文档内容
专题 18 弧长和扇形面积（3 个知识点 4 种题型 3 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
知识点2.扇形的面积公式（重点）
知识点3.圆锥的侧面积和全面积（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.弧长公式的应用
题型2.圆锥与其侧面展开图的关系问题
题型3.利用圆锥的侧面展开图求最短距离
题型4.不规则图形面积的求法
【方法三】 仿真实战法
考法1.弧长公式
考法2.扇形面积公式
考法3.圆锥与其侧面展开图
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并会计算弧长和扇形的面积。
2. 了解圆锥母线的概念理解圆锥与其展开图的对应关系，并掌握圆锥侧面积和全面积的计算方法。
3. 会利用平移及旋转求不规则图形的面积。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2 R
nπRπ
（2）弧长公式：l = （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
【例1】（2022•费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，
AC，BD分别与 O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°， O的半径为5cm，则图中弧
CD的长为_____⊙__cm．（结果保留 ）（ ） ⊙
π
5 5 25 25
A． π B． π C． π D． π
3 6 3 6
【解答】解：连接OC，OD，∵AC、BD分别与 O相切于点C、D，
∴∠OCP＝∠ODP⊙＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
60×π×5 5
∴C^D= = ，
180 3
π
故选：A．
知识点2.扇形的面积公式（重点）
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
n 1
S扇形 =
360
R2或S扇形 =
2
lR（其中l为扇形的弧长）
π
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例2】（2022春•长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧
长和面积．
120⋅π×6
【解答】解：扇形AOB的弧长= = 4 （cm）；
180
π
120⋅π×62
扇形AOB的扇形面积= =12 （cm2）．
360
π知识点3.圆锥的侧面积和全面积（难点）
1
圆锥的侧面积：S侧 =
2
•2 r•l＝ rl．
π π
圆锥的全面积：S全 ＝S底+S侧 ＝ r2+ rl
【例3】如图，圆锥的底面半径πOB＝π 6，高OC＝8，求该圆锥的侧面积．
【解答】解：∵它的底面半径OB＝6，高OC＝8．
∴BC=❑√82+62=10，
∴这个圆锥漏斗的侧面积是： rl＝ ×6×10＝60 ．
【例4】（2022秋·陕西安康·九年π级统考π 期末）圆锥π的底面直径是 ，母线长 ．求它的侧面展开
图的圆心角和圆锥全面积．
【答案】圆心角 ，圆锥全面积为
【详解】解：已知 ， ，
∴ ，
底面圆的周长 ，
圆锥侧面积 ，
圆锥底面积 ，
圆锥全面积 ．
圆心角 ．
【方法二】实例探索法
题型1.弧长公式的应用1．（2022春•二道区校级月考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BCD＝120°，OB＝2．则弧BD
的长为（ ） ⊙
8 4
A．2 B．3 C． π D． π
3 3
π π
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°， ⊙
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
120π×2 4
∴弧BD的长为 = ，
180 3
π
故选：D．
π
2．（2022•铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是 ，则此扇形的图心角的度数为 ．
2
π
【解答】解：∵扇形的弧长是 ，半径为2，
2
π nπ×2
∴ = ，
2 180
解得：n＝45．
故答案为：45°．
题型2.圆锥与其侧面展开图的关系问题
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（
）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可．
【详解】解：∵圆锥底面圆的半径为1，
∴圆锥底面圆的周长为： ，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图中扇形的弧长，熟练掌握圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的
弧长是解题的关键．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为 ，则它
的侧面展开图面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据扇形弧长和圆锥的底面周长的关系求出扇形弧长，再根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据
扇形面积公式计算，即可求解．
【详解】设圆锥的母线长为 ，
∵圆锥的底面圆半径为4，
∴圆锥的底面周长为 ，即侧面展开图扇形的弧长为 ，
∵侧面展开图扇形的圆心角为 ，
∴ ，
解得 ，
∴侧面展开图面积为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了求圆锥的母线长，扇形的面积公式，熟知扇形弧长和圆锥的底面周长的关系是解题的
关键．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，如果从半径为 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形，将留
下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（ ）A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，即可求出圆锥的底面半径．
【详解】解：∵圆形纸片的半径为 ，
∴圆形纸片的周长 ，
∴剩下扇形的周长 ，
即 ，解得： ，
∴圆锥底面半径为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的周长公式，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握相关知识点及
圆的周长公式是解决本题的关键．
题型3.利用圆锥的侧面展开图求最短距离
6．（2022秋·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆
周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝ ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则
蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．3 B．4 C． D．2
【答案】B
【详解】解：如图:∵ ，
∴设弧 所对的圆心角的度数为n，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
