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专题18.25 正方形（直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形
2．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在正方形 中，点E，F分别是 ， 的中点，
， 相交于点M，G为 上一点，N为 的中点．若 ， ，则线段 的长度为（
）
A． B． C．2 D．
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形 中， ， ，顺次连接菱形
各边中点 、 、 、 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西玉林·统考中考真题）若顺次连接四边形 各边的中点所得的四边形是正方形，则
四边形 的两条对角线 一定是（ ）A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1，在正方形 中，对角线 相交于点O，E，F
分别为 ， 上的一点，且 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，边长为 的正方形 两边与坐标轴正半轴重合，点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形
APCD、正方形PBEF,设 ,则 为（ ）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣ α
8．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点O． E、F分别
为 、 上一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为（ ）A．50° B．55° C．65° D．70°
9．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形
ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为
（ ）
A．（2 ）5 B．（2 ）6 C．（ ）5 D．（ ）6
10．（2019·甘肃兰州·统考中考真题）如图，边长为 的正方形 的对角线 与 交于点 ，
将正方形 沿直线 折叠，点 落在对角线 上的点 处，折痕 交 于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，再添加一个条件，使得四边形 是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）．
12．（2023·江苏无锡·统考中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为 的正
方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
13．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，四边形 是边长为4的正方形， 是等边三角
形，则阴影部分的面积为 ．
14．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为
的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．
则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，点 是正方形 的对角线 上的一点， 于
点 ， ．则点 到直线 的距离为 ．16．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E在边 上，且 ，
F为对角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
17．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1
＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
18．（2011·江苏南京·中考真题）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接
AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点， 于点E， 于点F．求证： ．
20．（8分）（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且
AF=CE．求证：四边形BEDF是菱形．
21．（10分）（2019·四川内江·统考中考真题）如图，在正方形 中，点 是 上的一点，点
是 延长线上的一点，且 ，连结 ．（1）求证： ≌ ；
（2）若 ，请求出 的长．
22．（10分）（2013·辽宁鞍山·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长
线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？23．（10分）（2013·江苏南京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分
∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
24．（12分）（2013·山东德州·中考真题）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作
等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹），并写
出：BE与CD的数量关系 ；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE
与CD有什么数量关系？说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°、∠CAE=90°，AB=BC=100米，
AC=AE，求BE的长．参考答案：
1．A
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．
解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
【点拨】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊
四边形的判定和性质．
2．B
【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段 长，利用中位线得到 长即可．
解：连接 ， ，∵点E，F分别是 ， 的中点，
∴四边形 是矩形，
∴M是 的中点，
在正方形 中， ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得，
，
在 中，M是 的中点，N是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
3．C
【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形 为平行四边形，再求对角线长度，然后利用
三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长．
解：如图，连接 、 ，相交于点 ，
点 分别是边 的中点，
， ，
，同理 ，四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形， ， ，
对角线 互相垂直，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
在 中， ， ，
，
，
， ，
四边形 的周长为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的性质及
平行四边形的判定与性质进行计算．
4．D
【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．
解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点，
∴ ，∴四边形EFGH是平行四边形，
对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意；
对于B选项：对角线互相垂直，则有 ，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意；
对于C选项：对角线互相平分且相等，则有 ，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意；
对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有 ， ，可推出四边形EFGH是正方形，故
符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中
位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．
5．C
【分析】首先根据正方形的性质得到 ， ，然后结合 得到
，然后证明出 ，最后利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵四边形 是正方形
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形三角形的性质等知识，
解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6．C
【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．
解：∵边长为 的正方形 两边与坐标轴正半轴重合，∴
∴ ,
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，数形结合是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意可得 ，从而 即可．
解：∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB， ，
∴ ，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的
判定方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，
∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
解：在正方形 中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵ ，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵ ，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
