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专题 24.3 切线的性质与判定
◆ 典例分析
【典例1】如图，△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于D、E两
点，EF⊥AC，点F为垂足．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当△ABC是等边三角形，且直线DF与⊙O相切时，直接写出长度为线段BE长度2倍的所有线段．
【思路点拨】
（1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接DE，利用圆周角定理和含30°角的直角三角形的性质，得到BD=2BE；再利用圆的切线的性
质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解题过程】
（1）证明：连接OE，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OC，
∴∠B=∠OEB，∴∠OEB=∠C，
∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∵OE为⊙O的半径，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，如图，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠A=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE．
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°−∠C=30°，
∴∠FED=90°−∠FEC=60°．
∵直线DF与⊙O相切，
∴BD⊥FD，
∴∠EDF=90°−∠BDE=60°，
∴∠EDF=∠≝=∠DFE=60°，
∴△≝¿为等边三角形，
∴DE=DF=EF．
在△BDE和△CEF中，
{∠BED=∠CFE=90°
)
DE=EF ，
∠BDE=∠FEC=30°∴△BDE≌△CEF(ASA)，
∴BD=EC．
同理：△BDE≌△AFD，
∴BD=AF．
∴BD=AF=EC．
1
由题意：AD= AF，
2
1
∴AD= BD=OD=OB，
2
∴AO=BD，
∴长度为线段BE长度2倍的所有线段有：BD，AF，EC，AO．
◆ 学霸必刷
1．（2024·河南·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，弦AD交BC于点F．延长BC至点
E，连接AE．有下列条件：①AE=AF；②AE与⊙O相切；③∠B=∠CAD．请从上述三个条件中任选
两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题，并给出证明．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作
圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．求证：AB为
⊙O的切线；3．（2024·河南濮阳·二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=BC，点D是弧
BC上的中点，DE∥BC交AB的延长线于点E．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若BE=1，求⊙O的半径．
4．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连
接BC，点D为⊙O上一点，且D´F=B´F，连接AD．（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AC=8，求⊙O的半径的长．
5．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作
AD的垂线，交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若AC平分∠BAD，求证：EC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若∠B=54°，求∠ACD的度数．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，与AB
相切于点A．作CD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠CBD=∠DCO．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=13，求⊙O的半径．
7．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，AB为⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C，AD平分∠CAB
交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，ME=❑√3，求DM的长．
8．（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相
交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E，且点F为BE的中点，CD=1cm，BC=❑√3cm．（1）求⊙O的半径；
（2）求证：FD与⊙O相切．
9．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接
OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．
（1）求证：点E是D´B的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的
延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．（1）求证：直线BE与⊙O相切；
（2）若CA=2，CD=4，求DE的长．
11．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于
点E，且B´C=C´E，连接AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AC=5，AF=6，求⊙O的半径．
12．（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的
⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为2❑√2，BF=3，求BE的长．
13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心⊙O，大⊙O的直径AB交小⊙O于E、F，大⊙O
的两弦AG、CD交于P，且AG=CD=8，CD∥AB，弦CD与小⊙O切于N，过P作PM⊥AB于M．
小⊙O的半径为3．
（1）PM的长为__________；
（2）试问弦AG与小⊙O是什么位置关系？请证明你的结论；
14．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交
⊙O于点D，E是BC´D上不与B，D重合的点，∠A=30°．（1）求∠BED的大小；
（2）若点F在AB的延长线上，且AF=2AB，求证：DF与⊙O相切．
15．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，PA为⊙O的切线，弦AC⊥PO，
垂足为M，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PA=AB，连接BM，求证：BM=❑√2CM．
16．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，⊙O的直径AB=8，AM和BN是它的两条切线，点E是
圆上一点，过点E的直线与AM，BN分别相交于点D，C两点，连接AE并延长，交BN点P，BC=CP．（1）求证： DC是⊙O的切线；
DE 1
（2）若 = ，求AD长．
EC 3
17．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上
一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB=3AE=12，求BF的
长．
18．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的动点，以E为圆心，
DE为半径作圆，AF与⊙E相切于点F，连接EF并延长交BC于点G，连接AE、AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）如图2，AE与⊙E相交于点H，连接BH并延长交AD于点K，当满足DK+EG+CG=12时，试判
断BK与⊙E的位置关系并说明理由．