7．（2022秋·九年级专题练习）已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点 出
发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵圆锥的底面周长为2
π
∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为 ，如图
∴∠BAD=90゜
∵D为AC的中点
∴
在Rt△BAD中，由勾股定理得
即最短路线长为故选：A
8．（2022秋·九年级专题练习）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为 ．
【答案】3 ．
【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BC ＝6 ，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以ABπ为半径π 的扇形，弧长是l＝6 ，
π
设展开后的圆心角是n°，则 ，
解得：n＝180，
即展开后∠BAC＝ ×180°＝90°，
AP＝ AC＝3，AB＝6，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：BP＝ ，
故答案为： ．
9．（2022秋·九年级专题练习）如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B
出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？【答案】
【详解】如图，沿过母线AB的轴截面展开得扇形 ，
此时弧 的长为底面圆周长的一半，故 ，
由 ， ，则 ，
作 ，此时 即为蚂蚁爬行的最短路径，
在 中， ．
10．（2022秋·九年级专题练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是
4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的
最短距离．【答案】（1）90°；（2）4
【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2 ×1＝ ，解得n＝90°；
π
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．
∴ 是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷ =2 ，
∴AC＝2AD＝4 ，
即这只蚂蚁爬过的最短距离4 ．
11．（2022秋·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图所示，已知圆锥底面半径 ，
母线长为 ．(1)求它的侧面展开图的圆心角；
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线 的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为 ，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：
，
又∵ ．
，
解得： ．
∴它的侧面展开图的圆心角是90°；
（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：
根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，
，B为 的中点，由（1）知
∴
∴它所走的最短路线长是 ．
题型4.不规则图形面积的求法
12．（2022•九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的
长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接OC、BC，则△OBC是等边三角形，
∴S阴影部分 ＝S凸△OBC ﹣S扇形OBD
＝2S扇形OBC ﹣S△OBC ﹣S扇形OBD
60π×22 1 45π×22
＝2× - ×2×❑√3-
360 2 360
5π-6❑√3
= ，
6
5π-6❑√3
故答案为： ．
6
13．（2022•莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小
扇形的面积之和为 （结果保留 ）．
π【解答】解：如图，
根据平行线的性质可得，
∠1＝∠2，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
nπr2 90π×12 π
∴S= = = ．
360 360 4
π
故答案为： ．
4
14.如图，已知AB是 O直径，且AB＝8．C，D是 O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝
30°． ⊙ ⊙
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
π
【解答】解：（1）∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；（2）∵AB是 O直径，
∴∠ADB＝90°⊙，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
1
∴OE = OA，
2
1 1
∴CE = OC = ×4= 2；
2 2
（3）连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
60π×42 1 ❑√3 8
∴S阴影 ＝S扇形BOD ﹣S△BOD =
360
-
2
×4×
2
×4=
3
﹣4❑√3．
π
【方法三】 仿真实战法
考法1.弧长公式
1．（2023•镇江）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧
相交于点P，∠BOP＝35°，则 的长l＝ （结果保留 ）．
π【解答】解：由作图知：OP垂直平分AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，
∵扇形的半径是1，
∴ 的长＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
2．（2021•泰州）π扇形的半径为8cm，圆心角为45°，则该扇形的弧长为 cm．
【解答】解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，
故此扇形的弧长为： ＝2 （cm），
故答案为：2 π
考法2.扇形面π积公式
3．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11
点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣2 D． ﹣
【解答π】解：连接OA、OB，π过点O作OC⊥AB， π π
由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝2
∴S扇形AOB ＝ ＝ ，
π
∵OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，AC＝1，
∴OC＝ ，
∴S△AOB ＝ ＝ ，
∴阴影部分的面积为： ﹣ ；
故选：B． π
考法3.圆锥与其侧面展开图
4．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120 cm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面
圆的半径为 cm． π
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
则 ×2 r×24＝120 ，
解得：πr＝5， π
故答案为：5．
