的交点，此时点 （E）与点 重合，
显然不符合题意，故点 不在对角线 上，
即对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．
17.（2024·重庆校考一模）如图， ， ， ，点 为 上一点，连接 ，则
的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：作 ，过点 作 于点 ，则此时 最小，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
解得： ， ．故答案为：3．
18．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，
▱
中 ， ， ， 为边 上一点，则
的最小值为______．【答案】
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是平行四边形， ，∴
∵PH丄AD∴ ∴ ， ，
∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，∴ ，
则 最小值为 ，故答案为： ．
19．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2 ，点P是对角线AC上
的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
【答案】6【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC= ，∴tan∠CAB= ，
∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（ PA+PD），
，
此时 PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．
20．（2024·陕西西安·一模）如图，在 ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，D为BC边的中点，点E、F分别
是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE△，则BE+CF的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：作 且使得 ，连接 、 ，
，点 为 的中点， ， ，
， ， ，即 ，
又 ， ， ， ， ，
当点 、 、 三点共线时， 最小， 的最小值时线段 的长，， ， ， ，即 的最小值为5，故答案为：5．
21．（2024年湖北三模）如图，已知 ， ， ，点 ， 分别是 边
上的动点，满足 ．连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如下图，过点 作 ，且使 ，连接 ，过点 作 ，交 延长线
于点 ，∵ ， ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴当点 在同一直线上时， 的值最小，即线段 的长度，
∵ ， ， ，∴ ，∴四边形 为矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴当 取最小值时，可有 ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点 ， 和直线 ，如何在直线 上确
定一点 ，使 最小？将下面解决问题的思路补充完整．解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在 上任取一点 ，作
点 关于 的对称点 ， 与直线 相交于点 ．连接 ，易知 ______，从而有 ．
这样，在 中，根据“_______”可知 与 的交点 即为所求．
解决问题：（2）如图②，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且
，求 的最小值．
变式研究：（3）如图③，在 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 上的
动点，且 ，请直接写出 的最小值．
【答案】（1） ；两点之间，线段最短；（2） ；（3）
【详解】解：（1）由对称可知： ，
在 中，根据两点之间，线段最短可知 与 的交点 即为所求，
故答案为： ；两点之间，线段最短；
（2）作 ，使得 ，连接 交 于点 ，连接 ，如图所示；
则四边形 为平行四边形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ 的最小值为 ；
（3）作 ，使得 ，作 ，连接 ，如图所示：
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ 的最小值 ．
23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点 在 轴上，动点 从点 出发，沿线段
方向匀速运动，运动到点 时停止．动点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同
的速度沿 轴正方向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，则 的最小值是
．
【答案】
【详解】由题意可得 ，连接 ，在 上方作 ，使 ， ，连接 交
轴于点 ，∵ ， ，∴ ，∴ ，∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，（当 三点共线时最短）
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值是 ，故答案为 ．
24．（2023·河南新乡·一模）如图，在菱形 中， ，E、F分别是边 上的动点，连接
，G、H分别为 的中点，连接 ．若 的最小值为3，则 的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，且 ，
要使 最小，只要 最小，当 时， 最小，∵ 的最小值为3，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵四边形 是菱形，∴ ．故答案为： ．25．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为 的正方形 中，点 为边 的中点，点
为边 上的动点，以 为一边在 的右上方作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值为
．
【答案】 /1.5
【详解】解：以 为一边在正方形 内作等边 ，连接 ，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
四边形 为正方形，且边长为 ， ， ，
点 为 的中点， ， 和 均为等边三角形， ，
， ， ， ，
， ， ， 四边形 为矩形， ， ，
， ，即： ，
在 和 中， ， ， ，
， ， 当点 与点 重合时， 为最小，
即 为最小，最小值为 ，故答案为： ．
26．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）如图，在菱形 中， ， ， 是 边上一动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ∵四边形 是菱形，∴ ，
∵ 于点 ， 于点 ，∴四边形 是矩形，
连接 ，则 ，当 时， 的值最小，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ，
∴ 的最小值为 ，故选： ．
27．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ， ．点 为
边上任意一点，连结 ，以 ， 为邻边作 ，连结 ，则 的最小值为
．
【答案】
【详解】解： ， ， ，， ， ， ，
设 ， 交于点 ，过点 作 ，
四边形 是平行四边形， ， ，
最短也就是 最短，当 与 重合时， 的值才是最小，
则 的最小值为 ，故答案为： ．
28．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形 中， ， ，点 ， 分别在边 ，
上，连接 ，点 关于 的对称点 在线段 上，则 的最大值为_________．
【答案】 /
【详解】如图，过点B作 于点 ，连接
根据菱形的性质可得 ，根据轴对称的性质可得 ，
要使 最大，则需 最小，∴根据垂线段最短这个定理，当 时，此时 最短，
∴四边形 是矩形， ，在 中， ，∴ ，即 最小值为 ， 最大值为 ，故填： ．
