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专题18.26 正方形（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形 中，M为对角线 上的一点，
连接 并延长交 于点P．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为3，点 是对角线 上的一
点， 于点 ， 于点 ，连接 ，当 时，则 （ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形 中，O为对角线 的中点，E为正方形内一
点，连接 ， ，连接 并延长，与 的平分线交于点F，连接 ，若 ，则 的长
度为（ ）A．2 B． C．1 D．
4．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，O为正方形 对角线 的中点， 为等边三角
形．若 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形 中， ，点E，F分别在 边上，
，AF与 相交于点O，连接 ，若 ，则 与 之间的数量关系正确的
是（ ）
A． B．
C． D．6．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的等边三角形 的外侧作正方形 ，
过点 作 ，垂足为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ，
， 边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形 是矩形
B．四边形 的内角和小于四边形 的内角和
C．四边形 的周长等于四边形 的对角线长度之和
D．四边形 的面积等于四边形 面积的
8．（2022·山东滨州·统考中考真题）正方形 的对角线相交于点O（如图1），如果 绕点
O按顺时针方向旋转，其两边分别与边 相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A
的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（ ）A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
9．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法：①存在
无数个平行四边形 ；②存在无数个矩形 ；③存在无数个菱形 ；④存在无数个正方形
．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在
一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩
形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如
图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：① ，② ，③ ，④
，比值为 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图在正方形 中，点E在 上，连接 ， ，F
为 的中点连接 ．若 ，则 的长为 ．
12．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形 中，点 在 上，连接 ， ．
则图中阴影部分的面积是 ．
13．（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形 中，分别以点 为圆心，以 的长为半径
画弧，两弧交于点 ，连接 ，则 ．
14．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形 中，E，F分别是 上的动
点，M，N分别是 的中点，则 的最大值为 ．15．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点O，E为
上一点， ，F为 的中点，若 的周长为32，则 的长为 ．
16．（2022·海南·统考中考真题）如图，正方形 中，点E、F分别在边 上，
，则 ；若 的面积等于1，则 的值是 ．
17．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长
线上，且 ，连接EF交边AD于点G．过点A作 ，垂足为点M，交边CD于点N．若
， ，则线段AN的长为
18．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，以 的三边为边在 上方分别作等边 、、 ．且点A在 内部．给出以下结论：
①四边形 是平行四边形；
②当 时，四边形 是矩形；
③当 时，四边形 是菱形；
④当 ，且 时，四边形 是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，
且 ， 与 相交于点 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）求 的大小．
20．（8分）（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，
的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，垂足为 ，点 在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．21．（10分）（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，
且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
22．（10分）（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图， 的对角线 交于点 ，分别以点
为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ．
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；（2）请说明当 的对角线满足什么条件时，四边形 是正方形？
23．（10分）（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在正方形 中，E是边 上一动点（不与
点A，D重合）．边 关于 对称的线段为 ，连接 ．
（1）若 ，求证： 是等边三角形；
（2）延长 ，交射线 于点G；
① 能否为等腰三角形？如果能，求此时 的度数；如果不能，请说明理由；
②若 ，求 面积的最大值，并求此时 的长．
24．（12分）（2022·新疆·统考中考真题）如图，在 巾， ，点O为BC的
中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将 沿AD折叠得到 ，连接BE．
（1）当 时， ___________ ；
（2）探究 与 之间的数量关系，并给出证明；（3）设 ， 的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
参考答案：
1．C
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出 ，根据全等三角形的性质可得
，再根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
解： 四边形 是边长为6的正方形，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
设 ，则 ， ，
，
解得 ，
， ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等
知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
2．C
【分析】先证四边形 是矩形，可得 ， ，由等腰直角三角形的性质可得
，可求 ， 的长，由勾股定理可求 的长，由“ ”可证 ，可得
．
解：如图：连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活
运用这些性质解决问题是解题的关键．
3．D
【分析】连接 ，根据正方形 得到 ， ，根据角平分线的性质和等腰