5．（2022•宿迁）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的
半径是 cm．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
由题意得：2 r＝ ，
解得：r＝2，π
∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，
故答案为：2．
6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长 l为6cm，扇形的
圆心角 为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 cm．
θ【解答】解：由题意得：母线l＝6， ＝120°，
θ
2 r＝ ，
∴πr＝2（cm）．
故答案为：2．
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•仓山区校级月考）若圆柱的底面半径为 3cm，母线长为 4cm，则这个圆柱的侧面积为
（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12 cm2 D．24 cm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高． π π
【解答】解：根据侧面积公式可得： ×2×3×4＝24 cm2，
故选：D． π π
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆
的周长×高．
2．（2023秋•鼓楼区校级月考）圆锥底面圆的半径为 3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（
）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2 •3＝ ，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R， π根据题意得2 •3＝ ，解得R＝6，
即圆锥的母线π长为6cm．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
3．（2023秋•五华区校级月考）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分
是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮
筒，需要多少千克锌？（ 的值取3.14）（ ）
π
A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积 ，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面
积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌 0.1kg，可求出一个浮筒需用锌量，即
可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．
【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为： ＝0.5m．
∴圆锥的侧面积S ＝ ×0.3×0.5＝0.15 （m2），
1
∵圆柱的高为1m． π π
圆柱的侧面积S ＝2 ×0.3×1＝0.6 （m2），
2
∴浮筒的表面积＝2Sπ+S ＝0.9 （πm2），
1 2
∵每平方米用锌0.1kg， π
∴一个浮筒需用锌：0.9 ×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒π 需用锌：1000×0.9 ×0.1＝90 ≈282.6（kg）．
故选：A． π π【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几
何体的构成，难度中等．
4．（2023秋•玄武区校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画
，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6 C． D．
π
【分析】作EF⊥AB于点F，根据BE⊥CE，∠BCE＝30°，可以求出各边长，利用S阴影 ＝S扇形ABC ﹣
S△BCE ﹣S△ABE 求即可．
【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F，
∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，
∴BE＝ BC＝2，∠CBE＝60°，
∴CE＝ BE＝2 ，∠EBF＝30°，
∴EF＝ BE＝1，
∴S阴影 ＝S扇形ABC ﹣S△BCE ﹣S△ABE
＝ ﹣ ×2× ﹣ ×1
＝4 ﹣2 ﹣2．
π
故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积公式，含30°角的直角三角形，关键是熟练记住公式．
5．（2023秋•兴宁区校级月考）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽
略不计）是（ ）
A．27cm2 B．54cm2 C．27 cm2 D．54 cm2
【分析】由于锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的π弧长等于圆锥底面的π周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出蛋筒圆锥部分包装纸的面积
【解答】解：根据题意，圆锥的侧面积＝ ×2 ×3×9＝27（cm2），
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积为27cm2． π
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．（2023秋•仓山区校级月考）如图， O中，弦AB⊥CD于E，若∠A＝30°， O的半径等于6，则弧
AC的长为（ ） ⊙ ⊙
A．6 B．4 C．5 D．8
【分析π】连接OA、OC，根π据直角三角形的性质求π出∠D，根据圆周角定π理求出∠AOC，根据弧长公式
计算，得到答案．
【解答】解：连接OA、OC，
∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DAE＝60°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝120°，
∴弧AC的长＝ ＝4 ，
故选：B． π
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式l＝ 是解题的关键．
7．（2023秋•海淀区校级月考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若
⊙
O的半径为5，则 的长为（ ）
⊙
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的π圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
【解答】解：连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．
∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝36°，
∴ ＝ ＝ ．
故选：C． π【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
8．（2023秋•宜丰县校级月考）如图，正方形 ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（
