文档内容
专题21 平面坐标系中直线的位置关系（解析版）
第一部分 方法指导
（1）若两直线平行：k（斜率）相等（b值不等）．
（2）若两直线垂直：两直线k（斜率）互为负倒数，即 ．
（3）若两直线关于x轴对称，x不变，y换位相反数；若两直线关于y轴对称，y不变，x换位相反数；
若两直线关于原点对称，x ，y均换位相反数；若两直线关于y=x 对称， x，y相互交换。
第二部分 题组训练
类型一 平移或平行
1．（2022春•平潭县 期中）将一次函数y＝2x﹣3的图象向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（
）
A．y＝2x﹣5 B．y＝2x+5 C．y＝2x+8 D．y＝2x﹣8
【思路引领】根据函数图象上加下减，可得答案．
【解答】解：由题意，得
y＝2x﹣3+8，
即y＝2x+5，
故选：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键．
2．（2023春•铜官区期末）不论p取何值，点P（2p，﹣4p+1）均不在直线y＝kx+2上，那么k的值为（
）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣4
【思路引领】先求得点P所在的直线为y＝﹣2x+1，若不论m取何值，点P（2p，﹣4p+1）均不在直线
y＝kx﹣2上，则只有这两条直线平行才满足题意，据此即可求得k的值．
【解答】解：∵点P（2p，﹣4p+1），
∴可以假设：x＝2p，y＝﹣4p+1，
1
∴p= x，代入y＝﹣4p+1，
2
∴y＝﹣2x+1，
∴点P（2p，﹣4p+1）一定在直线y＝﹣2x+1上，
∵不论m取何值，点P（2p，﹣4p+1）均不在直线y＝kx+2上，
∴直线y＝kx+2与直线y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2，故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意求得点P所在的直线解析式是解
题的关键．
3．（2023春•定州市期末）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线a，直线a经过点（m，n），且2m+n＝
3，则直线a的解析式是 y ＝﹣ 2 x +3 ．
【思路引领】根据平移规律“上加下减”得到直线a的解析式，然后根据已知条件列出关于m、n的方
程组，通过解方程组求得系数的值．
【解答】解：设直线y＝﹣2x向上平移后得到直线a，则直线a的解析式可设为y＝﹣2x+k，
把点（m，n）代入得n＝﹣2m+k，则
{n=−2m+k)
，
2m+n=3
解得 k＝3．
∴直线a的解析式可设为y＝﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣2x+3．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为
直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx+b+m．
4． 在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y＝2x﹣3，y＝2x+3的图象，并指出它们的特点．
【思路引领】利用描点法画出图象即可解决问题．
【解答】解：函数y＝2x，y＝2x﹣3，y＝2x+3的图象如图所示，
从解析式上看k相同，从图象上看是平行的．【总结提升】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是熟练掌握描点法画图，
记住结论：k相同两直线平行．
类型二 轴对称
5．（2023春•盐山县期末）已知直线y＝3x﹣6与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝﹣3x﹣6 B．y＝3x+6 C．y＝3x﹣6 D．y＝﹣3x+6
【思路引领】求出直线y＝3x﹣6与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，﹣6），可得直线l过
（2，0），（0，6），再用待定系数法可得答案．
【解答】解：在y＝3x﹣6中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝﹣6，
∴直线y＝3x﹣6与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，﹣6），
∵（2，0），（0，﹣6）关于x轴对称的对称点坐标为（2，0），（0，6），
∴直线l过（2，0），（0，6），
设直线l解析式为y＝kx+b，
{2k+b=0)
∴ ，
b=6
{k=−3)
解得 ，
b=6
∴直线l解析式为y＝﹣3x+6，
故选：D．
【总结提升】本题考查一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握待定系数法．
6．已知直线y＝3x﹣6与直线l关于y轴对称，求直线l的函数表达式．
【思路引领】求出直线y＝3x﹣6与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，﹣6），可得直线l过（﹣
2，0），（0，﹣6），再用待定系数法可得答案．
【解答】解：在y＝3x﹣6中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝﹣6，
