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专题21 分式的恒等变形技巧（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
技巧一 分离常数法
题型一 直接分离常数
典例1 （2023秋•东平县期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形
式，则称这个分式为“和谐分式”．
x+1 x−1+2 x−1 2 2 a2−2a+3 (a−1) 2+2 2 x+1
如 = = + =1+ ， = =a−1+ ， 则 和
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 a−1 a−1 a−1 x−1
a2−2a+3
都是“和谐分式”．
a−1
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①x+1；②x+2；③x+2；④y2+1．
x 2 x+1 y2
x2+6x−3 x2+6x−3
（2）将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： =
x−1 x−1
．
（3）应用：先化简3x+6 x−1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x+1 x x2+2x
针对训练
1．（2020春•玄武区期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
8 6+2 2 2
数”，而假分数都可以化为带分数，如： = =2+ =2 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个
3 3 3 3
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母
x−1 x2 3 2x
的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， ，这样的分式就是假分式；再如： ， 这
x+1 x−1 x+1 x2+1
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：
x−1 (x+1)−2 2
= =1− ；
x+1 x+1 x+1
解决下列问题：
1
（1）分式 是 （填“真分式”或“假分式”）；
5x
x2+4x−3
（2）将假分式 化为带分式；
x+2（3）先化简3x−6 x+1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x−1 x x2−2x题型二 待定系数法分离常数
典例2 （2020秋•连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
3x2+4x−1
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
x+1
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
{ a+3=4 ) { a=1 )
所以 ，解得 ．
a+b=−1 b=−2
3x2+4x−1 (x+1)(3x+1)−2 (x+1)(3x+1) 2 2
所以 = = − =3x+1− ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
2
这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式 的差的形式．
x+1
根据你的理解决下列问题：
2x2+3x+6
（1）请将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
x−1
5x2+9x−3
（2）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11
x+2
1
+ ，求m2+n2+mn的最小值．
n−6
针对训练
1．（2023春•玄武区期中）阅读下列材料，并解答问题：
x2−x+3
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+1
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵对于任意x上述等式成立
{a+1=−1) {a=−2)
∴ 解得：
a+b=3 b=5
x2−x+3 (x+1)(x−2)+5 5
∴ = =x−2+
x+1 x+1 x+1
x2−x+3 5
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
x+1 x+1
x2+6x−3
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
x−1
2x2+5x−20
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝ ；
x−3（3）当﹣1＜x＜1时，求分式x4+3x2−2的最小值．
x2+1技巧二 恒等变形
题型一 整体换元法恒等变形
1 1 1 10
典例3 （2021春•乐至县月考）如果 a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9， + + = ，则
a+b b+c c+a 9
a b c
+ + 的值为 ．
b+c c+a a+b
针对训练
1 1 1
1．已知x+y+z＝0，求 + + 的值．
y2+z2−x2 z2+x2−y2 x2+ y2−z2
题型二 利用分式的性质恒等变形
a b c
典例4（2020•浙江自主招生）已知：abc＝1，求 + + 的值．
ab+a+1 bc+b+1 ac+c+1
针对训练
1 1 1
1．（2022秋•宣州区期末）设x，y，z为互不相等的非零实数，且x+ = y+ =z+ ．求证：x2y2z2＝1．
y z x第二部分 专题提优训练
4x+7
1．（2021春•镇海区期末）能使分式 值为整数的整数x有（ ）个．
2x−3
A．1 B．2 C．3 D．4
x2+3
2．（2021秋•召陵区期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则x的个数有（ ）
x+3
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
1 1 1 1 1 1
3．（2021秋•和平区期末）已知abc≠0且a+b+c＝0，则a（ + ）+b（ + ）+c（ + ）的值为（
b c a c a b
）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣3
4 ． （ 2020• 浙 江 自 主 招 生 ） 如 果 a ， b ， c ， d 是 正 数 ， 且 满 足 a+b+c+d ＝ 2 ，
1 1 1 1 d a b c
+ + + =4，那么 + + + 的值为（
a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d
）
1
A．1 B． C．0 D．4
2
1 1 1
5．（2016春•拱墅区期中）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝8，那么 + + 的值是（ ）
a b c
A．正数 B．零
C．负数 D．正、负不能确定
6．（2015春•嵊州市期末）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式−x4−x2+3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
−x2+1
解：由于分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b
∴﹣x4﹣x2+3＝﹣x4﹣ax2+x2+a+b∴﹣x4﹣x2+3＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
{a−1=1) {a=2)
∵对于任意x，上述等式均成立，∴ ∴
a+b=3 b=1
∴−x4−x2+3 (−x2+1)(x2+2)+1 (−x2+1)(x2+2) 1 x2+2 1
= = + = +
−x2+1 −x2+1 −x2+1 −x2+1 −x2+1
这样，分式−x4−x2+3被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 1 的和
−x2+1 −x2+1
阅读上面的材料后，请你解答下列问题
（1）将分式x4−4x2−4拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x2+1
（2）试说明x4−4x2−4的最小值为﹣4．
x2+17．（1）已知b2＝ac，求 a2b2c2 1 1 1 的值；
⋅( + + )
a3+b3+c3 a3 b3 c3
x y z x2 y2 z2
（2）已知x、y、z满足 + + =1，求代数式 + + 的值．
y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y
8．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可
x2+4x
以拆分成整式与分式和的形式，例如将 拆分成整式与分式：
x+1
x2+2x+1+2x+2−3 (x+1) 2+2(x+1)−3 3 3
方法一：原式= = =x+1+2− =x+3− ；
x+1 x+1 x+1 x+1
(t−1) 2+4(t−1) t2+2t−3 3 3
方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式= = =t+2− =x+3− ．
t t t x+1
根据上述方法，解决下列问题：
5x+8 5x+8 2
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式和的形式，得 = 5− ；
x+2 x+2 x+2
x2+6x+1
（2）任选上述一种方法，将 拆分成整式与分式和的形式；
x−1
x2−5x+11
（3）已知分式 与x的值都是整数，求x的值．
x−4
