文档内容
专题5 有理数及图形规律探究性问题（解析版）
类型一 数的规律
1 1 1 1 1
1．（1）观察一列有规律的数： ， ， ， ，…，那么第n个数是 ；（用含n的式子表
2 6 12 20 n2+n
示）
2 4 8 16 2n
（2）下面是按一定规律排列的一列数： ，− ， ，− ，…，那么第n个数是 (−1) n+1
3 5 7 9 2n+1
．（用含n的式子表示）
【思路引领】（1）观察所给的数列发现，每个分数的分子都是 1，且分母可以写成 1×2，2×3，
3×4……，进而解决问题．
（2）观察所给数列发现，正负数相间，且后一个分数的分子是前一个分子的 2倍，后一个分数的分母
比前一个分数的分母多2，据此可解决问题．
【解答】解：（1）观察数列可知，
每一个分数的分子都是1，且分母依次可写成1×2，2×3，3×4……
1 1
所以第n个数是 ，即为 ．
n(n+1) n2+n
1
故答案为： ．
n2+n
（2）观察数列可知，
这一列数中正负数相间，且后一个分数的分子是前一个分子的2倍，后一个分数的分母比前一个分数的
分母多2，
2n
所以第n个数是(−1) n+1 ．
2n+1
2n
故答案为：(−1) n+1 ．
2n+1
【总结提升】本题考查数的排列规律，根据所给数列，分别求出分子分母的变化规律是解题的关键．
2．观察一列有规律的数：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，则它的第n个数是 （﹣ 1 ） n （ 2 n ﹣ 1 ） ．
【思路引领】根据题中数据：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，可得第n个数为（﹣1）n•（2n﹣1）．
【解答】解：由：﹣1，3，﹣7，15，﹣31，…则它的第n个数是（﹣1）n（2n﹣1）．
故答案为（﹣1）n（2n﹣1）．
【总结提升】此题考查数字的变化规律，找出数字符号和运算的规律解决问题．
3．（张家界中考）观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）A．22007 B．22007﹣1 C．22008 D．22006
【思路引领】通过观察可发现数据的规律分别是2n+1．根据规律解题即可．
【解答】解：观察4，8，16，32，…，你会发现，这些数值可以变成 22，23，24，25…，那么它的第
2007个数是22008．
故选：C．
【总结提升】此题的关键是找出规律，第一个数是22那么第2007个数是22008．
2 4 6 8
4．（2022秋•游仙区校级月考）下面是按一定规律排列的一列数： ，− ， ，− ，…那么第200个数
3 5 7 9
400
是 − ．
401
【思路引领】不难看出，分子部分是2n，分母部分是2n+1，且奇数项为正，偶数项为负，据此可求得
第n个数，从而可求解．
2 2×1
【解答】解：∵ =（﹣1）1+1× ，
3 2×1+1
4 2×2
− =（﹣1）2+1× ，
5 2×2+1
6 2×3
=（﹣1）3+1× ，
7 2×3+1
…，
2n
∴第n个数为：(−1) n+1× ，
2n+1
2×200 400
∴第200个数是：(−1) 200+1× =− ．
2×200+1 401
400
故答案为：− ．
401
【总结提升】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字总结出存的规律．
5．观察下列式子：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，用你发现的
规律，写出22022的末位数字是 4 ．
【思路引领】观察发现此列数的末尾数是2，4，8，6的循环，据此规律可推断22021的尾数．
【解答】解：观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，
发现尾数是2，4，8，6的循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022是循环中的第二个，∴22022的尾数是4，
故答案为：4．
【总结提升】本题主要考查数字找规律，关键是要能发现尾数是2，4，8，6的循环．
6．（2022秋•新抚区校级月考）观察下列三行数，并按规律填空：
﹣1，2，﹣3，4，﹣5，_____，_____，……
1，4，9，16，25，_____，_____，……
0，3，8，15，24，_____，_____，……
（1）第一行数按什么规律排列？ 第 n 个数为（﹣ 1 ） n n ；
（2）第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？ 第二行数是与第一行数的每一个相对应的数
的平方；第三行每一个数是第二行对应的数减 1 得到的，即为第一行数的每一个相对应的数的平方减 1
得到 ；
（3）取每行数的第10个数．计算这三个数的和 20 9 ．
【思路引领】（1）首先发现数字是正整数的排列，符号奇数位置为负，偶数位置为正由此找出通项即
可；
（2）通过比较容易发现第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方，第三行数是由第一行数的
每一个相对应的数的平方减1得到；
（3）由（1）（2）求得的通项，求出相对应三行数的第10个数，计算这三个数的和即可解答．
【解答】解：（1）第一行数是﹣1，2，﹣3，4，﹣5，…，
排列规律是：第n个数为（﹣1）nn，
故答案为：第n个数为（﹣1）nn；
（2）对于一、二两行中位置对应的数，可以发现：
第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方，
第三行每一个数是第二行对应的数减1得到的，即为第一行数的每一个相对应的数的平方减1得到．
故答案为：第二行数是与第一行数的每一个相对应的数的平方；第三行每一个数是第二行对应的数减 1
得到的，即为第一行数的每一个相对应的数的平方减1得到；
