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专题第 01 讲 圆的切线的判定与性质
1．（2023•灌云县校级模拟）如图，点P是 O外一点，PA与 O相切于A点，B，C是 O上的另外两
点，连接AC，BC，∠APB+2∠ACB＝180°，
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PB是 O的切线；
（2）若BC∥PA， O的半径为5，BC＝6，求PA的长．
⊙
⊙
2．（2023•汉川市校级模拟）如图，AB，AD是 O的弦，AO平分∠BAD．过点B作 O的切线交AO的
延长线于点C，连接CD．BO延长BO交 O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
⊙
（2）若AE＝DE＝10，求AF的长．
⊙
3．（2023•金东区一模）如图，AB为 O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F为BA延长线上一点，CA
⊙恰好平分∠FCE．
（1）求证：FC与 O相切；
⊙
（2）连接OD，若OD∥AC，求 的值．
4．（2023秋•海淀区校级月考）如图，AB为 O的直径，OC⊥AB交 O于点C，D为OB上一点，延长
CD交 O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
⊙ ⊙
（1）求证：EF为 O的切线；
⊙
（2）若OD＝1且BD＝BF，求 O的半径．
⊙
⊙
5．（2023•昆明模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以
AD为直径的半圆O经过点E，F，且 ．（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．
6．（2023•长安区校级二模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，DB恰好是∠ADC的平分线，
以AD为直径作 O， O经过点B，CD的延长线交 O于点E，连接AE．
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙ ⊙ ⊙
（2）若BC＝6，DE＝8，求 O的半径．
⊙
⊙
7．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB 是 O 的直径，CD＝CB，AC，BD 相交于点 E，过点 C 作
CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
⊙
（1）求证：CF是 O的切线；
⊙（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
8．（2023•甘南县一模）如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，AD⊥DC 于点 D，AC 平分
∠DAB．
⊙ ⊙
（1）求证：直线CD是 O的切线；
（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．
⊙
9．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作 O，
与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接
⊙
EN．（1）求证：EN是 O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4， O的半径为1，求线段EN的长．
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⊙
10．（2023•桑植县模拟）如图，AB是 O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接
BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．
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（1）求证：CF是 O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠F；
⊙
（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
11．（2023秋•台江区校级月考）如图，AB是 O的直径，PA为 O的切线，弦AC⊥PO，垂足为M，连
接PC．
⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙（2）若PA＝AB，连接BM，求证： ．
12．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是 O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是 O
的弦，∠AEC＝30°．
⊙ ⊙
（1）求证：直线AD是 O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M， O的半径为10，求AE的长．
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⊙
13．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为 O的直径，PD切 O于点C，与BA的延长线交于点D，
DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．
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（1）求证：PB是 O的切线；
（2）求 O的半径．
⊙
⊙（3）连接BE，求BE的长．
14．（2023•山丹县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O与BC相交于点D，过点D作
DE⊥AC，交AC于点E．
⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若 O的直径为5，BC＝8，求DE的长．
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⊙
15．（2023•华亭市校级模拟）如图，直线l切 O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交 O于点C、
B，点D在线段AP上，连结DB，且AD＝DB．
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（1）求证：DB为 O的切线；
（2）若AD＝2，PB＝BO，求弦AC的长．
⊙16．（2023秋•江阴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC
上一点，经过点A、E的 O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙
（2）若CF＝2，EC＝4，求圆O的半径．
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17．（2023春•蓬安县期中）如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作
直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠CEA+∠CAD＝90°．
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（1）求证：CF是 O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，求BE的长．
⊙18．（2023•鄂州）如图，AB为 O的直径，E为 O上一点，点C为 的中点，过点C作CD⊥AE，交
AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
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（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求 O的半径长．
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19．（2023•清原县模拟）如图，以线段AB为直径作 O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交 O于点
D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC于点M．
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（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
⊙20．（2022秋•安徽期末）如图，四边形 ABCD内接于 O， ，点E在AB的延长线上，∠ECB＝
∠DAC．
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（1）求证：EC是 O的切线；
（2）若AD＝5，∠E＝30°，求 O的半径．
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21．（2023•大连模拟）如图，已知 O是△ABC的外接圆，AB是 O的直径，D是AB延长线的一点，
AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．
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（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长．
⊙22．（2023•长安区模拟）如图， O为四边形ABCD的外接圆，若AB＝AD、CB＝CD，延长AD至点F，
连接FC并延长至点E，恰好使得∠BCE+∠F＝90°．
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（1）证明：EF为 O的切线；
（2）连接BD，若 O的半径为4，CF＝6，求BD的长．
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23．（2023春•江岸区校级月考）如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延长
线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．
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（1）求证：直线BE与 O相切；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
⊙24．（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，
O经过点C且与AB边相切于点E， ．
（1）求证：AF是 O的切线；
⊙
（2）若BC＝6，AB＝10，求 O的半径长．
⊙
⊙
25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为 O直径，CB与 O相切于点B，D为 O上一点，连接AD、
OC，若AD∥OC．
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（1）求证：CD为 O的切线；
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF
⊙
的长．26．（2022秋•建昌县期末）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O的直径，AD，BC的延长线交于
点E，延长CB交AF于点F，∠BAF+∠DCE＝90°．
（1）求证：AF是圆O的切线；
（2）点G在CE上，且BC＝CD＝CG，连接DG，DG＝2，AB＝5，求AD的长．27．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作 O， O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，
连接CD，过D作 DE∥AB交AC延长线于点E．
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（1）求证：DE为 O切线：
（2）若AC＝4， ⊙ ，求 O的半径长．
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28．（2023•新洲区校级模拟）如图，C是 O的直径AB的延长线上的一点，且 ．P是 O上的
一动点（不与点A，B重合），E是OB的中点．
⊙ ⊙（1）如图1，若PE⊥OB，求证：CP与 O相切；
（2）如图2，CP与 O交于点M，若∠PEA＝30°，AB＝4，求PE的长．
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29．（2023春•东营期末）如图，在 O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与 O交于点H，过
H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
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（1）求证：HB是 O的切线；
⊙（2）若HB＝4，BC＝2，求 O的直径．
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30．（2023春•清江浦区月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的 O与BC交于点
D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
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（1）试说明：DE是 O的切线；
（2）若 O的半径为4，BE＝2，求CF的长．
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