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专题 16.2 二次根式乘除和加减运算之十大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 二次根式的乘除运算】....................................................................................................................1
【考点二 最简二次根式的判断】....................................................................................................................3
【考点三 化简最简二次根式】........................................................................................................................4
【考点四 同类二次根式】................................................................................................................................6
【考点五 已知同类二次根式求参数】............................................................................................................7
【考点六 比较二次根式的大小】....................................................................................................................8
【考点七 二次根式混合运算】........................................................................................................................9
【考点八 二次根式的分母有理化】..............................................................................................................11
【考点九 已知字母的值，化简求值】..........................................................................................................14
【考点十 已知条件式，化简求值】..............................................................................................................16
【过关检测】............................................................................................................................................................18
【典型例题】
【考点一 二次根式的乘除运算】
例题：（2023·全国·八年级专题练习）计算∶ ．
【答案】
【分析】根据二次根式的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺
序．
【变式训练】1．（2023·全国·八年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】先把除法化为乘法运算，再计算二次根式的乘方，再约分即可．
【详解】解： ；
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减乘除乘方的运算法则是解本题的关键．
2．（2023下·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)
(2)1
(3)18
【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．
【详解】（1）解：
（2） ＝1；
（3） ＝18．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是
解本题的关键．
3．（2023下·全国·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；
（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；
【详解】（1）解：原式= = =
（2）解：原式= = =
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．
【考点二 最简二次根式的判断】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整
数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 ，即 不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，即 不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，即 不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（2023上·上海奉贤·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式
的二次根式是最简二次根式”进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意；
B. ，不是最简二次根式，不合题意；
C. ，不是最简二次根式，不合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2．（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）下列根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【考点三 化简最简二次根式】
例题：（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ； (2) ； (3) （ ） (4) （ ， ， ）．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；
（4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解．
【详解】（1）解： ．
（2）解：
（3）解： ．
（4）解： ．
【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算
方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ； (2) ； (3) （ ， ， ）．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）利用二次根式的性质化简求解；
（2）利用二次根式的性质化简求解；
（3）利用二次根式的性质化简求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）把下列各式化成最简二次根式．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将小数化为分数，然后根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）先提公因式 ，再根据二次根式的性质化简即可求解；
（3）根据二次根式有意义的条件以及已知条件得出 ，然后根据二次根式的性质化简即可求解；
（4）根据分母有理化进行计算即可求解．
【详解】（1）解： ；（2）解：
（3）由 ， ，
∴ ，
∴
（4）
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，掌握根式的性质是解题的关键．
【考点四 同类二次根式】
例题：（2023上·海南·九年级期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次
根式．根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴上述二次根式中， 与 是同类二次根式．
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）下列二次根式：① ，② ，③ ，④ ，其中与
是同类二次根式的是（ ）
A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．③和④【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质化简以及同类二次根式的定义，先化为最简二次根式，再观察被开方
数是否相等，若相等，则为同类二次根式，即可作答．
【详解】解：① ，与 是同类二次根式；
② ，与 不是同类二次根式；
③ ，与 不是同类二次根式；
④ ，与 是同类二次根式；
故选：B
2．（2023上·上海普陀·八年级校考期中）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】A
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简．根据二次根式的性质化简，根据“把几个
二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”，判
断即可．
【详解】解：A、 和 是同类二次根式，故本选项符合题意；
B、 和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、 和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A
【考点五 已知同类二次根式求参数】例题：（2023下·重庆渝北·八年级重庆市暨华中学校校考期中）若最简二次根式 与 可以合并，
则 ．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式的定义，得关于参数的方程，求解即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，一元一次方程的求解；理解最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则 的值
是 ．
【答案】1
【分析】先将 化为最简二次根式 ，再根据同类二次根式的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
又∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的定义．掌握几个二次根式化成最简二次根式后，如果
被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式是解题关键．
2．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）已知 为最简二次根式，且与 能够合并，
．
【答案】8
【分析】先化简 ，则 ，再根据同类二次根式的定义即可列式作答．【详解】解：依题意， ，
因为 与 能够合并，
即 与 能够合并，
因为 为最简二次根式，
所以 ，
解得 ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了同类二次根式以及最简二次根式；几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数
相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；熟练掌握这两个知识点的应用是解题的关键．
【考点六 比较二次根式的大小】
例题：（2023上·陕西渭南·八年级校联考阶段练习）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数 负实数，两个
正实数，被开方数大的数就大．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）比较大小 （填>，<或=）．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的值的大小比较，掌握作差法比较大小是解本题的关键，本题先计算
，从而可得答案.【详解】解：∵ ，
而 ，
∴ ，
故答案为：
2．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）比较大小： ．（填“
”、“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出 ， ，即可求解．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
【考点七 二次根式混合运算】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）化简
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算、零指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关
键．
（1）先化简二次根式，去绝对值，计算零指数幂，再进行加减运算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
2．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)5
【分析】本题主要考查了二次根式的计算，
对于（1），根据二次根式的乘除法法则计算；
对于（2），先化简，再合并同类二次根式；
对于（3），根据二次根式的乘法法则计算，并化简为最简二次根式；
对于（4），先将除法变为乘法，再按照顺序计算；
对于（5），先化简，再合并同类二次根式；
对于（6），先根据完全平方公式计算，再计算乘法，最后算二次根式的减法即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ；
（5）原式 ；
（6）原式 ．【考点八 二次根式的分母有理化】
例题：（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： ，
，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个
的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ，
．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号
中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
(1) 的有理化因式是_______，将 分母有理化得________；
(2)已知 ， ，则 ________；
(3)利用上面所提供的解法．请化简 ；
【答案】(1) ；
(2)10
(3)9
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）将x与y分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果．（3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【详解】（1）∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
；
故答案为： ； ；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：10；
（3）
．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我
们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
（三）
请用不同的方法化简 ．
(1)参照（二）式得 ______；
(2)参照（三）式得 ______．
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算：
（1）参照（二）式的方法解答，即可求解；
（2）参照（三）式的方法解答，即可求解；
（3）先进行分母有理化，再计算，即可求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为：
（2）解： ；
故答案为：（3）解：
．
【考点九 已知字母的值，化简求值】
例题：（2023上·湖北武汉·八年级期末）设 ， ，求 值.
