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12.1全等三角形的性质
全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等
形.
注意：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改
变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
题型1：全等形的识别
1.1．下列各组两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据全等形的定义：能够完全重合的图形叫做全等形，逐项进行判断，即
可得出答案.
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．两个长方形是全等图形
B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】C【解析】【解答】解：A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形.
故答案为：C.
【分析】形状、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答即可.
【变式1-2】下列说法中，正确的有（ ）
①正方形都是全等形；②等边三角形都是全等形；③形状相同的图形是全等形；
④大小相同的图形是全等形；⑤能够完全重合的图形是全等形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：正方形不一定都是全等形，故①不符合题意；
等边三角形不一定都是全等形，故②不符合题意；
形状相同的图形不一定都是全等形，故③不符合题意；
大小相同的图形不一定都是全等形，故④不符合题意；
能够完全重合的图形是全等形，故⑤符合题意；
故答案为：A．
【分析】由全等形：能够完全重合的图形是全等形，逐一判断各选项即可得到答
案．
全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的
角叫对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最
短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易
找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点
D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和
∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.题型2：全等三角形的对应元素
2.如图，△ABC≌△CDA ，∠BAC＝∠DCA，则BC 的对应边是 （ ）
A．CD B．CA C．DA D．AB
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ △ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，
∴BC=DA
∴BC的对应边是DA.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的性质，可知点 A的对应点为C，点B的对应点为点D，
由此可得到BC的对应边。
【变式2-1】已知图中的两个三角形全等，AD与CE是对应边，则A的对应角是（
）
A．∠BCE B．∠E C．∠ACD D．∠B
【答案】A
【解析】【解答】观察图形知，AD与CE是对应边
∴∠B与∠ACD是对应角
又∠D与∠E是对应角
∴∠A与∠BCE是对应角．
故答案为：A．
【分析】观察图形，AD与CE是对应边，根据对应边去找对应角．
【变式2-2】已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对
应角和各对对应边．
【答案】解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．
【解析】【分析】根据全等三角形中，重合的点是对应顶点，重合的角是对应角可
求解。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
注意：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等
三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
题型3：全等三角形的性质
3.下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．所有的直角三角形都是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项不
符合题意；
B、全等三角形的周长和面积分别相等，该选项符合题意；
C、所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项不符合题意；
D、所有的等边三角形不一定都是全等三角形，该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形全等的性质及判定判断各选项即可。
【变式3-1】如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列错误的等式是
（ ）
A．AD＝DE B．∠BAE＝∠CAD
C．BE＝DC D．AB＝AC
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AD=AE，BE=CD，∠BAE=∠CAD，
∴B、C、D不符合题意，A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的性质逐项判断即可。【变式3-2】如图，△ABC≌△DEC，∠A=∠D，AC=DC，则下列结论：①
BC=CE；②AB=DE；③∠ACE=∠DCA；④∠DCA=∠ECB．成立的是
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．
①②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC=EC，AB=DE，∠ACB=∠DCE，故①②符合题意；
∵∠DCA=∠DCE-∠ACE，∠BCE=∠ACB-∠ACE，
∴∠DCA=∠ECB，故③不符合题意，④符合题意，
综上所述：正确的有①②④；
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质逐项判断即可。
题型4：全等三角形的性质的应用-求边或角
4.如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=75°，则∠ACD的度数为
（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，
∵∠B=75°，
∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，
故答案为：C．
【分析】先求出BC=CE，∠ACB=∠DCE，再求出∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，最
后计算求解即可。【变式4-1】已知：如图， △ABC≌△DEF，BC=8cm，EC=5cm ，求线段 CF
的长．
【答案】解：∵△ABC≌△DEF ，
∴BC=EF ，
∵BC=8cm ，
∴EF=BC=8cm ，
∵EC=5cm ，
∴CF=EF-EC=8-5=3(cm) ．
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得 BC=EF，再利用线段的和差计算即
可。
【变式4-2】如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝
105°，求∠BFD和∠BED的度数．
【答案】解：∵ △ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAC+∠CAD=105°，
∴2∠BAC=105°-∠CAD=70°，
∴∠BAC=35°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=35°+35°=70°，
∴∠BFD=∠B+∠BAF=20°+70°=90°，
∴∠BED=∠BFD-∠D=90°-20°=70°.
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出∠DAE=∠BAC，然后根据角的和差关
系列式求出∠BAC，再根据三角形外角的性质求出∠BFD，则可根据三角形外角的
性质求∠BED即可.
