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专题7 全等三角形中与中点有关问题的解决策略（原卷版）
专题解读：中点是几何中最重要的元素之一，属于中考必考元素。掌握全等三角形中解决中
点问题的策略，对后续解决中点在等腰三角形边上，在直角三角形边上以及在四边形边上等问
题都很有启发。
解决策略一 倍长中线
典例1 在△ABC中，AD为BC边上的中线，
（1）如图1，求证：AB+AC＞2AD；
（2）如图2，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，FA⊥BA，且AE＝AC，AF＝AB，连接EF，写出AD与EF
的数量关系，并证明．
变式训练
1．（2022•西城区）如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，AM＝3，DE＝
．
2．如图，AB⊥AE，AB＝AE，AC⊥AD，AC＝AD，AH⊥DE于点H，延长AH交BC于点M．求证：M是
BC的中点．3．[阅读理解]
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上
的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD到点E，使DE＝
AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
[感悟]
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE
＝2AD．
解决策略二 类倍长中线
典例2（2013秋•大冶市校级月考）如图，在△ABC中，点O为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM
交AC于N．
求证：BM+CN＞MN．
变式训练1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是
∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
解决策略三 过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形
典例3 如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF＝AC．求证：∠DFE＝∠DAC．
变式训练
1．（2022秋•天河区校级期中）（1）如图①，AC平分∠DAB，∠B＝∠D＝90°，若DC＝5，则BC＝
．
（2）探究：如图②，四边形ABCD，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°，求证：DC＝BC．
（3）应用：如图③，点D、F分别在EC、AD上，若EF＝AC，且∠DFE＝∠DAC，求证：D为CE的
中点．2．如图，AD为△ABC的中线，E为AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于F，FG⊥AD于G．求证
AG＝EG．
3．如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F
（1）求证：点F是ED的中点；
（2）求证：S△ABC ＝2S△BEF ．
解决策略四 中点加平行线构造8字全等
典例4如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．
求证：（1）DE平分∠ADC；
（2）AD+BC＝DC．针对训练
1．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，E为CD的中点，若用S 、S 、S 分别表示△ADE、△EBC、
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△ABE的面积，则S 、S 、S 的关系是（ ）
1 2 3
A．S +S ＞S B．S +S ＝S C．S +S ＜S D．以上都不对
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2．（2021•行唐县模拟）如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，
请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；
3．（1）如图1，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，证明△PMO≌△QNO．
（2）根据上述结论探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，
AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．