∴直线y＝3x﹣6与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，﹣6），∵（2，0），（0，﹣6）关于y轴对称的对称点坐标为（﹣2，0），（0，﹣6），
∴直线l过（﹣2，0），（0，﹣6），
设直线l解析式为y＝kx+b，
{−2k+b=0)
∴ ，
b=−6
{k=−3)
解得 ，
b=−6
∴直线l解析式为y＝﹣3x﹣6．
【总结提升】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标．解题的关
键是求得直线l′所经过的两点的坐标．
7．（2023•鼓楼区 三模）以下对一次函数y＝﹣x+2的图象进行变化的方案中正确的是 ①②④ （只
填序号）．
①向下平移4个单位长度得到一次函数 y＝﹣x﹣2 的图象；
②向左平移4个单位长度得到一次函数y＝﹣x﹣2的图象；
③绕原点旋转 90° 得到一次函数y＝x﹣2的图象；
④先沿x轴对称，再沿y轴对称得到一次函数y＝﹣x﹣2 的图象．
【思路引领】根据平移规律，旋转的性质，轴对称的性质判断即可．
【解答】解：①一次函数y＝﹣x+2的图象向下平移4个单位长度得到一次函数y＝﹣x+2﹣4，即y＝﹣
x﹣2的图象，
∴方案①正确；
②一次函数y＝﹣x+2的图象向左平移4个单位长度得到一次函数y＝﹣（x+4）x+2，即y＝﹣x﹣2的图
象，
∴方案②正确；
③一次函数y＝﹣x+2的图象绕原点顺时针旋转 90° 得到一次函数y＝x﹣2的图象，
∴方案③错误；
④一次函数y＝﹣x+2的图象沿x轴对称得到﹣y＝﹣x+2，再沿y轴对称得到一次函数﹣y＝﹣（﹣x）
+2，即y＝﹣x﹣2的图象，
∴方案④正确；
故答案为：①②④．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，坐标与图形的变化﹣平移，坐标与图形的变化﹣对
称，熟练掌握平移的规律是解题的关键．类型三 两直线垂直
8．（2021春•青秀区 期末）阅读理解：已知直线l 的解析式为y ＝k x+b （k ≠0，k ，b 为常数），直线
1 1 1 1 1 1 1
l 的解析式为y ＝k x+b （k ≠0，k ，b 为常数），若l ⊥l ，则有k k ＝﹣1．
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
（1）已知直线y＝4x+1与直线y＝kx﹣1垂直，求k的值；
1
（2）若直线l经过点A（﹣2，﹣5），且与直线y=− x+3垂直，求直线l的解析式；
3
（3）已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，求线段AB的垂直平分线所对应的函数解析式．
【思路引领】（1）依据若l ⊥l ，则有k •k ＝﹣1，列方程求解即可；
1 2 1 2
（2）设l的解析式为y＝3x+b，将点A的坐标代入求解即可；
（3）由直线y＝2x+4求得A、B的坐标，进而求得AB的中点坐标，设线段AB的垂直平分线的表达式
1
为y=− x+n，将AB的中点坐标代入求解即可．
2
【解答】解：（1）∵直线y＝4x+1与直线y＝kx﹣1垂直，
∴4k＝﹣1，
1
解得：k=− ；
4
1
（2）∵直线l与直线y=− x+3垂直，
3
∴设直线l的表达式为y＝3x+b．
将A（﹣2，﹣5）代入得：﹣5＝3×（﹣2）+b，解得b＝1，
∴直线l的表达式为y＝3x+1；
（3）直线y＝2x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴AB的中点为（﹣1，2），
1
∴设线段AB的垂直平分线的表达式为y=− x+n，
2
1 3
将（﹣1，2）代入得：2=− ×(−1)+n，解得n= ，
2 2
1 3
∴线段AB的垂直平分线的表达式为y=− x+ ．
2 2
【总结提升】本题主要考查的是两条直线相交于平行线问题，由若 l ⊥l ，则有k •k ＝﹣1得到所求直
1 2 1 2
线的一次项系数是解题的关键．9．（2023春•凉州区期末）如图，一次函数y＝k x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k x的图象
2 1
相交于点A（4，3），且OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是以OA为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【思路引领】（1）根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点 B坐标即可求出一次函数解
析式．
（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，求出AD即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可①OA＝OP，②AO＝AP．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝k x的图象经过点A（4，3），
1
∴4k ＝3，
1
3
∴k = ，
1
4
3
∴正比例函数解析式为y= x．
4
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝4，AC＝3，
AO 5，
=❑√CO2+AC2=∴OB＝OA＝5，
∴B（0，﹣5），