三角形的性质，求得 ，再证明 ，求得 ，最后根据直角三角形斜边上
的中点等于斜边的一半，即可求出 的长度．
解：如图，连接 ，四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
平分 ，
，
，
在 与 ,
，
，
，
，
O为对角线 的中点，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，
作出正确的辅助线，求得 是解题的关键．
4．B
【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．解：在正方形 中： ，
∴ ，
∵O为正方形 对角线 的中点，
∴ ，
∵ 为等边三角形, O为 的中点，
∴ ， ，
∴ ,
∴ ,
故选：B．
【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
5．A
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出 ，再利用勾
股定理得出 ，即可得出答案．
解：过点O作OM⊥BC于点M，
，
四边形ABCD是矩形，
，
∴∠AEF=180°-∠BAD=90°，
，
∴四边形ABFE是矩形，
又∵AB=AE，
四边形ABFE是正方形，，EF=BF，
，
，
，EF=2CF，
由勾股定理得 ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点
是解题的关键．
6．D
【分析】过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，可得四边形AGFH是矩形，从而得到
FH=AG，再由△ABC为等边三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，从而得到 ，再证得
∠DAH=∠BAG=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，
∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，∴ ，
∴ ，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴ ，
∴ ．
故选：D
【点拨】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和正
方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
7．C
【分析】连接 ，根据三角形中位线的性质 ， ，
，继而逐项分析判断即可求解．
解：连接 ，设交于点 ，
点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 边上的中点，
， ，
A. 四边形 是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 四边形 的内角和等于于四边形 的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意；
C. 四边形 的周长等于四边形 的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；
D. 四边形 的面积等于四边形 面积的 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点拨】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关
键．8．A
【分析】连接 ，根据题意可知 则线段EF的中点G经过的路线是 的线
段垂直平分线的一段，即线段
解：连接 ，根据题意可知 ，
，
∴点G在线段OB的垂直平分线上．
则线段EF的中点G经过的路线是 的线段垂直平分线的一段，即线段．
故选：A．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性
质，掌握以上知识是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
解：
如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
【点拨】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时
明确题意，作出合适的辅助线．
10．B
【分析】设 ，则 ，求出 ， ，分别求出比值，作出判断．
解：设 ，
∴ ，
在 中， ，
由折叠可知， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
，，，
∴比值为 的是①③，
故选：B．
【点拨】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．
【分析】根据正方形的性质得到 ， ，设 ，
根据勾股定理求出 的值，再根据勾股定理即可求出 的长．
解： 正方形
，
F为 的中点，
设
，
在 中，
即
解得
故 ，
在 中
解得 （负值舍去）故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股
定理是解题的关键．
12．2
【分析】根据正方形 的 ， ，边长为2，阴影部分面积等于 与
面积的和，运用三角形面积公式，即可求解．
解：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵正方形 的边长为2，
∴
．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了正方形，三角形面积．熟练掌握正方形的边角性质，三角形面积公式，是解
题的关键．
13．15
【分析】证明 是等边三角形可得 ，再求出 ，利用等腰三角形的性质可求
出 ，进而可求出 ．
解：连接 ，
由作图方法可知， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：15．
【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线
是解答本题的关键．
14．
【分析】首先证明出 是 的中位线，得到 ，然后由正方形的性质和勾股定理得到
，证明出当 最大时， 最大，此时 最大，进而得到当点E和点C重
合时， 最大，即 的长度，最后代入求解即可．
解：如图所示，连接 ，
∵M，N分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，∴当 最大时， 最大，此时 最大，
∵点E是 上的动点，
∴当点E和点C重合时， 最大，即 的长度，
∴此时 ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握
以上知识点．
15．
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和 的周长，求出 的长，进而求出 的长，
勾股定理求出 的长，进而求出 的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
解： 的周长为32，
．
为DE的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形 是正方形，
，O为BD的中点，
是 的中位线，．
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于
斜边的一半，是解题的关键．
16． 60
【分析】由正方形的性质证明 ，即可得到 ，再由 可得
，即可求出 ．设 ，表示出 的面积，解方程即可．
解：∵正方形
∴ ，
∵
∴ （HL）
∴ ，
∵ ，
∴
∴
设
∴
∴
∵ 的面积等于1
∴ ，解得 ， （舍去）
∴
故答案为：60； ．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30°直角三角形的性质，熟练掌握正方形
的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得 ，AE=AF，可证得 垂直平分EF，
可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a， ，
在 与 中，
，
，
是等腰三角形，
又 ，
垂直平分EF，
，
又 ，
，
在 中， ，，
解得a=20，
， ，
