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专题22.17 二次函数图象的平移（直通中考）
【知识要点】
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上
“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法
如下：
一、单选题
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移
2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川南充·统考中考真题）若点 在抛物线 （ ）上，则下列各点在抛物线
上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江湖州·统考中考真题）将抛物线 向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（
）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广西玉林·统考中考真题）小嘉说：将二次函数 的图象平移或翻折后经过点 有4
种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·四川巴中·统考中考真题）函数 的图象是由函数
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
① ；② ； ③ ；④将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
8．（2017·陕西·中考真题）已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，-5） B．（3，-13） C．（2，-8） D．（4，-20）
9．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点 ，则
B．当 时，y有最小值
C． 对应的函数值比最小值大7
D．当 时，图象与x轴有两个不同的交点
10．（2012·广西桂林·中考真题）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移 个单位后，其顶点在直线
上的A处，则平移后的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x＋1）2－1 B．y＝（x＋1）2＋1
C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x－1）2－1
二、填空题
11．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）抛物线 向右平移2个单位长度，再向上平移3
个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
12．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平
移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
13．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线 向下平移1个单位长度，再向右平移
个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
14．（2021·广东·统考中考真题）把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长
度，得到的抛物线的解析式为 ．
15．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 ．
16．（2019·江苏徐州·统考中考真题）已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右
平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为 ．
17．（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线
上，向左或向右平移抛物线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，
抛物线的解析式为 ．
18．（2012·四川广安·中考真题）如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣
6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= x2交于点Q，则图中阴影部分的面积
为 ．
三、解答题
19．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线
段 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离．
20．（2023·上海·统考中考真题）在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴交于点A，y
轴交于点B，点C在线段 上，以点C为顶点的抛物线M： 经过点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结 ，且 轴，如果点P在x轴上，
且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．21．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点
和 ，其顶点的横坐标为 ．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，当 取何值时，使得
有最大值，并求出最大值．
（3）若点 为抛物线 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 个单位长度后，
为平移后抛物线上一动点．在（ ）的条件下求得的点 ，是否能与 、 、 构成平行四边形？若能构
成，求出 点坐标；若不能构成，请说明理由．22．（2022·上海·统考中考真题）已知： 经过点 ， ．
（1）求函数解析式；
（2）平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）．
①倘若 ，且在 的右侧，两抛物线都上升，求 的取值范围；
② 在原抛物线上，新抛物线与 轴交于 ， 时，求 点坐标．
23．（2022·河北·统考中考真题）如图，点 在抛物线C： 上，且在C的对称轴右
侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 ， ．平移该胶
片，使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．24．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在 中， ，D为 上一点， ，
动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 匀速运动，到达点A时停止，以
为边作正方形 设点P的运动时间为 ，正方形 的而积为S，探究S与t的关系
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当 时， _______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请
根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段 的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
① _______；
②当 时，求正方形 的面积．参考答案
1．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
解：由二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为 ；
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
2．D
【分析】观察抛物线 和抛物线 可以发现，它们通过平移得到，故点 通过相
同的平移落在抛物线 上，从而得到结论．
解：∵抛物线 是抛物线 （ ）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线 上点 向左平移1个单位长度后，会在抛物线 上
∴点 在抛物线 上
故选：D
【点拨】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次函数变化规律即可解答．
解：∵抛物线 向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为： ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
4．D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的
解析式为
故选D．
【点拨】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．5．D
【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选
出答案即可．
解：抛物线 经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，
不可能是经过平移得到，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要
掌握 通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．
6．D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
解：①将二次函数 向右平移2个单位长度得到： ，把点 代入得： ，