∴{4k +b=3)，解得{k =2 )，
2 2
b=−5 b=−5
∴一次函数解析式为y＝2x﹣5；
（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
∵A（4，3），
∴AD＝4，
1 1
∴S△AOB = •OB•AD= ×5×4＝10；
2 2
（3）如图2中，
当OP＝OA时，P （﹣5，0），P （5，0），
1 2
当AO＝AP时，P （8，0），
3
∴满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（8，0）．
【总结提升】本题考查一次函数综合题、三角形面积、等腰三角形等知识，解题的关键是灵活应用待定系
数法确定函数解析式，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．
第三部分 专题提优训练
1
1．（2024•临潼区一模）在平面直角坐标系中，将直线y=− x+2沿x轴向左平移5个单位长度后，得到
2
一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（ ）
1 1
A．( ，0) B．（0，﹣3） C．(0，− ) D．（0，7）
2 2
【思路引领】直接根据“左加右减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把 y＝0代入所得的解析式解答即可．
1 1 1 1
【解答】解：将直线y=− x+2沿y轴向左平移5个单位后，得到y=− （x+5）+2=− x− ，
2 2 2 2
1 1 1
把x＝0代入y=− x− 得，y=− ，
2 2 2
解得x＝﹣1，
1
所以该直线与x轴的交点坐标是（0，− ），
2
故选：C．
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．（2023秋•武功县期末）已知直线l 与x轴交于点A（﹣2，0），且直线l 与两坐标轴围成的三角形的
1 1
面积为4，将直线l 向下平移m（m＞0）个单位得到直线l ，直线l 交x轴于点B，若点A与点B关于y
1 2 2
轴对称，则m的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【思路引领】根据题意求得B（2，0），直线l 与y轴的交点为（0，4），求得求得直线l 为y＝
1 1
2x+4，进而求得直线l 为y＝2x+4﹣m，代入B点的坐标，即可求得m的值．
2
【解答】解：∵直线l 与x轴交于点A（﹣2，0），
1
∴OA＝2，
∵直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
1
∴直线l 与y轴的交点为（0，4）或（0，﹣4），
1
∵将直线l 向下平移m（m＞0）个单位得到直线l ，直线l 交x轴于点B，若点A与点B关于y轴对称，
1 2 2
∴B（2，0），
∴直线l 与y轴的交点为（0，4），
1
∴直线l 为y＝2x+4，
1
∴直线l 为y＝2x+4﹣m，
2
代入B（2，0）得，0＝2×2+4﹣m，
解得m＝8．
故选：A．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意求得
直线l 与y轴的交点是解题的关键．
1
3．（2024•子洲县 二模）在平面直角坐标系中，直线l ：y＝mx+m2（m是不等于0的常数）与x轴交于点
1A，与y轴交于点B（0，9），若直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，则△ABA′的面
2 1 2
积是（ ）
A．18 B．27 C．54 D．81
【思路引领】利用 与y轴交于点B（0，9），算出m的值，得到直线解析式，算出l 与
l ：y=mx+m2 1
1
x轴的交点A，再根据直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，得到点A′的坐标，最后利
2 1 2
用三角形面积公式求解，即可解题．
【解答】解：∵ 与y轴交于点B（0，9），
l ：y=mx+m2
1
∴m2＝9，
解得m＝±3，
当m＝3时，直线l ：y＝3x+9，
1
当y＝0时，x＝﹣3，如图1，
∴A（﹣3，0），
∵直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，
2 1 2
∴A′（3，0），
1 1
∴△ABA′的面积是 AA′⋅y = ×6×9=27，
2 b 2
当m＝﹣3时，直线l ：y＝﹣3x+9，
1当y＝0时，x＝3，如图2，
∴A（3，0），
∵直线l 与l 关于y轴对称，l 与x轴的交点为点A′，
2 1 2
∴A′（﹣3，0），
1 1
∴△ABA′的面积是 AA′⋅y = ×6×9=27．
2 b 2
故答案为：B．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换待定系数法，求一次函数解析式，一次函数的坐标特
点，以及对称的性质，解答本题的关键是熟练掌握对称的性质．
4．（2023秋•河源期末）直线y＝kx+b平行于直线y＝3x，且过点（1，﹣2），则其解析式为 y ＝ 3 x ﹣ 5
．
【思路引领】先利用两直线平行问题得到k＝3，然后把（1，﹣2）代入y＝3x+b求出b即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b平行于直线y＝3x，