（3）根据规律得出：第一行数第10个数为10，第二行数第10个数为100，第三行数第10个数为99，
则这三个数的和为：10+100+99＝209．
故答案为：209．
【总结提升】本题考查了数字变化规律，发现第一行数的特点，关键从数字与符号分析，找出通项公式，
第二行与第三行同第一行比较得出通项，由此解决问题．
7．（2020秋•岫岩县期中）观察下面三行数：﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；
﹣5，7，﹣29，79，﹣245，…；
1，﹣3，9，﹣27，81，…．
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？
（3）取每行第6个数计算他们的和．
【思路引领】（1）根据题目中的数据，可以写出第一行数按什么规律排列；
（2）根据题目中的数据，可以发现第二、三行数与第一行数分别有什么关系；
（3）根据前面的发现，可以写出每行第6个数，然后相加即可解答本题．
【解答】解：（1）∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…，
∴这一行数的第n个数为（﹣3）n，
即第一行数按（﹣3）n规律排列；
（2）∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；
﹣5，7，﹣29，79，﹣245，…；
1，﹣3，9，﹣27，81，…．
∴第二行的数字是第一行对应的数字减去2得到的，第三行的数是第一行对应的数字除以﹣3得到的；
（3）由（2）可得，
第一行的第6个数为（﹣3）6，第二行的第6个数为（﹣3）6﹣2，第三行的第6个数为（﹣3）5，
（﹣3）6+（﹣3）6﹣2+（﹣3）5
＝729+729﹣2+（﹣243）
＝1213．
【总结提升】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式
子的值．
类型二 有理数运算规律
8．已知整数a ，a ，a ，a ，…，满足下列条件：a ＝0，a ＝﹣|a +1|，a ＝﹣|a +2|，a ＝﹣|a +3|，…，
1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3
依次类推，则a 的值为（ ）
2024
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1012 D．1012
【思路引领】依次计算出a ，a ，a ，…，根据发现的规律即可解决问题．
1 2 3
【解答】解：由题知，
a ＝0，
1
a ＝﹣|a +1|＝﹣1，
2 1a ＝﹣|a +2|＝﹣1，
3 2
a ＝﹣|a +3|＝﹣2，
4 3
a ＝﹣|a +4|＝﹣2，
5 4
a ＝﹣|a +5|＝﹣3，
6 5
a ＝﹣|a +6|＝﹣3，
7 6
…
i
由此可见，a 和a （i为偶数）相等，且都等于− ．
i i+1
2
2024
所以a =− =−1012．
2024 2
故选：C．
【总结提升】本题考查实数计算中的规律问题，能根据所给的计算方式，求出前几个数并以此发现数的
规律是解题的关键．
9．（2023•武安市二模）小明在计算有规律的算式1﹣2+3﹣4+5⋯+19﹣20时，不小心把一个运算符号写
错了（“+”错写成“﹣”或“﹣”错写成“+”），结果算成了﹣36，则原式从左到右数，写错的运
算符号是（ ）
A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个
【思路引领】先求出这列数的和为﹣10，再由题意可知是“+”错写成“﹣”，设写错符合的数是a，
则﹣1×9﹣a﹣（a+1）＝﹣36，解得a＝13，即可确定写出的运算符号是第12个．
【解答】解：1﹣2+3﹣4+5⋯+19﹣20
＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+⋯+（19﹣20）
＝﹣1×10
＝﹣10，
∵运算结果﹣36比﹣10小，
∴“+”错写成“﹣”，
设写错符号的数是a，
∴﹣1×9﹣a﹣（a+1）＝﹣36，
解得a＝13，
∴写错的运算符号是第12个，
故选：D．
【总结提升】本题考查数字的变化规律，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．
10．（2023春•泗县期末）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝
3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2023，则m的值
是（ ）
A．46 B．45 C．44 D．43
【思路引领】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到 m3的所有奇数的个数的表达式，
再求出奇数2023的是从3开始的第1011个数，然后确定出1011所在的范围即可得解．
【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
(m+2)(m−1)
所以，从23到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m= ，
2
∵2n+1＝2023，n＝1011，
∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数，
(44+2)(44−1) (45+2)(45−1)
∵ =989， =1034，
2 2
∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m＝45．
故选：B．
【总结提升】本题考查了数字变化规律，有理数的混合运算，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解
题的关键，还要熟练掌握求和公式．
11．（2023春•高邮市期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