在 中， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直
平分线的性质，勾股定理，证得 垂直平分EF是解决本题的关键．
18．①②③④
【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得， ，则 ；同理，由
，得 ，由 ， 即可得出四边形 是平行四边形；对于
结论②，当 时，
，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，当
时， ，结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论知：当 ，
且 时，四边形 既是菱形，又是矩形，故结论④正确．
解：解析：① 、 是等边三角形，
， ， ，
，
，
，
同理由 ，得 ，
由 ， 即可得出四边形 是平行四边形，故结论①正确；
②当 时，
，
由①知四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形，故结论②正确；
③由①知 ， ，四边形 是平行四边形，
当 时， ，平行四边形 是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当 ，且 时，四边形 既是菱形，又是矩形，
四边形 是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟练掌握以上图形的判定方
法是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）直接利用 证明全等即可；
（2）根据全等的性质，得出 ，再由 ，从而求出
．
解：（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
≌ ；
（2）解：由（1）知 ≌ ，
，
，
．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判
定．
20．（1）见详解；（2）
【分析】（1）先证明四边形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE证得
∠MBO=∠OMF，结合∠A=90°=∠NFM即可证明；
（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根据垂直平分线的性质可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中， ，可得 ，解得： ，即有
，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，则NO可求．
解：（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°， ，
，
∵ ，∠A=∠D=90°， ，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵ ，
∴△ABE≌△FMN；
（2）连接ME，如图，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中， ，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE= =5，BM=ME，∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴在Rt△BMO中， ，
∴ ，
∴ON=MN-MO= ．
即NO的长为： ．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形
的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．
21．（1）证明见分析；（2）6
【分析】（1）利用正方形的性质证明 再结合BE＝DF，从而可得结论；
（2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积
，即可得到答案．
解：（1）证明： 正方形ABCD，
（2）如图，连结AC，
正方形ABCD，∴四边形AECF的面积
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法
运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键．
22．（1）平行四边形，见分析；（2） 且
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到 ，根据两组对边分别相
等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
解：（1）四边形 是平行四边形．理由如下：
∵ 的对角线 交于点 ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，
∴
∴四边形 是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴ 且 时，四边形 是正方形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的
关键．23．（1）见分析；（2）① 能为等腰三角形， ；②
【分析】（1）由轴对称的性质得到 ，根据正方形的性质得到 ，求得 ，
根据轴对称的性质得到 ，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①根据轴对称的性质得到 ，根据正方形的性质得到 ，得到 ，推
出点B不可能是等腰三角形 的顶点，若点F是等腰三角形 的顶点，则有 ，
此时E与D重合，不合题意，于是得到只剩下 了，连接 交 于H，根据全等三角形的性质
得到 ，得到 为等腰三角形，根据平行线的性质得到 ，求得
，根据等腰三角形的性质得到 ，
于是得到 ；
②由①知， ，要求 面积的最大值，即求 面积的最大值，在 中，底边
是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作 于P，连接 ，取 的中点M，连接 ，
作 于N，设 ，则 ，根据直角三角形的性质得到
，推出 ，当当G，M，N三点共线时，取等号，
于是得到结论；如图3，设 与 交于Q，则四边形 是矩形，根据矩形的性质得到
，求得 ，于是得到结论．
解：（1）证明：由轴对称的性质得到 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 于 对称的线段为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）①∵ 于 对称的线段为 ，∴
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵E是边 上一动点，
∴ ，
∴点B不可能是等腰三角形 的顶点，
若点F是等腰三角形 的顶点，
则有 ，
此时E与D重合，不合题意，
∴只剩下 了，连接 交 于H，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ，
∴
∵∴
∴ ；
②由①知，
要求 面积的最大值，即求 面积的最大值，
在 中，底边 是定值，即求高的最大值即可，
如图2，过G作 于P，连接 ，取 的中点M，连接 ，作 于N，
设 ，则 ，
∵ ，M是 的中点，
∴ ，
∴ ，
当G，M，N三点共线时，取等号，
∴ 面积的最大值，
的面积
如图3，设 与 交于Q，则四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴
对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）首先由折叠的性质可得 ，再由等腰三角形的性质可求解；
（2）首先由折叠的性质可得 ， ，再由等腰三角形的性质可得 ，
，最后根据角度关系即可求解；
（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求 的长，由勾股定理可求 的长，最
后根据面积和差关系可求解．
解：（1） ， ， ，
，
将 沿 折叠得到 ，
，
，
∴△ABE是等边三角形，
，故答案为：60；
（2） ，理由如下：
将 沿 折叠得到 ，
， ，
， ，
，
，
，
；
（3）如图，连接 ，
，点 是 的中点，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握相关性质并能够灵活运用．