9．C【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的 ，第1个正方形的边长为1，其对角线长为
；第2个正方形的边长为 ，其对角线长为 ；第3个正方形的边长为 ，其对角线长为
；•••；第n个正方形的边长为 ．所以，第6个正方形的边长 ．
解：由题知，第1个正方形的边长 ，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长 ，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长 ，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长 ，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长 ，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理找到正方形边长之间的 倍关系是解题的关键．
10．D
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD= ，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得
BD= AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC= ，DF⊥CE，求得OE= -1，根据全
等三角形的性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD= ，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，
∴BD= AB=2，
∴OD=BO=OC=1，
∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE=DC= ，DF⊥CE，
∴OE= -1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠ODM=∠ECO，
在 OEC与 OMD中，
△ △
，
OEC≌△OMD（ASA），
△
∴OM=OE= -1，
故选：D．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别
图形是解题的关键．
11． （答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．
解：这个条件可以是 （答案不唯一），
理由： 四边形 是矩形， ，
四边形 是正方形，
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
12． /
【分析】根据题意得出正三角形的边长为 ，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积
即可求解．
解：∵侧面展开图是边长为 的正方形，
∴底面周长为 ，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为
作 ，
是等边三角形， ，，
在直角 中，
，
；
∴该直三棱柱的表面积为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上
知识是解题的关键．
13． /
【分析】作 于 点， 于 点，首先求出正方形的面积，然后根据等边三角形和正
方形的性质求出 和 ，从而求出 和 的面积，最后作差求解即可．
解：如图所示，作 于 点， 于 点，
∵四边形 是边长为4的正方形，
∴ ， ， ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方和等边三角形的性质，以及 角所对的直角边是斜边的一半，掌握图形的基
本性质，熟练运用相关性质是解题关键．
14．
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得 的长，即可求解．
解：如图所示，
依题意， ，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．【分析】过点 作 于 ，证明四边形四边形 是正方形，即可求解．
解：如图所示，过点 作 于 ，
∵点 是正方形 的对角线 上的一点， 于点
∴四边形 是矩形，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴四边形 是正方形，
∴ ，
即点 到直线 的距离为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的
关键．
16．
【分析】连接 交 于一点F，连接 ，根据正方形的对称性得到此时 最小，利用
勾股定理求出 即可．
解：如图，连接 交 于一点F，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴点A与点C关于 对称，
∴ ，
∴ ，此时 最小，
∵正方形 的边长为4，
∴ ，
∵点E在 上，且 ，
∴ ，即 的最小值为故答案为： ．
【点拨】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
17．135
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形
内角和定理可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
18．90°
解：：∵四边形ABCD是正方形．
∴将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，∠α=90°，
故答案是：90°．
19．证明见分析
【分析】先根据正方形的性质可得 ，从而可得 ，再根据垂
直的定义可得 ，从而可得 ，然后根据三角形全等的判定定理证出
，根据全等三角形的性质可得 ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．
解：证明： 四边形 是正方形，
，，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是
解题关键．
20．见分析
【分析】连接AC交BD于点O，利用正方形的性质和菱形的判定解答即可．
解：证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO=DO，AO=CO，AC⊥BD，
∵AF=CE，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形．
【点拨】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，掌握正方形的性质是本题的关键．21．（1）见分析；（2） ．
【分析】（1）利用正方形的性质得到 ， ，即可解答
（2）利用全等三角形的性质得出 ，即可解答
解：（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ ）；
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点拨】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用正方形的性质进行求
证
22．（1）见分析；（2）成立
【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得
∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出
GE=BE+GD成立．
解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵ ，
∴△CBE △CDF（SAS）．
∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE △CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG △FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【点拨】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理
解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定．
23．见分析
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性
质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即
可证明四边形MPND是正方形．
解：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
24．（1）图见分析，BE=CD，理由见分析；（2）BE=CD，理由见分析；（3） 米
【分析】（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，分别以A、C
为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，即可；根据等边三角形的性质可得AD=AB，
AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，从而得到∠CAD=∠EAB，可证得△CAD≌△EAB，即可求解；
（2）根据正方形的性质可得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，从而得到∠CAD=∠EAB，可证得
∠CAD=∠EAB，即可求解；
（3）过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，再证得
△ACD≌△AEB，可得CD=BE，再利用勾股定理求出CD的长，即可求解．
解：（1）根据题意，画出图形，如图所示：
BE=CD，理由如下：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵ ，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）BE=CD，理由如下：
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中，
∵ ，
∴△CAD≌△EAB（SAS）．
∴BE=CD；
（3）过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，连接CD，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴
米，
∵∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵AC=AE，
∴△ACD≌△AEB，
∴CD=BE，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100 米，
∴ （米），
∴BE=CD= 米．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形和等腰三角形的性质，
勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键