1
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ （ 3 10 1 ﹣ 1 ） ．
2
【思路引领】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：
31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；
……
3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，
相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），
1 1
整理得：30+31+32+…+3100= （3101﹣30）= （3101﹣1）．
2 2
1
故答案为： （3101﹣1）．
2
【总结提升】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
12．（2023•上杭县校级开学）若2△3＝2+3+4＝9，5△4＝5+6+7+8＝26，按此规律4△3＝ 1 5 ．
【思路引领】根据2△3＝2+3+4＝9，5△4＝5+6+7+8＝26可知，△前面的数字代表从几开始，△后面
的数字代表几个数字，然后将这几个连续的整数相加，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：由题意可得，
4△3
＝4+5+6
＝15，
故答案为：15．
【总结提升】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100①
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101②
②减去①，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路引领】（1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．
【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②3101−1
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S= ，
2
3101−1
则原式= ；
2
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
3101+1
②+①得：4S＝3101+1，即S= ，
4
3101+1
则原式= ．
4
【总结提升】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
类型三 图形规律
14．（2021春•北碚区校级期末）如图1是由两个实心点组成，图2由五个实心点组成，图3由十个实心点
组成，依此类推，则前六个图形共有实心点的个数为（ ）
A．37 B．57 C．77 D．97
【思路引领】观察图形的变化每个图形都是图形序号的平方加上 1，进而可得前六个图形共有实心点的
个数．
【解答】解：观察图形的变化可知：
图1是由两个实心点组成，
图2由五个实心点组成，
图3由十个实心点组成，
依此类推，
则前六个图形共有实心点的个数为：2+5+10+17+52+1+62+1＝97．
故选：D．
【总结提升】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化发现规律．
15．（2023春•碑林区校级期中）如图，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第 1 幅图形中“•”的个数为 a ，第 2 幅图形中“•”的个数为 a ，第 3 幅图形中“•”的个数为
1 2
a ，…，以此类推，则a ﹣a 的值为 809 2 ．
3 2023 2021
【思路引领】由点的分布情况得出a ＝n（n+2），据此求解可得．
n
【解答】解：由图知a ＝3＝1×3，a ＝8＝2×4，a ＝15＝3×5，a ＝24＝4×6，…，
1 2 3 4
∴a ＝n（n+2），
n
当n＝2023时，a ＝2023×2025＝4096575，
2023
当n＝2021时，a ＝2021×2023＝4088483，
2021
∴a ﹣a ＝8092．
2023 2021
故答案为：8092．
【总结提升】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是得出a ＝n（n+2）．
n
16．（2021春•石景山区期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形
镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图
案有 13 个三角形，…，按照这样的规律，第 5 个图案中有 16 个三角形，第 n 个图案中有
（ 3 n + 1 ） 个三角形（用含有n的代数式表示）．
【思路引领】由所给的图形可知：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形
的个数为4+3＝7；第3个图案中三角形的个数为4+3+3＝10；据此可得其规律．
【解答】解：第1个图案中三角形的个数为4；
第2个图案中三角形的个数为4+3＝4+3×1＝7；
第3个图案中三角形的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；
第4个图案中三角形的个数为4+3+3+3＝4+3×3＝13；
第5个图案中三角形的个数为4+3+3+3+3＝4+3×4＝16；.....．
第n个图案中三角形的个数为4+3×（n﹣1）＝4+3n﹣3＝3n+1．
故答案为：16；3n+1．
【总结提升】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解答的关键是找到三角形个数变化的规律．