）
A．4 ﹣16 B．8 ﹣16 C．16 ﹣32 D．32 ﹣16
π π π π
【分析】连接OA、OB，利用正方形的性质得出OA＝ABcos45°＝2 ，根据阴影部分的面积＝S ﹣S
O
⊙
列式计算可得．
正方形ABCD
【解答】解：连接OA、OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，
∴OA＝ABcos45°＝4× ＝2 ，
所以阴影部分的面积＝S
O
﹣S正方形ABCD ＝ ×（2 ）2﹣4×4＝8 ﹣16．
⊙
π π
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．
9．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，O是弧AD所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列
四个选项中不正确的是（ ）A．AC＝2CD B．∠AOC＝2∠COD
C．S扇形AOC ＝2S扇形COD D． ＝2
【分析】利用弧，圆心角，弦之间的关系，扇形的面积一一判断即可．
【解答】解：∵点B、C将弧AD三等分，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝2 ，
∴∠AOC＝2∠COD，
∴S扇形AOC ＝2S扇形COD ，
故选项B，C，D正确，
故选：A．
【点评】本题考查弧，圆心角，弦之间的关系，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
10．（2023秋•建邺区校级月考）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则
此扇形的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析π】连接AC，根据圆π周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求
出即可．【解答】解：
连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝2m，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝ m，
∴阴影部分的面积是 （m2），
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•亭湖区校级月考）若圆锥的底面半径长 2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 6
cm2．（结果保留 ） π
【分析】解析圆锥π的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2 ×2×3÷2＝6 （cm2）
故答案为：6 ． π π
【点评】本题π考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长
等于圆锥的侧面扇形的弧长．
12．（2023秋•栖霞区校级月考）若一个圆锥的底面圆的半径是 2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，
则该圆锥的母线长为 4 ．
【分析】该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2 ×2＝ ，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l， π
根据题意得2 ×2＝ ，
π解得l＝4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（2023秋•西山区校级月考）圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长
是 4 ．
【分析】利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得：
解得：R＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握弧长公式各字母代表的含义正确代入计算，解此题的关键
是掌握圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长．
14．（2023春•兴化市月考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆
的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角 ＝ 15 0 °．
θ
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥
的母线长和弧长公式得到 ＝2 •5，然后解关于 的方程即可．
π θ
【解答】解：根据题意得 ＝2 •5，
解得 ＝150． π
故答案θ为150．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．15．（2023秋•渝中区校级月考）如图，矩形ABCD中，AD＝2CD＝4，以D为圆心，AD长为半径画弧，
交CB于E，则图中阴影部分的面积是 +2 ．
π
【分析】根据矩形，直角三角形的性质求出∠ADE＝30°，EC＝2 ，再由S阴影部分 ＝S扇形+S△DCE ，根
据扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由题意可知，AD＝4＝DE，CD＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECD＝90°，
∵CD＝ DE，
∴∠DEC＝30°＝∠ADE，
在Rt△DCE中，CD＝2，DE＝4，
∴EC＝ ＝2 ，
∴S阴影部分 ＝S扇形+S△DCE
＝ + ×2×2
＝ +2 ．
π
故答案为： +2 ．
【点评】本题π考查扇形面积的计算，矩形的性质，掌握扇形面积、三角形面积的计算方法以及矩形的性
质是正确解答的前提．
16．（2023秋•东台市月考）若圆锥的底面半径为 2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个
圆锥的母线长是 6 cm．
【分析】设圆锥的母线长为xcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ＝2 •2，然后解关于x的方程即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为xcm， π
根据题意得 ＝2 •2，
解得x＝6， π
即圆锥的母线长为6cm．
故答案为6．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（2023秋•五华区校级月考）已知圆锥的底面半径为5cm，它的侧面积是35 cm2，则这个圆锥的母线
长为 7 cm． π
【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设圆锥的母线的长为xcm，
则 ×2 ×5×x＝35 ，
解得，πx＝7， π
故答案为：7．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18．（2023秋•江北区校级月考）如图，在菱形ABCD中，BC＝3，∠ADC＝120°，以A为圆心，AD为半
径画弧，交AC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则阴影部分的面积为 ＝ ， ．
【分析】过F作FH⊥AC于H，根据菱形的性质和已知条件得出∠DAC＝∠BAC，DC∥AB，AB＝BC＝