∴k＝3，
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝3x+b，
把点（1，﹣2）代入得，﹣2＝3+b，
解得，b＝﹣5，
∴该直线的解析式是y＝3x﹣5
故答案为：y＝3x﹣5．
【总结提升】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一
次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，
即k值相同．
5．（2023秋•铁岭期末）如果直线l与直线y＝﹣2x+1平行，与直线y＝﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直
线l的函数解析式为 y ＝﹣ 2 x +3 ．【思路引领】设直线l的解析式为y＝kx+b，先根据两直线平行的问题得到k＝﹣2，再把y＝1代入y＝
﹣x+2可确定直线l与直线y＝﹣x+2的交点坐标为（1，1），然后把（1，1）代入y＝﹣2x+b求出b即
可．
【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
∵直线l与直线y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2，
把y＝1代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝1，解得x＝1，
∴直线l与直线y＝﹣x+2的交点坐标为（1，1），
把（1，1）代入y＝﹣2x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3，
∴直线l的函数解析式为y＝﹣2x+3．
故答案为y＝﹣2x+3．
【总结提升】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线 y＝k x+b 与直线y＝k x+b 平行，则k ＝
1 1 2 2 1
k ；若直线y＝k x+b 与直线y＝k x+b 相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
2 1 1 2 2
6．（2023秋•兰州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且经过点
A，则一次函数y＝kx+b的解析式为 y ＝ 2 x ﹣ 4 ．
【思路引领】根据两条直线相交或平行问题由一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行
得到k＝2，然后把点A（1，﹣2）代入一次函数解析式可求出b的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，
∴k＝2，
∴y＝2x+b，
把点A（1，﹣2）代入y＝2x+b得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4，
所以一次函数y＝kx+b的解析式为：y＝2x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣4．
【总结提升】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线 y＝k x+b 与直线y＝k x+b 平行，则k ＝
1 1 2 2 1
k ；若直线y＝k x+b 与直线y＝k x+b 相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
2 1 1 2 2
7．（2023秋•宝应县期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．请先画出正比例函数y＝x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y＝x的图象对称的△DEF（点A、B、
C的对应点分别是点D、E、F）．
【猜想验证】
猜想：点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为 （ b ， a ） ；
验证点P（a，b）在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）．
证明：如图2，点P（a，b）与点Q关于正比例函数y＝x的图象对称，
作PH⊥x轴，垂足为H，
…
【应用拓展】
在△ABC中，点 A坐标为（4，4），点 B坐标为（﹣2，﹣1），点 C 在射线BO上，且 AO平分
8 4
∠BAC，则点C的坐标为 （ ， ） ．
7 7
【思路引领】【操作思考】根据点的特点画出图形即可；
【猜想验证】作 PH⊥x 轴，垂足为 H，过点 Q 作 GQ⊥y 轴，垂足为 G，证明△GQO≌△HPO
（AAS），即可求Q（b，a）；
【应用拓展】点B（﹣2，﹣1）关于直线AO的对称点B'（﹣1，﹣2），分别求出直线B'A的解析式为y
6 4 1
= x− ，直线BO的解析式为y= x，直线AB'与直线BO的交点即为点C．
5 5 2
【解答】解：【操作思考】如图所示：
【猜想验证】点P（a，b）与点Q关于正比例函数y＝x的图象对称，
作PH⊥x轴，垂足为H，过点Q作GQ⊥y轴，垂足为G，
由对称轴可知，OQ＝OP，∠QON＝∠PON，
∵∠NOH＝∠GON＝45°，∴∠GOQ＝∠HOP，
∵∠QGO＝∠PHO＝90°，
