文档内容
第 13 讲 三角函数的概念及诱导公式
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射
线分别称为角的始边和终边.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角 α终边相同的角，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 α＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 180°＝π rad；＝(n为角度数，α为弧度数)
弧长公式 弧长l＝αr
扇形面积公式 S＝lr＝ αr 2
3.任意角的三角函数
定义：设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上的任一点，对于任意角α来说，
设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝，则sin α＝ ， cos α＝ ， tan α＝
(x≠0).
4.三角函数线
(1)正弦线与余弦线
如图所
示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，OM为角α的
余弦线.类似地，MP称为角α的正弦线.
(2)正切线如图所示，设角α的终边或终边的反向延长线与直线x＝1交于点T，则AT可以
直观地表示tan α，因此AT称为角α的正切线.
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系：＝tan α.
6.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六 七 八
2kπ＋
角 －α π－α π＋α －α ＋α ＋α －α
α(k∈Z)
正弦 sin α － sin α sin α － sin α cos α cos α －cos α －cos α
余弦 cos α cos α － cos α － cos α sin α － sin α sin α －sin α
正切 tan α － tan α － tan α tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
7.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝ sin α cos β ±cos α sin β .
(2)cos(α∓β)＝ cos α cos β ±sin α sin β .
(3)tan(α±β)＝.
8.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝ 2sin α cos α .
(2)cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
(3)tan 2α＝.
9.函数 f(x)＝asin x＋bcos x(a，b 为常数)，可以化为 f(x)＝sin(x＋φ)或f(x)＝
·cos(x－φ).
10.半角公式
(1)S：sin＝ ± ， sin 2＝；
(2)C：cos＝ ± ， cos 2＝；
(3)T：tan＝ ± ( 无 理形式 ) ， tan 2＝；tan＝＝ ( 有 理形式 ) .二、考点和典型例题
1、三角函数的概念
【典例1-1】（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径
分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 ，则母线长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】A
【详解】
如图， 弧长为 ， 弧长为 ，因为圆心角为 ， ， ，
则母线 .
故选：A.
【典例1-2】（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于
的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设圆锥的底面半径为 ，高为 ，则由题意可得 ，
解得 ，所以 ，
所以圆锥的体积为
，
故选：C
【典例1-3】（2022·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为
全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖
拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2， 和 所在圆的圆
心都在线段AB上，若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
过 作 ，设圆弧AC的圆心为O，半径为 ，则 ，
在 中， ，所以 ， ，
所以在直角三角形 中， ，所以 ，所以，而 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
【典例1-4】（2022·北京房山·二模）已知 是第一象限角，且角 的终边关
于y轴对称，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵ 是第一象限角，∴ ， ，
∵角 的终边关于y轴对称，∴ ．
故选：D．
【典例1-5】（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角 的终边上有一点
，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D．不确定
【答案】B【详解】
角 的终边上点 ，则 ，
于是得 ，
所以 .
故选：B
2、同角关系式和诱导公式
【典例2-1】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
， ， ， ，
，
，所以 .
故选：C
【典例2-2】（2022·辽宁葫芦岛·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
【详解】
，
分子分母同除以 ，，
解得：
故选：C
【典例2-3】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，则 ，
故选：B．
【典例2-4】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，
所以 ，
故选：B.【典例2-5】（2022·全国·模拟预测）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
故选：A
3、三角恒等变换的综合应用
【典例3-1】（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，由三角函数的定义可知 ，
.
故选：D.【典例3-2】（2022·湖北·模拟预测）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，所以
又 ，所以 ，所以
所以
故选：D
【典例3-3】（2022·全国·模拟预测）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴
重合， 为角 终边上的一点，将角 终边逆时针旋转 得到角 的终边，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可知 ，所以 ，则
.
故选：A．
【典例3-4】（2022·广东·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：B．
【典例3-5】（2022·广东汕头·三模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ， ，
.
故选：A
