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第 14 章 整式的乘法与因式分解全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3•a3•a3＝3a3
C．2a4•3a5＝6a9 D．（﹣a3）4＝a7
2．（3分）下列等式从左到右是因式分解的是（ ）
A．（3﹣a）（3+a）＝9﹣a2 B．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3
1
C．a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1） D．a2+1=a(a+ )
a
3．（3 分）若 x2+2（m﹣3）x+1 是完全平方式，x+n 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项，则 nm的值为
（ ）
A．﹣4 B．16 C．﹣4或﹣16 D．4或16
4．（3分）如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个
边长为（3a+4b）的正方形，则需要C类卡片（ ）张．
A．9 B．24 C．16 D．7
5．（3分）已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2的值为（ ）
A．恒为正 B．恒为负 C．可正可负 D．非负
6．（3分）我们知道下面的结论：若am＝an（a＞0，且a≠1），则m＝n．利用这个结论解决下列问题：设3a＝2，3b＝4，3c＝32，则下列关于a，b，c三者之间的关系式中不正确的是（ ）
A．a+2b＝c B．a+c＝3b C．b+c＝6a D．3a+b＝c
7．（3分）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
8．（3分）我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例
如：因为 M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x、y 是整式），所以 M 为“完全式”．若 S＝x2+4y2﹣
8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
9．（3分★★★★）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆
方便．原理是：如对于多项式 x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝
9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密
码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
10．（3分★★★★★）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值
为（ ）
44 16
A．24 B． C． D．﹣4
3 3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知3m＝4，3n＝6，求92m+n÷27m+n的值 ．
12．（3分）已知（x2+ax﹣4）（2x+b）的展开式中不含x2项，常数项是﹣8，则a﹣b＝ ．
13．（3分）已知m+n＝8，mn＝15，则m2﹣mn﹣n2的值是 ．
14．（3分）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+8）（x﹣6），乙看
错了 b 的值，分解的结果为（x﹣6）（x﹣2），那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为
．
15．（3分★★★）若正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，a+b＝6，ab＝7，则△AEG与
△ADG的面积之和为 ．16．（3分★★★）已知：x﹣y＝m，z﹣y＝4，x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz＝12，则m＝ ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）分解因式：
（1）ax2﹣8ax+16a；
（2）2a4﹣32．
18．（6分）先化简，再求值，（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）+（2ab2﹣b3）÷b，其中a＝2，b＝（﹣
3）0．
19．（6分）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果2×4x×8x＝221，求x的值；
（2）如果3a+2•5a+2＝153a﹣4，求a的值．
20．（8分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．
（1）（﹣2，16]＝ ；若（2，y]＝6，则y＝ ；
（2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值；
2ab
（3）若（5，10]＝a，（2，10]＝b，令t= ．
a+b
①求25a的值；②求t的值．
16b
21．（8分）（1）填空并观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）＝ ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5；
…
可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024）＝ ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：37﹣36+35⋯+33﹣32+3．
22．（8分★★★）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是
完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使
整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个
看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：x2+2x﹣3．
解：原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣
8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7＝ ．（直接写出结果）
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0中a，b的值．
23．（10分★★★★）综合与实践．
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长
为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取 1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图 2的方式拼成一个边长为
（ a+b ） 的 大 正 方 形 ， 通 过 用 不 同 方 式 表 示 大 正 方 形 的 面 积 ， 可 得 到 乘 法 公 式
．
（2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式 a2+5ab+6b2分解因
式为 ．
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长
度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S ，S ，若Q＝S ﹣
1 2 1
S ，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
2