【答案】31
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法
的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把 ， 化简，再把 变
形为 代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
．
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值.(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ．
2．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）已知： ， ，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了二次根式的混合与运算；
（1）先计算 ，然后根据平方差公式因式分解，代入即可求解；
（2）先计算 ，然后根据完全平方公式因式分解，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴
（2）∵ ，
∴
∴
．
【考点十 已知条件式，化简求值】
例题：（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，求出
的值，进而得出 的值，再根据二次根式的性质计算即可．掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
【详解】解： ，
， ，
解得： 且 ，
，
，【变式训练】
1．（2023下·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的值，进而得到y的值，最后代入 计算即可．
【详解】解： ，即 ，
，
当 时， ，
将 ， 代入 ，
．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、求二次根式的值、解一元一次不等式组，熟记二次根式有意义
的条件并正确求一元一次不等式组的解集是解题的关键．
2．（2023上·山西运城·八年级统考期末）若 x，y 为实数，且 ． 求
的值．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【详解】解：依题意得： 且 ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被
开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）下列各式① ，② ，③ ，④ ，
⑤ （ ＞0）中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断
即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：① 是最简根式；② ，故不是最简根式；③ 是最简根式；④ ，故不是最简根式；⑤ ，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个．
故选：B．
2．（2023上·河北秦皇岛·八年级校考阶段练习）最简二次根式 与 是同类二次根式，则
（ ）
A．2 B．3 C．0 D．4
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．此题考查了同类二
次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴
解得： ，
故选：A．
3．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的乘法、除法和二次根式的加法计算即可判断．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：D．4．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）二次根式① ；② ；③ ；④ 中，能与 合
并的是 （ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的定义，先把各个二次根式化为最简二次根式，再
根据能与 合并的二次根式被开方数是3进行求解即可．
【详解】解：① 能与 合并；
② 不能与 合并；
③ 不能与 合并；
④ 能与 合并；
∴能与 合并的是①④，
故选B．
5．（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
【详解】解：，
故选：A．
二、填空题
6．（2023下·天津津南·八年级校考阶段练习）计算： ； ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，
．
【详解】解： ；
．
故答案为： ； ．
7．（2023上·广东云浮·八年级校考期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、
取近似值法等．
8．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 .
【答案】4【分析】此题考查了同类二次根式的概念，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识
点．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
又∵ 是最简二次根式，
∴根据同类二次根式的性质有： ，
解得： ，
故答案为：4．
9．（2023下·吉林长春·九年级统考开学考试）如果二次根式 ，那么 可以用含a和b的代
数式表示为 ．
【答案】 /
【分析】根据 ，即可得到答案．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式乘法运算及代数式的表示，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键．
10．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市雨田实验中学校考期中）对于任意两个不相等的正实数a，b，定义
一种新运算“ ”，即 ，如： ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的性质．根据题目所给的新定义进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故答案为： ．
三、解答题
11．（2023上·山东济南·八年级校联考阶段练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算
（1）先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答；
（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
12．（2023上·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式化简,完全平方公式应用．
（1）根据题意先去括号,再将每个二次根式化简进行运算即可;
（2）根据题意先利用完全平方公式对 进行运算,再对 进行有理化,先算乘法再算加减即可得
到本题答案．
【详解】（1）解: ,,
,
,
,
故答案为: ．
（2）解: ,
,
,
,
,
故答案为: ．
13．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)-3
(2)3
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握运算法则和性质
是解题的关键．
（1）首先计算零指数幂、开方和绝对值，然后按照从左向右计算，求出算式的值即可．
（2）利用平方差公式、开方和通分，运用实数的计算法则进行求解即可．
【详解】（1）（2）
14．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的除法运算，然后分母有理化
后合并即可；
（2）先根据平方差公式、负整数指数幂和二次根式的性质计算，然后合并即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
15．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）已知 ．求：
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1) 的值为
(2) 的值为32
【分析】本题考查了二次根式的计算，求代数式的值，因式分解等知识，将a、b的值进行化简，再将所求
的代数式利用因式分解进行变形后代入求解是解题关键．
（1）分别化简得到 ， ，再将 变形为 ，代入即可求解；
（2）将 变形为 ，再代入即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
∴ ；（2）解： ．
16．（2023上·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校考阶段练习）阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出 的结果为 ；
(2)利用上面提供的解法，请化简： ．
【答案】(1)
(2)100
【分析】本题考查了分母有理化，读懂题目信息，得出每一个分式化简的最后结果等于分母的有理化因式
是解题的关键．
（1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）先利用分母有理化化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
，故答案为： ；
（2）解：
．