题型5：全等三角形的性质的应用-证明
5.如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEC，全等三角形对应边相等可得
BC=EC，根据等边对等角可得∠B=∠BEC，从而得到∠BEC=∠DEC，再根据角平分线
的定义证明即可．
【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠B=∠DEC，BC=EC，
∴∠B=∠BEC，
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的
性质并准确识图是解题的关键．
【变式 5-1】如图所示，A，D，E 三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，求证：
BD=CE+DE．
【分析】根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可．
【解答】解：∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=DE+CE．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，关键是通过三角形全等得出正确的结论．
【变式5-2】已知，△ABC≌△EBD，点D与点C是对应点，求证：∠AFE=∠ABE．
【分析】根据△ABC≌△EBD得到∠A=∠E，结合对顶角相等即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC≌△EBD，
∴∠A=∠E，
在△AFG和△EBG中，∵∠AGF=∠EGB，
∴∠AFG=∠EBG，
即∠AFE=∠ABE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角
相等，此题难度不大．
题型6：全等三角形的性质的应用-位置关系
6.如图所示， △ ADF≌ △ CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与
BC的位置关系．
【答案】解： AD 与 BC 的位置关系为 AD//BC ．
∵ΔADF≅ΔCBE ，
∴∠ADF=∠CBE ．
又 ∵∠ADF+∠ADB=180° ， ∠CBE+∠CBD=180° ，
∴∠ADB=∠CBD ．
∴AD//BC ．
【解析】【分析】平行.理由：由全等三角形的性质可得∠ADF=∠CBE，利用补角
的性质可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定即得结论.
【变式6-1】如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么
AD与BC是怎样的位置关系？为什么？
【答案】解：AD⊥BC．
证明：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，
∵B，D，C在同一条直线上，
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
【解析】【分析】利用全等三角形的性质可知： ∠ADB=∠ADC， 再利用平角性质可得 ∠ADB=∠ADC=90°， 即可证出结论。
【变式6-2】如图，在△ADC中，∠ADC=90°，△ADC≌BDH，那么BH与AC互相垂
直吗？请说明理由．
【分析】由△ADC≌BDH可得出∠C=∠BHD、∠ADC=∠BDH=90°，根据三角形内角和
定理可得出∠B+∠BHD=∠B+∠C=90°，进而可得出∠BEC=90°，即BH⊥AC．
【解答】解：BH⊥AC，理由如下：
∵△ADC≌BDH，
∴∠C=∠BHD，∠ADC=∠BDH=90°．
∵∠B+∠BHD+∠BDH=180°，
∴∠B+∠BHD=∠B+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BH⊥AC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性
质结合三角形内角和定理找出∠BEC=90°是解题的关键．
一、单选题
1．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【解析】【解答】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③.
故答案为：B.
【分析】根据全等图形的概念进行判断.
2．已知 △ABC≌△DEF ，根据图中信息，得 x= （ ）A．15 B．18 C．20 D．25
【答案】C
【解析】【解答】解：在△ABC中∠B=50°，∠C=60°，
∴∠ A=70°，
又∵△ABC≌△DEF ，
∴∠A与∠D为对应角，
∴可得BC与EF为对应边，
∴BC=EF，
∴x=20．
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得：BC=EF即可得到答案。
3．如图，已知△ABC≌△CDA，AB与CD是对应边，AB＝4，BC＝5，AC＝6，则AD
的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．不确定
【答案】B
【解析】【解答】已知△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质可得AD=CB=5，
故答案为：B
【分析】根据全等三角形的性质可得AD=CB=5。
4．如图，△ABC≌△ADE，∠C=40°，则∠E的度数为（ ）A．80° B．75° C．40° D．70°
【答案】C
【解析】【解答】因为△ABC≌△ADE，所以∠C=∠E，又因为∠C=40°，所以
∠E=40°．
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形对应角相等得出∠C=∠E=40°。
5．如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，AE＝2，
∴AB＝AC＝5，
∴EC=AC-AE=5-2=3，
故答案为：B．
【分析】先求出AB＝AC＝5，再计算求解即可。
6．如图，在 △ABC 外找一个点 A' （与点A不重合），并以 BC 为一边作
△A'BC ，使之与 △ABC 全等，且 △ABC 不是等腰三角形，则符合条件的点 A'
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分
别得到点 A' 、 A ❑ ' ；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径
1
画弧，两弧的交点得到点 A ❑ ' ，所以符合条件的点A′有3种可能的位置.
2
故答案为：C.
【分析】以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两
弧相交分别得到点 A′ 、A′；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为
1
半径画弧，两弧的交点得到点A′ ，据此解答.