∴△GQO≌△HPO（AAS），
∴GQ＝PH，GO＝OH，
∵点P（a，b），
∴OH＝a，PH＝b，
∴GQ＝b，GO＝a，
∴Q（b，a），
故答案为：（b，a）；
【应用拓展】∵AO平分∠BAC，
∴直线AO的解析式为y＝x，
点B（﹣2，﹣1）关于直线AO的对称点B'（﹣1，﹣2），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
{−k+b=−2)
∴ ，
4k+b=4
6
{ k= )
解得 5 ，
4
b=−
5
6 4
∴直线B'A的解析式为y= x− ，
5 5
设直线BO的解析式为y＝k'x，
∴﹣2k'＝﹣1，
1
解得k'= ，
2
1
∴直线BO的解析式为y= x，
2
1 6 4 8
当 x= x− 时，解得x= ，
2 5 5 7
8 4
∴C（ ， ），
7 7
8 4
故答案为：（ ， ）．
7 7【总结提升】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，三角
形全等的判定及性质是解题的关键．
8．（2023秋•龙华区期末）已知一次函数y＝2x+4，请回答下列问题：
（1）请用描点法画出它的图象：
解：列表：
x 0 m
y 4 0
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；
连线：把这两点连接起来，得到y＝2x+4的图象；
表格中m的值为 ﹣ 2 ；请在坐标系中画出y＝2x+4的图象；
（2）若一次函数y ＝kx+b的图象与一次函数y＝2x+4图象关于x轴对称，请画出一次函数y ＝kx+b的
1 1
图象，并求出它的解析式；
（3）若平行于y轴的直线分别交y＝2x+4的图象，y ＝kx+b的图象于A，B两点，已知AB的长为4，则
1
点A的横坐标是 ﹣ 1 或﹣ 3 ．
【思路引领】（1）把y＝0代入y＝2x+4，求得m＝﹣2；（2）利用轴对称的性质求得直线y 与x、y轴的交点，然后利用待定系数法即可求解；
1
（3）设A点的横坐标为x，则A（x，2x+4），B（x，﹣2x﹣4），由AB＝4，则|（2x+4）﹣（﹣2x﹣
4）|＝4，解得x＝﹣1或x＝﹣3．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝2x+4，得2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
故m的值为﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）如图所示：
∵一次函数y ＝kx+b的图象与一次函数y＝2x+4图象关于x轴对称，
1
∴一次函数y ＝kx+b的图象过点（﹣2，0），（0，﹣4），
1
{−2k+b=0) {k=−2)
∴ ，解得 ，
b=−4 b=−4
∴一次函数y 的解析式为y＝﹣2x﹣4；
1
（3）设A点的横坐标为x，则A（x，2x+4），B（x，﹣2x﹣4），
∵AB的长为4，
∴|（2x+4）﹣（﹣2x﹣4）|＝4，
即|4x+8|＝4，
解得x＝﹣1或x＝﹣3，
∴A点的横坐标为﹣1或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣3．
【总结提升】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特
征，两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．3
9．（2024•碑林区 自主招生）平面直角坐标系中，已知直线 AB：y=− x+3，过A作AC垂直于AB，
4
并使AC＝AB，求直线BC的解析式．
【思路引领】作CD⊥x轴于D，通过证得△OAB≌△DCA（AAS），求得C点的坐标，然后利用待定系
数法确定直线BC的解析式．
【解答】解：作CD⊥x轴于D，
3
∵直线AB：y=− x+3，
4
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∵AC⊥AB，
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
在△OAB与△DCA中，
{
∠CAD=∠OBA
)
∠AOB=∠CDA=90° ，
AB=CA
∴△OAB≌△DCA（AAS），
∴AD＝OB＝3，CD＝OA＝4，
∴OD＝4﹣3＝1，
∴C（1，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
{ b=3 )
把B（0，3）、C（1，﹣4）代入得 ，
k+b=−4
{k=−7)
解得 ，
b=3∴直线BC的解析式为y＝﹣7x+3．
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等
的判定和性质，求得点C的坐标是解题的关键．
3
10．（2023秋•双流区期末）如图，直线y＝kx+b经过点B（0，25），与直线y= x交于点C（m，9），
4
与x轴交于点A，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
（1）求点A的坐标；
1
（2）当DE= OB时，求△CDE的面积；
2
（3）连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A 落在直线OC上，求此时点D的坐标．
1
3
【思路引领】（1）利用直线y= x过点C（m，9）得m＝12，利用待定系数法求出直线AB的解析式，