所以该平移方式符合题意；
②将二次函数 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到： ，把点
代入得： ，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数 向下平移4个单位长度得到： ，把点 代入得： ，所以
该平移方式符合题意；
④将二次函数 沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到： ，把点 代入得：
，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
7．D
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为 ，进而可得 ，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）， 的图象 轴上方部分不变，下
方部分沿 轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得 ，故③正确；
求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
解：由函数图象可得： 与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为 ，即 ，
∴整理得： ，故①正确；
∵ 与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿 轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵ 中a＞0， ，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴ ，故③正确；
设抛物线 的解析式为 ，
代入（0，3）得： ，
解得：a＝－1，
∴ ，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线 有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的
关键．
8．C解： ，
∴点M（m，﹣m2﹣4），
∴点M′（﹣m，m2+4），
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴M（2，﹣8）．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的性质．
9．C
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为
顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别
式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
解：A、将二次函数 向上平移10个单位，再向左平移2个单位
后，
表达式为： = ，
若过点（4，5），
则 ，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵ ，开口向上，
∴当 时，y有最小值 ，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即 对应的函数值比最小值大25，故选项
错误；
D、△= =9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程 有两个不同的实数
根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
10．C
【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO= ，利用勾股定理求出m的值，
然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．
解：∵A在直线y=x上，
∴设A（m，m），
∵OA= ，
∴m2+m2=（ ）2，
解得：m=±1（m=－1舍去）．
∴A（1，1）．
∴抛物线解析式为：y＝（x－1）2＋1．
故选C．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：
左加右减，上加下减．
11．（3，5）
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物
线的顶点坐标即可．
解：抛物线 的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并
用规律求函数解析式．
12． 或 （答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式
为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
13．2或4/4或2
【分析】先求出抛物线 向下平移1个单位长度后与 的交点坐标，然后再求出新抛物线经
过原点时平移的长度．
解：抛物线 向下平移1个单位长度后的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得， ，
∴抛物线 与 的交点坐标为 和 ，
∴将抛物线 向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点拨】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上
加下减是解题关键．
14．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
解：抛物线 向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为： ，
即：
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的
关键．15．y＝x2+2x＋3
【分析】把y＝x2﹣2x＋3配方得 ，把顶点向左平移2个单位长度即可得所求抛物线的解
析式．
解：把y＝x2﹣2x＋3配方得 ，其顶点坐标为（1,2），抛物线的顶点向左平移2个单位长
度后为（-1,2），所以所得抛物线的解析式为 ，即y＝x2+2x＋3
故答案为：y＝x2+2x＋3．
【点拨】本题考查了抛物线的平移，抛物线的一般式化顶点式，关键抓住抛物线的顶点平移．
16． ．
【分析】设原来的抛物线解析式为： ．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得
到平移后的解析式，将点 的坐标代入即可．
解：设原来的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 ，
故原来的抛物线解析式是： ，
设平移后的抛物线解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得 （舍去）或 ，
所以平移后抛物线的解析式是： ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利
用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．17． ．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、 三点共线时， 的值最小，再通过设直线
的解析式并将三点坐标代入，当 时，求出a的值，最后将四边形周长与 时的周长进行比较，确
定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
由平移的性质可知： ,
∴四边形 的周长为 ；
要使其周长最小，则应使 的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴ ， ，
将 向左平移2个单位得到 ，则由平移的性质可知： ，
将 关于x轴的对称点记为点E，则 ，由轴对称性质可知， ,
∴ ，
当B、E、 三点共线时， 的值最小，
设直线 的解析式为： ，∴ ，
当 时，
∴
∴ ，
将E点坐标代入解析式可得： ，
解得： ，
此时 ，
此时四边形 的周长为 ；
当 时， ， ， ， ，
此时四边形 的周长为：
；
∵ ，
∴当 时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了 个单位，
所以其解析式为： ；
故答案为： ．
【点拨】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决
本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
18．
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作
PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．
解：过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3．
∴平移后的二次函数解析式为：y= （x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0= （﹣6+3）2+h，解得：h=﹣ ．
∴点P的坐标是（－3，﹣ ）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S= ，
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，
并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
19．（1） ；（2）当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ；（3）4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点C的坐标，将点C的坐标代入
即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩形的周长公
式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，根据矩形的性质和平移的性
