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专题15.26 分式（全章直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021·江苏扬州·统考中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算： （ ）
A． B． C．5 D．a
3．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的
电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽
度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北·统考中考真题）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·天津·统考中考真题）计算 的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·贵州毕节·统考中考真题）小明解分式方程 的过程下．
解：去分母，得 ．①
去括号，得 ．②
移项、合并同类项，得 ．③化系数为1，得 ．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2022·山东威海·统考中考真题）试卷上一个正确的式子（ ）÷★＝ 被小颖同学
不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程 的解为负数，则a的取值范围是
（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
10．（2023·山东东营·统考中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学
针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学
校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提
高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·北京·统考中考真题）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2023·江苏·统考中考真题）计算： ．
13．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）化简： ．
14．（2020·山东滨州·中考真题）观察下列各式： ， 根据其
中的规律可得 （用含n的式子表示）．15．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）当 时，代数式 的值
是 ．
16．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增
根是 ．
17．（2021·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程 的解为正数，则m的
取值范围是 ．
18．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）甲、乙两船从相距150km的 ， 两地同时匀速沿江出
发相向而行，甲船从 地顺流航行90km时与从 地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均
为30km/h，则江水的流速为 km/h．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·广东广州·统考中考真题）已知 ，代数式： ， ，
．
（1）因式分解A；
（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
20．（8分）（2023·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．
请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值： ，其中 ．
解：原式
……
21．（10分）（2023·四川雅安·统考中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值： ．其中
22．（10分）（2023·北京·统考中考真题）已知 ，求代数式 的值．
23．（10分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知 ， ， ，试比较 与 的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较 与 的大小．
小华：∵ ，
∴ ．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
（2）比较大小： __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
24．（12分）（2023·辽宁阜新·统考中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球
的单价多15元．
（1）求：足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么
学校最多可以购买多少个足球？
参考答案：
1．C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则 ≠0，故符合题意；
D、当x=-1时， ，故不合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
2．D
【分析】分子分解因式，再约分得到结果．
解：
，
故选：D．【点拨】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
3．B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得解．
解：去分母得： ，
解得 ，
经检验 是分式方程的解．
故选：B．
【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
4．A
【分析】科学计数法的记数形式为： ，其中 ，当数值绝对值大于1时， 是小数点向
右移动的位数；当数值绝对值小于1时， 是小数点向左移动的位数的相反数．
解： ，
故选A．
【点拨】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
5．A
【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
解： ，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
6．C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
解：
；
故选：C．【点拨】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
7．B
【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．
解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
∴以上步骤中，开始出错的一步是②．
故选：B
【点拨】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
8．A
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
解： ★=
★=
★=
= ，
故选A．
【点拨】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．D
【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
解：去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程 的解是负数，∴ ， ，即 ，
解得： 且 ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．
10．A
【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方
程．
解：设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为 千克，根据题意，得
故选：A
【点拨】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键．
11．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
解：若代数式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
12．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可．
解： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解
题的关键．
13．1
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
解：，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运
算顺序．
14．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分
子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的
分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
解：由分析得 ，
故答案为：
【点拨】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规
律，并进行推导得出答案．
15．
【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．
解：由题意可知：
原式，
当 时，原式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解．
16．
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
解：∵关于x的分式方程 （m为常数）有增根，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
17． 且
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
解：方程两边同时乘以 得：
，
解得： ，
∵x为正数，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴m的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．
18．6
【分析】设江水的流速为 千米每小时，则甲速度为 ，乙速度为 ，根据行驶时间相等列出
方程解答即可．
解：设江水的流速为 千米每小时，根据题意得：
，解得 ，
经检验符合题意，
答：江水的流速 ．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了列分式方程，读懂题意找出等量关系是解本题的关键．
19．（1） ；（2）见分析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
（1）解： ；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点拨】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分
式化简的方法．20． ， ， ，过程见分析
【分析】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入 计算即可．
解：由题意，第一步进行的是通分，
∴ ，
∴ ，
原式
，
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
21．（1）4；（2） ， ．
【分析】（1）根据负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根的性质进行计算即可；
（2）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法运算，然后根据分式的性质计算，最后
将字母的值代入求解即可
解：（1）
；（2）
．
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握负整数指数幂，化简绝对值，算术平方
根的性质是解题的关键．
22．2
【分析】先将分式进行化简，再将 变形整体代入化简好的分式计算即可．
解：原式 ，
由 可得 ，
将 代入原式可得，原式 ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
23．（1） ；（2）
【分析】（1）根据作差法求 的值即可得出答案；
（2）根据作差法求 的值即可得出答案．
（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
．故答案为： ．
【点拨】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
24．（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元；（2）学校最多可以购买70个足球．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是 元，根据数量=总价÷单价，结合用480
元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出
结论；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买 个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球
和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出
结论．
（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买 个排球，
依题意得： ，
解得： ．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70个足球．
【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
