文档内容
第 16 讲 点和圆的位置关系 （3 个知识点+6 种题型+分层练
习）
知识导图
知识清单
知识点1．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r ⊙
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以⇔确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
⇔ ⇔
知识点2．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
知识点3．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
题型强化
题型一．点与圆的位置关系
1．（2024秋•江宁区校级月考） 以原点为圆心，5为半径，点 的坐标为 ，则点 与 的位置
关系是
A．点 在 内 B．点 在 上
C．点 在 外 D．点 在 上或 外
2．（2024秋•南京月考）平面上一点 与 上的点的最短距离为2，最长距离为10，则 的半径为
．
3．（2024秋•灌云县月考）如图，点 表示一座风景秀美的小山，市政府计划以点 为中心，修建一个半
径为 的“桃园山庄”．因此，在此范围内的其他建筑物将被拆除．从点 出发向东走 ，再向南
走 有一砖厂 ，砖厂的正东 处有一古塔 ，问砖厂和古塔是否需要拆除？题型二．确定圆的条件
4．（2023秋•柳河县期末）下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧
相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是
A．① B．② C．③ D．④
5．（2024秋•建邺区校级月考）若过平面直角坐标系中的三个点 、 、 能确定一个圆，
则 ．
6．（2022秋•乌兰浩特市校级期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 、 、 的横、纵坐标都为
整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆的圆心坐标是 ．
题型三．三角形的外接圆与外心
7．（2024秋•沭阳县校级月考）在 △ 中， ， ， ，则这个三角形的外接圆
的直径是
A．5 B．10 C．4 D．3
8．（2024秋•泰兴市校级月考）在△ 中， ， 是△ 的外接圆，点 是 上一动点
（不与 、 重合），过点 作 的垂线，交直线 于点 ，若 ，则 的度数是
．9．（2024秋•秦淮区校级月考）如图，△ 内接于 ， 为 的中点， 在 上，连接 ，
，垂足为 ，直线 分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
题型四、判断点与圆的位置关系
10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知 的半径是 ， 是 外一点，则 的长可能是
（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习） 的半径为4，点 与点 距离为2，则点 与 的位置关
系是 ．
12．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 是 上的三个点，
、 、 ．(1)在图上标出圆心 ，圆心 的坐标为____；
(2)求 的半径，并判断点 与 的位置关系．
题型五、利用点与圆的位置关系求半径
13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在半径为r的 内，且 ，则r的值可能为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内， 的半径是8，点 不在 上，若点 到 上
的点的最小距离是 ，则点 到 上的点最大距离是 ．
15．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形 中， ， ， ，
是高线， 是中线．(1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点 ， ， 与圆A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作圆A，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径
的取值范围？
题型六、判断确定圆的条件
16．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；
③以 长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
17．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点 ， ，
确定一个圆（填“能”或“不能”）．
18．（22-23九年级上·广东广州·期末）在正方形 中，点 在射线 上（不与A、 重合），连接
，以 为对角线作正方形 （ 、 、 、 按逆时针排列），连接 、 ．(1)如图，当点 在线段 上时，求证： ；
(2)由正方形的性质可知 ，即 ， 两点均在以 为直径的同一个圆上，请直接回答：
_________ ；
(3)如备用图，当点 在线段 上时，判断 、 、 三条线段之间的数量关系，并说明理由．
分层练习
一、单选题
1．已知 的半径为2，点P在 外，则 的长不可能是（ ）
A．1 B． C． D．4
2．用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（ ）
A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个
C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个
3．用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角
4． 的直径为 ，如果点P到圆心O的距离是d，则（ ）
A．当 时，点P在 内 B．当 时，点P在 上
C．当 时，点P在 上 D．当 时，点P在 外
5．一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程 的两根，则这个三角形外接圆
的半径是（ ）
A． B．5 C． D．8
6．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以A为圆心R为半径作圆，使得点C在圆内，点B在
圆外，则R的值可以是（ ）
A．4 B．4.6 C．5 D．5.6
7．如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上的中线，以 为直径作
，设线段 的中点为P，则点P与 的位置关系是（ ）
A．点P在 内 B．点P在 上
C．点P在 外 D．点P不在 内
8．在Rt ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（）
A．10△0πcm² B．15πcm² C．25πcm² D．50πcm²
9．下列说法正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的圆心角相等
10．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，
过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面内，⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 ．
12．点P到 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则 的半径为 ．
13．用反证法证明命题“已知 的三边长 满足 ．求证： 不是直角
三角形．”时，第一步应先假设 ．
14． ABC的三边分别是3，4，5，则 ABC的外接圆的半径是 ．
15．△某园林单位要在一个绿化带内开挖△一个 ABC的工作面，使得∠ACB=60°，CD是AB边上的高，且
CD=6，则 ABC的面积最小值是 ．△
△
16．如图，矩形 中， ， ，以A为圆心，r为半径作 ，使得点D在圆内，点C在圆
外，则半径r的取值范围是 ．17．如图，正方形 中， ，以B为圆心， 为半径画圆，点P是 上一个动点，连接
，并将 绕点A逆时针旋转 至 ，连接 ，在点P移动的过程中， 长度的取值范围是
．
18．如图，分别以 的边 所在直线为对称轴作 的对称图形 和 ，
，线段 与 相交于点O，连接 ． 有如下结论：① ；②
；③ 平分 ；④ ；⑤ ．其中正确的是 ．
三、解答题
19．如图，在 中， ，D是 的中点，以A为圆心，r为半径作 ，若
点B，D，C均在 外，求r的取值范围．20．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．
21．操作与计算：
（1）用尺规作出 ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=AC=5，△BC=6，求⊙O的半径．
22．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外
侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小．(1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹）
(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，
并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离 为22
米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．
23．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 天的售价与销量的相关信息如下
表：
观察表格：根据表格解答下列问题：
0 1 2
1
-3 -3
（1） __________. _____________. ___________.
（2）在下图的直角坐标系中画出函数 的图象，并根据图象，直接写出当 取什么实数时，
不等式 成立；
（3）该图象与 轴两交点从左到右依次分别为 、 ，与 轴交点为 ，求过这三个点的外接圆的半径.24．下面是小晶设计的“作互相垂直的两条直线”的尺规作图过程．
作法：如图，
①在平面内任选一点O，作射线OA，OB；
②以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
③分别以C，D为圆心，以大于 CD的同样长为半径作弧，两弧交于∠AOB内部一点P；
④连接CP、PD；
⑤作直线OP，作直线CD，两直线相交于点E；则直线CD与OP就是所求作的互相垂直的两条直线．根据
小晶设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝ ，CP＝ ，OP＝OP
∴△OPC≌△OPD
∴∠AOP＝∠BOP．
∴OE是△COD的高线（ ）（填推理的依据）
即OE⊥CD．
∴CD与OP互相垂直25．如图 (1)所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点
G．
(1)求证阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的 ；
(2)如图 (2)所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两
条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的 ．
26．（1）如图1，在四边形 中， ，对角线 ，若 ，求
的长．
（2）陕北羊肉在全国远近闻名，某养殖场准备在以 ， 为围档的旧农场中，建设一个新的山羊养殖
基地，如图2，六边形 为新养殖基地的鸟瞰图，点A位于点B的正北方，已知 米，
，且点C位于点B的东边，设计要求将点B，E分别设为入口，点E位于点C的正北方向，点A的正东方向， ．根据设计要求，求六边形 的面积
的最小值及此时 的长．