质推出四边形 是平行四边形，则 ， ．求出 时，点A的坐标为 ，则
，即可得出结论．
（1）解：设抛物线的函数表达式为 ．
∵当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
将点C坐标代入表达式，得 ，
解得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：由抛物线的对称性得： ，
∴ ．
当 时， ．
∴矩形 的周长为
．
∵ ，
∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ．（3）解：连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ．
∵直线 平分矩形 的面积，
∴直线 过点P．．
由平移的性质可知，四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴P是 的中点．
∴ ．
当 时，点A的坐标为 ，
∴ ．
∴抛物线平移的距离是4．
【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，
解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形
的性质，以及平移的性质．
20．（1） ， ；（2） ， ；（3） 或
【分析】（1）根据题意，分别将 ， 代入直线 即可求得；
（2）设 ，得到抛物线的顶点式为 ，将 代入可求得
，进而可得到抛物线解析式为 ，即可求得b，c；（3）根据题意，设 ， ，根据平移的性质可得点 ，点 向下平移的距离相同，
即列式求得 ， ，然后得到抛物线N解析式为： ，将 代入可得 ，
即可得到答案．
（1）解：∵直线 与x轴交于点A，y轴交于点B，
当 时，代入得： ，故 ，
当 时，代入得： ，故 ，
（2）设 ，
则可设抛物线的解析式为： ，
∵抛物线M经过点B，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴将 代入 ，
整理得： ，
故 ， ；
（3）如图：∵ 轴，点P在x轴上，
∴设 ， ，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点 ，点 向下平移的距离相同，
∴ ，
解得： ，
由（2）知 ，
∴ ，
∴抛物线N的函数解析式为： ，
将 代入可得： ，
∴抛物线N的函数解析式为： 或 ．
【点拨】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的
图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
21．（1） ；（2）当 时， 有最大值为 ；（3）能，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设 ，进而分别表示出 ，得出关于 的二次函数，根据二次函数的性
质， ，即可求得最大值；（3）由（1）知， 向左平移后的抛物线为 ，由（2）知 ，
设 ，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即
可求解，①当以 为对角线时，②当以 为对角线时，③当以 为对角线时．
（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
（2） 在抛物线上
∴设
在第一象限
∴当 时， 有最大值为
（3）由（1）知， 向左平移后的抛物线为
由（2）知设 ，假设存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．
①当以 为对角线时，
平行四边形对角线互相平分
，即
在抛物线 上
的坐标为
②当以 为对角线时
同理可得 ，即
则
的坐标为
③当以 为对角线时
，即则
的坐标为
综上所述：存在以 、 、 、 为顶点的平行四边形．
的坐标为
【点拨】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四
边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（1） ；（2）①k≥2②P的坐标为（2 ，3）
【分析】（1）把 ， 代入 ，求解即可；
（2）①由 ，得顶点坐标为（0，-3），即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平
移了m个单位，根据 ，求得m=2，在 的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质
即可求出k取值范围；
②把P（m，n）代入 ，得n= ，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：
y= （x-m）2+n= x2-mx+m2-3，则Q（0，m2-3），从而可求得BQ=m2，BP2=
，PQ2= ，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根
据等腰三角形的性质可得BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=
，即可求出m值，从而求出点P坐标．
（1）解：把 ， 代入 ，得，解得： ，
∴函数解析式为： ；
（2）解：①∵ ，
∴顶点坐标为（0，-3），即点B是原抛物线的顶点，
∵平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）．
∴抛物线向右平移了m个单位，
∴ ，
∴m=2，
∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，
∵在 的右侧，两抛物线都上升，
又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
∴k≥2，
②把P（m，n）代入 ，得n= ，
∴P（m， ）
根据题意，得新抛物线解析式为：y= （x-m）2+n= x2-mx+m2-3，
∴Q（0，m2-3），
∵B（0，-3），
∴BQ=m2，BP2= ，
PQ2= ，
∴BP=PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，
∴BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，
∴tan∠BPC= tan 60°= ，
解得：m=±2 （舍去负数），
∴n= =3，
故P的坐标为（2 ，3）.
【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰
三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．
23．（1）对称轴为直线 ， 的最大值为4， ；（2）5
【分析】（1）由 的性质得开口方向，对称轴和最值，把 代入 中
即可得出a的值；
（2）由 ，得出抛物线 是由抛物线C： 向左平
移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点 移动的最短路程．
解：（1） ，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，∴抛物线开口向下，有最大值，即 的最大值为4，
把 代入 中得：
，
解得： 或 ，
∵点 在C的对称轴右侧，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ 是由 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为 ，
∴ 移动的最短路程为5．
【点拨】本题考查二次函数 的图像与性质，掌握二次函数 的性质以及
平移的方法是解题的关键．
24．（1）①3；② ；（2） ， ；（3）①4；②
【分析】（1）①先求出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据正方形面积公式求解即可；
②仿照（1）①先求出 ，进而求出 ，则 ；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时， ，由此求出当 时， ，可设S关于
t的函数解析式为 ，利用待定系数法求出 ，进而求出当 时，
求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，
设 是函数 上的两点，则 ， 是函数上的两点，由此可得 ，则 ，根据题意可以
看作 ，则 ；②由（3）①可得 ，再由 ，得到 ，
继而得答案．
（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 匀速运动，
∴当 时，点P在 上，且 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在 匀速运动，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时， ，
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为 ，
∴可设S关于t的函数解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴S关于t的函数解析式为 ，
在 中，当 时，解得 或 ，∴ ；
（3）解：①∵点P在 上运动时， ，点P在 上运动时 ，
∴可知函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，
设 是函数 上的两点，则 ， 是函数
上的两点，
∴ ，
∴ ，
∵存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
∴可以看作 ，
∴ ，
故答案为：4；
②由（3）①可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．.
【点拨】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确
理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
