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专题 27.1 比例线段（四大题型总结）
【题型一：比例的性质】
a c
1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段a、b、c、d、m，如果 = ，m≠0，那么下列各式中成
b d
立的是（ ）
❑√a ❑√c a−m c−m a+m c a2 c2
A． = B． = C． = D． =
❑√b ❑√d b d b+m d b d
2a 2b 2c
2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知 = = =k，则k=（ ）
b+c a+c a+b
A．1 B．±1 C．1或−2 D．2
a c e
3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知 = = =5，且b+d+f ≠0，若a+c+e=30，则
b d f
b+d+f = ．
1 2 3
4．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足 = = ，则a−2b+c的值为 ．
a+1 b+2 c−3
5．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求x:y:z的值．
（1）x:y=3:7，y:z=4:7；
1 1
（2）x:y= : ，x:z=0.3:0.2．
3 2
【题型二：比例线段】
6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（
）
A．a=1，b=1，c=1，d=5 B．a=1，b=❑√2，c=2❑√2，d=8
C．a=2，b=❑√5，c=2❑√3，d=❑√15 D．a=❑√2，b=3，c=2，d=8
7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则
a= cm．
8．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比和线段b与线段c的比；
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）在比例式a:b=b:c或b2=ac中，我们把b称为a、c的比例中项，那么本题中b是a和c的比例中项
吗？为什么？
9．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=2m，按照图中所示
的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即
AE AD
= ，那么a的值应当是多少？
AD AB
10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD交于点O
AD DE DO
， = = ，AB=7，DB=4，BC=9，CD=10．
AB BC CO
（1）求DE，CO的长；
（2）若△ABC的面积为70，求△BOC的面积．【题型三：黄金分割】
11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC=
（ ）
❑√5−1
A．❑√5−1 B．3−❑√5 C． D．❑√5−1或3−❑√5
2
12．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点C在线段AB上，且满足AC2=BC⋅AB，那么下列式子成
立的是（ ）
AC ❑√5−1 AC ❑√5−1 BC ❑√5−1 BC 3−❑√5
A． = B． = C． = D． =
BC 2 AB 2 AB 2 AC 2
13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的
方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得
EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若AD=20，记正方形AFGH
的面积为S ，矩形BCIH的面积为S ，则S 与S 的和为 ．
1 2 1 2
14．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末
比”问题：点G将线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN
MG GN ❑√5−1 ❑√5−1
的比例中项，即满足 = = ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段
MN MG 2 2
MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金
分割”点，则△ADE的面积为 ．
❑√5−1
15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于 （约为0.618）的矩形称为黄金
2
矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数）
实验操作：折一个黄金矩形
第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3所示的AD处；
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DF，矩形BCDF就是黄金矩形（如图4）．
问题思考：
（2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由；
（3）以图3中的折痕AQ为边，构造黄金矩形，若MN=2，则这个矩形的面积是______（直接写出结
果）．
【题型四：平行线分线段成比例】
16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确
的是（ ）BD DF DE AE BF CE AD AB
A． = B． = C． = D． =
AD FC FB AC FC AE FC AC
17．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC
中点，试判断BA、NM、CD延长线是否交于一点，并证明．
18．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点D是ΔABC边BC上一点，且BD:DC=2:3，过点C
AE 5AF
任作一条直线与AB、AD分别交于点F和E，求证： = ．
ED 3BF
19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，
1 FQ
C两点恰好落在点P，过点P作MN∥BC，交BF于点Q．若QP= BC，则 = ．
2 QB20．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形
ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正
方形与小正方形的面积之比为5，GH=2❑√5，则大正方形的边长为 ．