17．（2018秋•蓬江区校级期中）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层
有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，
图2中所有圆圈的个数为．
n(n+1)
（1）这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝ ；
2
（2）如图1，我们自上往下堆11层时，图中共有 6 6 个圆圈．
（3）我们自上往下堆12层，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则
最底层最左边这个圆圈中的数是 6 7 ；
（4）我们自上往下堆 12层，在每个圆圈中都按图 4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣
21，…，求图4所有圆圈中各数的绝对值之和．
n(n+1)
【思路引领】（1）所求的式子结果为： ；
2
（2）根据（1），把n＝11代入运算即可；
（3）12层时最底层最左边这个圆圈中的数是第11层的最后一个数加1；
（4）首先计算圆圈的个数，用﹣23+数的个数减去1就是最底层最右边圆圈内的数；把所有数的绝对值
相加即可；
n(n+1)
【解答】解：（1）1+2+3+…+n= ，
2
n(n+1)
故答案为： ；
2
11×(11+1)
（2）当n＝11时， =66，
2
故答案为：66；
（3）当有12层时，图3中到第11层共有：1+2+3+…+11＝66个圆圈，最底层最左边这个圆圈中的数是：66+1＝67；
故答案为：67；
12×(12+1)
（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+12= =78个数，
2
最底层最右边圆圈内的数是﹣23+78﹣1＝54；
图4中共有78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的和为：
|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+54
＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）
＝276+1485
＝1761．
【总结提升】此题主要考查了图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用
发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法．
18．（2023•龙岩开学）用小棒按下面的规律拼摆八边形．
萌萌、亮亮、乐乐、欢欢通过观察图形，找出了拼摆成的八边形的数量n和需要小棒的数量a之间的关
系．下面说法正确的是（ ）
A．萌萌：a＝16+16n（n＞3） B．亮亮：a＝7n+1
C．乐乐：a＝8n﹣1 D．欢欢：a＝7n+n
【思路引领】根据给定的拼摆规律，可知第1个八边形需要八个小棒，后面每增加一个八边形需要七根
小棒，进一步可得拼摆成n个八边形需要小棒的数量．
【解答】解：根据题意，拼摆成n个八边形需要小棒的数量a＝8+7（n﹣1）＝7n+1，
故选：B．
【总结提升】本题考查了合并同类项，规律型，找出小棒的数量与八边形的数量之间的规律是解题的关
键．
19．（2023•东海县开学）观察如图，它的计算过程可以解释_____这一运算规律．（ ）A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
【思路引领】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律．
【解答】解：由图可知，
6×3+4×3＝（6+4）×3，
由上可得，上面的式子用的是乘法分配律，
故选：D．
【总结提升】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．
20．（2022 秋•松滋市期末）现规定一种新运算▲，满足“1▲1＝0”，“2▲1＝3”，“3▲1＝
8”，“4▲1＝15”，“5▲1＝24”，按照规律，则“9▲1＝ 8 0 ”，“n▲1＝ n 2 ﹣ 1 ”．
【思路引领】根据新运算范例得出▲1＝n2﹣1，据此求解即可．
【解答】解：由题意知9▲1＝92﹣1＝81﹣1＝80，
n▲1＝n2﹣1，
故答案为：80、n2﹣1．
【总结提升】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
21．（2023春•招远市期中）请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么
会有这样的规律？
（1）填写表格内的空格：
n输入 ﹣1 2 5 …
输出答案 4 1 6 10 0 …
（2）你发现的规律是： 无论输入什么数，输出的结果为这个数平方的 4 倍 ．
（3）请用符号语言说明你发现的规律的理由．
【思路引领】（1）根据程序流程图代值计算即可；
（2）根据（1）所求可以发现输出的结果为这个数平方的4倍；
（3）设输入的数字为n，只需要证明（n+n）2+n﹣n＝4n2即可．
【解答】解：（1）由题目中的程序可得，
当n＝﹣1时，输出的结果为：[﹣1+（﹣1）]2+（﹣1）﹣（﹣1）＝4；
当n＝2时，输出的结果为：（2+2）2+2﹣2＝16；
当n＝5时，输出的结果为：（5+5）2+5﹣5＝100；
故答案为：4，16，100；（2）由（1）可知，无论输入什么数，输出的结果为这个数平方的4倍，
故答案为：无论输入什么数，输出的结果为这个数平方的4倍；
（3）解：设输入的数字为n，
由程序计算得：（n+n）2+n﹣n＝（2n）2＝4n2，
∴无论输入什么数，输出的结果为这个数平方的4倍．
【总结提升】本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．