3，求出∠DAC＝∠BAC＝30°，求出AE＝3，解直角三角形求出FH，再根据阴影部分的面积S＝S扇形
DAE
﹣S△FAE 求出答案即可．
【解答】解：过F作FH⊥AC于H，∵四边形ABCD是菱形，BC＝3，
∴∠DAC＝∠BAC，DC∥AB，AB＝BC＝3，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵以A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，AB＝3，
∴AE＝3，
∵EF∥AB，
∴∠FEA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠FEA，
∴AF＝EF，
∵FH⊥AE，AE＝3，
∴AH＝EH＝ ，
∵∠DAC＝30°，∠AHF＝90°，
∴AF＝2FH，
∴（2FH）2＝HF2+（ ）2，
解得：FH＝ ，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DAE ﹣S△FAE
＝ ﹣ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形的面积，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：圆
心角为n°，半径为r的扇形的面积S＝ ．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•东台市月考）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需
要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重
合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留
）
π
【分析】（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于
圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 •DE＝ ，从而求出ED：AD即可；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得π 到BC＝2AD＝20cm，再利用扇形的面积公式，利用S阴影部分 ＝
S△ABC ﹣S扇形EAF 进行计算．
【解答】解：（1）根据题意得 •DE＝ ，
π
∴DE＝ AD，
∴ED与母线AD长的比值为 ；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
而AD＝2DE＝10cm，
∴BC＝2AD＝20cm，
∴S阴影部分 ＝S△ABC ﹣S扇形EAF＝ ×10×20﹣
＝（100﹣25 ）cm2．
答：加工材料π剩余部分的面积为（100﹣25 ）cm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧π面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
20．（2023秋•玄武区校级月考）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 A
（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ；
（2）连接AD、CD，则 D的半径长为 2 （结果保留根号），∠ADC的度数为 90 ° ；
⊙
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 ．（结果保留根
π
号）
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出 D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧⊙面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）圆D的半径长＝ ＝2 ，AC＝ ＝2 ，
∴AD2+CD2＝20+20＝40＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
故答案为：2 ；90°；
（3）由题意可得，该圆锥的底面圆的周长为 ＝ ．
故答案为： ． π
【点评】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握弧长公式、正确理解圆锥的侧面展开图
与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
21．（2023•滨海县模拟）如图，AB是 O的直径，点C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点
⊙
F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若BE＝OE＝3，求 的长度．
【分析】（1）由AB是 O的直径，则∠ACB＝90°，而CE⊥AB，所以∠BAC＝∠BCE；由点C是
⊙
的中点，得到∠DBC＝∠BAC，于是∠BCE＝∠DBC，即可得到CF＝BF；（2）连接OD，OC，BE＝OE＝3，可得圆的半径为6，在直角三角形COE中，由cos∠COE＝ ＝
，可得∠COE＝60°，进而推出∠AOD等于60°，再用弧长公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
又CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵点C是 的中点，
∴∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠CDB，
∴∠BCE＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：连接OD，OC，
∵BE＝OE＝3，
∴OB＝BE+OE＝3+3＝6，
∵OB＝OC，
∴cos∠COE＝ ＝ ＝ ，
∴∠COE＝60°，
∵点C是 的中点，
∴∠DOC＝∠COE＝60°，
∴∠AOD＝180﹣∠DOC﹣∠COE＝60°，
∴ 的长度＝ ＝2 ．
π【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧长的计算，难度适中．注意掌
握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（2023秋•仓山区校级月考）如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝90°，半径OA＝2．点P为 上
一点，连结OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．
（1）求 的长．
（2）当点A、Q、B在同一条直线上时，求扇形AOP的面积．
（3）连结BQ，则线段BQ长的最小值为 ﹣ 1 ．
（4）延长AQ，交直线OB于点C，若点Q为线段AC的三等分点，直接写出AC的长．
【分析】（1）由弧长公式进行计算即可；
（2）求出扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可；
（3）连接BQ，画出线段BQ长的最小时的图形，再进行计算即可；
（4）分两种情况进行解答，即当AQ＝ QC时和AQ＝2QC时，分别画出相应的图形，利用相似三角
形的性质进行计算即可．
【解答】解：（1） 的长为 ＝ ；
（2）当点A、Q、B在同一条直线上时，点πQ是AB的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝ ∠AOB＝45°，
∴扇形AOP的面积为 ；
（3）如图1，当点P在 上移动时，其点Q在以OA为直径的半圆上移动，如图，连接BC交半圆弧于