2
7．如右图，△ABC≌△FDE，∠C=40°，∠F=110°，则∠B等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．150°
【答案】B
【解析】【分析】先根据全等三角形的性质可求得∠BAC的度数，再根据三角形的内
角和定理即可求得结果。
【解答】 △ABC≌△FDE，∠F=110°
∴∠BAC=∠F=110°
∵∠C=40°
∴∠B=30°
故选B.
【点评】解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等，三角形的内角和为180°.
二、填空题
8．若 △ABC≌△DEF ，且 △ABC 的周长为12，若 AB=5，EF=4，AC=.
【答案】3
【解析】【解答】∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=4，
∵△ABC的周长为12，AB=5，
∴AC=12-5-4=3.
【分析】根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可求解.
9．如图，△ABC≌△DFE，CE＝6，FC＝2，则BC的长为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵CE=6，FC=2，
∴EF=CE+FC=2+6=8，
∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF=8，
故答案为：8.
【分析】首先根据线段的和差算出EF的长，然后根据全等三角形的对应边相等得出
BC=EF=8。
10．如图所示，已知 Δ ABC ≅Δ ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，
若 ∠ D= 25° ， ∠ E= 105° ， ∠ DAC= 15° ，则 ∠ DGB= .
【答案】65°
【解析】【解答】解： ∵ Δ ABC ≅Δ ADE ，∠ACB=∠E=105°，
∴∠FCA=180°-∠ACB=180°-105°=75°，∠AFC=180°-∠FCA-∠FAC=180°-75°-15°=90°，
∴∠DFG=∠AFC=90°，∠DGB=90°-∠D=90-25°=65°.
故答案为：65°.
【分析】先由三角形全等的性质求出∠ACB=∠E=105°，再由补角的性质求出∠FCA，
然后由三角形内角和定理求出∠AFC，则∠DFG的角度可知，在△DFG中，用内角和
定理即可求出∠DGB的度数.11．在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，A（4,3），B（4,0），在坐标轴上有一
点C，使得△AOB 与△COB 全等，则 C 点坐标为 .
【答案】（0,3）或（0，-3）
【解析】【解答】解: ∵A（4,3），B（4,0），
∴AB=3,OB=4, ∠ABO=90°
∵△AOB 与△COB 全等，
∴OC=AB
∵AB=3
∴CO=3
∴C 点坐标为（0,3）或（0，-3）.
故答案为: （0,3）或（0，-3）.
【分析】由点O、点A和点B的坐标可知若使△AOB 与△COB 全等，则需OC=AB
且点C在y轴上，则可得到点C的坐标。
三、解答题
12．如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．
【答案】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，
∴BE=AB-AE=AC-AD=CD．
【解析】【分析】利用全等三角形的性质：对应边相等求解即可。
13．如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC的度数。【答案】解：
∵△ABC≌△ADE∴∠BAC=∠DAE∴∠DAC+∠DAB=∠DAC+∠EAC∴∠BAD=∠EAC=40°
∵∠BAE=120°∴∠BAC=∠BAE-∠EAC=120°-40°=80°。
【解析】【分析】利用全等三角形的性质，可得∠BAC=∠DAE，再证明
∠BAD=∠EAC，就可求出∠EAC的度数，然后利用∠BAC=∠BAE-∠EAC，可求出
∠BAC的度数。
14．如图所示，已知△ABF≌△DEC，说明AC∥DF成立的理由.
【答案】解：∵△ABF ≅ △DEC,
∴AB=DE,BF=CE, ∠B=∠E
∴BF＋FC=CE＋CF,即 BC=EF.
{BC=EF
在△ABC和ADEF中,∵ ∠B=∠E
AB=DE
∴△ABC≅△DEF∴∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF
【解析】【分析】根据三角形全等的性质可得BC=EF，于是利用边角边定理可证
△ABC≌△DEF，则∠ACB=∠DFE，因此根据平行线的判定定理证出AC∥DF。
15．如图，已知△ABF≌△CDE.
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD=10，EF=2，求BF的长.
【答案】（1）解：∵△ABF≌△CDE，∴∠B=∠D.
∵∠B＝30°，
∴∠D=30°.
∵∠DCF＝40°，
∴∠EFC=∠D+∠DCF=70°
（2）解：∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE
.∵BF=BE+EF，DE=DF+EF，
∴BE=DF.
∵BD=10，EF=2，
∴BE+DF=BD-EF=8，
∴BE=DF=4，
∴BF=BE+EF=6
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠B=∠D =30°，进而根据三
角形外角定理，由 ∠EFC=∠D+∠DCF 就可算出答案；
（2）根据全等三角形对应边相等得出BF=DE ，根据等式的性质，由等量减去等量差
相等得出 BE=DF ，然后根据 BE+DF=BD-EF 及 BF=BE+EF 就可算出答案.