4
令y＝0即可求解；
（2）设D的横坐标为n，代入直线AB与直线OC解析式表示出D与E的纵坐标，进而表示出DE的长，
1
根据DE= OB求出n的值进而求出三角形CDE面积即可；
2
（3）分点A落在射线CO和射线OC上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
3
【解答】解：（1）∵直线y= x过点C（m，9），
43
∴9= m，解得m＝12，
4
∴点C（12，9），
∵直线y＝kx+b经过点点B（0，25），C（12，9），
{12k+b=9) { k=− 4 )
∴ ，解得： 3 ，
b=25
b=25
4
∴直线AB解析式为y=− x+25，
3
4 75
令y＝0，则0=− x+25，解得x= ，
3 4
75
∴点A的坐标为（ ，0）；
4
（2）∵B（0，25），
∴OB＝25，
4
设点D的横坐标为n，则点D坐标为（n，− n+25），
3
∵DE⊥x轴，
3
∴点E坐标为（n， n），
4
4 3 25 25
∴DE＝|− n+25− n|＝|− n+25|= ，
3 4 12 2
解得：n＝6或18，
1 25 75
当n＝6时，S△CDE = × ×（12﹣6）= ；
2 2 2
75
当m＝18时，同理可得： ，
2
75
综上，△CDE的面积为 ；
2
（3）过C作CG⊥OA于点G，
75
∵点C的坐标为（12，9），A（ ，0），
475
∴OG＝12，CG＝9，OA= ，
4
75 27
∴AG= −12= ，
4 4
2025
∴OC2＝OG2+CG2＝144+81＝225，AC2＝AG2+CG2= ，
16
5625 5625
OC2+AC2= ，OA2= ，
16 16
∴OC2+AC2＝OA2，
∴∠OCA＝90°，即OC⊥AB，
当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线CO上的A 时，设DA 交x轴于点H，如图1所示：
1 1
根据折叠的性质可得：OA＝OA ，∠DAO＝∠DA O，
1 1
又∵∠COA＝∠HOA ，
1
∴△COA≌△HOA （ASA），
1
∴∠A HO＝∠ACO＝90°，HO＝CO＝15，
1
∴DA ⊥x轴，
1
4
当x＝﹣15时，y=− ×（﹣15）+25＝45，
3
∴D坐标为（﹣15，45）；
当△AOD沿着OD折叠，且点A落在射线OC上的A 时，延长A D交x轴于点I，如图2所示：
1 1根据折叠的性质可得：OA＝OA ，∠DAO＝∠DA O，
1 1
又∵∠COA＝∠IOA ，
1
∴△COA≌△IOA （ASA），
1
∴∠A IO＝∠ACO＝90°，IO＝CO＝15，
1
∴DA ⊥x轴，
1
4
当x＝15时，y=− ×15+25＝5，
3
∴点D坐标为（15，5），
综上，点D的坐标为（15，5）或（﹣15，45）．
【总结提升】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质，一次
函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏．
11．（2023秋•芝罘区期末）在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，直
1
线y＝kx− 过点A和点C（m，1）．
2
（1）求k和m的值；
（2）判断直线AB和AC是否垂直？证明你的结论．
【思路引领】（1）根据直线y＝﹣2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，可以求得点A的坐标，再根1
据直线y＝kx− 过点A和点C（m，1）．即可求得m的值；
2
（2）先判断，然后先证明△OAB≌△DCA，再根据直角三角形的性质，即可求得结论成立．
【解答】解：（1）把 y＝0代入y＝﹣2x+2，得0＝﹣2x+2，
解得x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
1 1
把（1，0）代入 y=kx− ，得0＝k− ，
2 2
1
解得k= ，
2
1 1
∴直线AC关系式为y= x− ，
2 2
1 1 1 1
把（m，1）代入y= x− ，得1= m− ，
2 2 2 2
解得 m＝3；
（2）AB⊥AC，
理由：过点C作CD⊥OA，交OA的延长线于点D，
∴∠AOB＝∠CDA＝90°．
把x＝0代入y＝﹣2x+2，得y＝2，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OB＝2，
∵A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵C的坐标是（3，1），
∴OD＝3，CD＝1，
∴AD＝OD﹣OA＝2，
∴OA＝CD，OB＝AD，
在△OAB 和△DCA中，
{
OA=DC
)
∠AOB=∠CDA ，
OB=DA
∴△OAB≌△DCA（SAS），
∴∠OBA＝∠DAC，∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠DAC+∠OAB＝90°
∴AC⊥AB．
【总结提升】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、三角形全等、直角三角形的性质，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