点Q′，此时线段BQ长的最小，
在Rt△BOC中，OC＝1，OB＝2，∴BC＝ ＝ ，
∴BQ′＝BC﹣CQ′＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1；
（4）①如图2，当AQ＝ QC时，设AQ＝a，则QC＝2a，
∵OA⊥OC，OQ⊥AC，
∴△AOQ∽△ACO，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得a＝ ，
经检验a＝ 是原方程的解，
∴AC＝3a＝2 ；
②如图3，当AQ＝2QC时，设CQ＝b，则AQ＝2b，
由①可得△AOQ∽△ACO，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得b＝ ，
经检验b＝ 是原方程的解，
∴AC＝3b＝ ；
综上所述，AC的长为2 或 ．【点评】本题考查扇形面积的计算，弧长的计算，勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质，
掌握扇形面积的计算方法，勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
23．（2022•江岸区模拟）如图，AB是 O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB
相交于点P，连接EF、EO，若DE＝⊙2，∠DPA＝45°．
（1）求 O的半径；
（2）求⊙图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO＝ AO＝ OE，根据勾股定理
列方程求解．
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵直径AB⊥DE，
∴CE＝ DE＝1．∵DE平分AO，
∴CO＝ AO＝ OE．
设CO＝x，则OE＝2x．
由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．
x＝ ．
∴OE＝2x＝ ．
即 O的半径为 ．
⊙
（2）连接OF，
在Rt△DCP中，
∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EOF＝2∠D＝90°．
∴S扇形OEF ＝ ＝ ．
π
∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝
S Rt△OEF ＝ ＝ ．
∴S阴影 ＝S扇形OEF ﹣S
Rt△OEF
＝ ﹣ ．
π
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形
的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．24．（2023•古丈县一模）在半径为 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
【分析】（1）连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，得到∠BOC＝120°，∠OBC＝
∠OCB＝30°，根据垂径定理，求得BC＝2BD，判定△ABC是等边三角形，计算即可．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得 ，计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵∠BAC＝60°， ，AB＝AC，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等边三角形，
∴ ，AB＝BC＝AC，
∴这个扇形的半径为3．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得 ，
解得 ．
故圆锥底面圆的半径为 ．【点评】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟
练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
25．（2023•丰润区模拟）如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在起，且∠AOB＝∠COD，
连接AC．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝5cm，OC＝3cm，弧AB的长为3 cm，弧CD的长为1.8 cm，求阴影部分的面积．
（3）在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆π锥的高． π
【分析】（1）根据90°的角可以证明，∠AOC＝∠BOD，再根据同一扇形的半径相等，利用边角边定
理即可证明三角形全等；
（2）根据扇形面面积公式求出阴影部分的面积；
（3）根据圆锥的底面半径、高和母线的关系计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠DOB＝∠COA，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴S阴影 ＝S扇形OAB ﹣S扇形OEF
＝S扇形OAB ﹣S扇形OCD
＝ ×3 ×5﹣ ×1.8 ×3
＝7.5 ﹣π2.7 π
＝4.8π（cm2π）；
（3）π解：设圆锥底面半径为rcm，高为hcm，
则2 r＝3 ，
π π∴r＝ ，
∴h＝ ＝ （cm），
答：由扇形OAB围成的圆锥的高为 cm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，扇形的面积，圆锥的计算，全等三角形的证明，常用的方
法有“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”，本题证明得到∠AOC＝∠BOD是解题的关
键．
26．（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由
一个高为5cm的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速
度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②
所示．
（1）圆柱形容器的高为 1 2 cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
【分析】（1）根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；
（2）根据题意和函数图象分两种情况可以求得“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
【解答】解：（1）由题意和函数图象可得，
圆柱容器的高为12cm，
故答案为：12；
（2）BC过点（26，8），（42，12），
设线段BC所对应的函数表达式为h＝kt+b，
将点（26，8），（42，12）代入，得，
解得 ，
所以线段BC所对应的函数表达式为h＝ t+ ；
（3）以为“柱锥体”的高为：5+3＝8（cm），
所以顶端距离水面3.5cm位置有2个，
①当h＝8﹣3.5＝4.5时，在OA上，
设OA解析式为h＝kt，过点A（15，5），
所以15k＝5，解得k＝ ，
所以OA解析式为h＝ t，
当h＝4.5时，t＝13.5；
②当h＝8+3.5＝11.5时，在BC上，
将h＝11.5代入h＝ t+ ，
解得t＝40．
综上所述：“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值为13.5s或40s．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用
数形结合的思想解答．
