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第 22 章 二次函数 章节整合练习（14 个知识点+40
题练习）
章节知识清单练习
知识点1．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其
中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
知识点2．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．知识点3．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，
y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，
y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
知识点4．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．知识点5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x＝
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．
知识点6．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求
出解析式．
知识点7．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．知识点8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
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（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
知识点9．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与
y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是
能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得
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到抛物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
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知识点10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
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交点坐标（x ，0），（x ，0）．
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知识点11．图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
知识点12．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
知识点13．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
知识点14．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
章节题型整合练习
一．二次函数的定义
1．（2024•海淀区校级开学）下列 关于 的函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
2．（2024春•萨尔图区校级期末）若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
3．（2023秋•博乐市月考）已知函数 ．
（1）当 为何值时， 为 的二次函数？
（2）当 为何值时， 为 的一次函数？
二．二次函数的图象
4．（2024•瑶海区校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可能为
A． B．
C． D．
5．（2024•东海县模拟）已知二次函数 的图象如图所示，则点 在第 象限．
6．（2023秋•丰满区校级月考）若二次函数 的图象如图所示，试求 的值．三．二次函数的性质
7．（2024秋•姑苏区校级月考）对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而减小
8．（2024•恩施市校级一模）已知函数 ，点 在该函数的图象上，若这样的点
恰好有三个，则 的值为 ．
9．（2024•凉山州模拟）对于三个数 、 、 ，用 ， ， 表示这三个数的平均数，用 ， ，
表示这三个数中的最大数；即 ，例如 ；若满足 ，则
， ， ，例如 ， ， ， ， ， ，根据上述材料，完成下列问
题：
（1） ， ， 1 ；若 ， ， ，则 的取值范围为 ；
（2）若 ，12， ， ， ，求 的值．
四．二次函数图象与系数的关系
10．（2024•西陵区模拟）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 ， 和 ，
，若 且 ，则 ．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024•射洪市一模）二次函数 的大致图象如图所示 ．下
列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④ ．其中正确的有 ．
（只填写序号）
12．（2023秋•姑苏区校级月考）（1）已知函数 ，当 ， 时， 恒成立，
求实数 的取值范围．
（2）已知函数 ，若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．五．二次函数图象上点的坐标特征
13．（2024•凉山州模拟）已知 是关于 的二次函数，其图象经过 ，则 的值为
A． B． C． D．无法确定
14．（2023秋•商水县期末）已知 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ，
， 的大小关系为 ．（用“ ”连接）
15．（2024•东莞市三模）已知 ．
（1）化简 ；
（2）若点 是抛物线 上的一点，求 的值．六．二次函数图象与几何变换
16．（2024•泾阳县模拟）已知抛物线 的对称轴在 轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个
单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是
A． 或1 B． C．1 D．5
17．（2024秋•姑苏区校级月考）若抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则 ，
．
18．（2024•鹿城区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 与原点重合，顶点 在
轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，抛物线 经过点 ．
（1）求 的值与对称轴．
（2）将抛物线向右平移 个单位 使得新抛物线与 ， 分别交于 ， ，点 ， 的纵坐标
相等，求 的值和点 的坐标．七．二次函数的最值
19．（2024•河北模拟）已知二次函数 为常数）在自变量 的值满足 的情况下，与
其对应的函数值 的最小值为5，则 的值为
A．1或 B． 或5 C．1或 D．1或3
20．（2024•拱墅区校级开学） 时，函数 的最小值为 ，则实数 的值为 ．
21．（2024•婺城区校级开学）已知函数 ， 为常数）的图象经过点 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，求 的最大值与最小值之差；
（3）当 时，求 的最小值．（可用含 的代数式表示）八．待定系数法求二次函数解析式
22．（2024•曲阜市一模）在平面直角坐标系 中，抛物线的顶点是 ，当 时， 随 的增大而
增大，则抛物线解析式可以是
A． B． C． D．
23．（2024•鹿城区校级开学）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，它的顶点坐标为
，则此抛物线的解析式 ．
24．（2024秋•姑苏区校级月考）已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，
﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）求抛物线与y轴的交点坐标．
九．二次函数的三种形式
25．（2023•襄垣县一模）将二次函数 化成 的形式，正确的是
A． B． C． D．
26．（2023秋•仁寿县期末）已知二次函数 可以写成 ，则 的取值范围
是 ．27．（2023秋•肥东县期末）已知抛物线 ．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2） 取何值时， ？
一十．抛物线与x轴的交点
28．（2023秋•河东区期末）抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为 ．
29．（2024•凉山州模拟）如图，抛物线 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）若点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标；
（3）点 是抛物线上 、 之间的一点，过点 作 轴于点 ，过点 作 交抛物线于点
，过点 作 轴于点 ．设点 的横坐标为点 ，请用含 的代数式表示矩形 的周长，
并求矩形 周长的最大值．一十一．图象法求一元二次方程的近似根
30．（2024•泰安）如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线
，图象与 轴交点的纵坐标是2．则下列结论：① ；②方程 一定有一个根在
和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④ ．其中，正确结论的个
数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
31．（2023秋•睢宁县期末）已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如表，
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
则方程 的一个解的范围是 ．
一十二．根据实际问题列二次函数关系式
32．（2024•槐荫区二模）某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三
边用栅栏围成，若栅栏的总长为 ，设长方形靠墙的一边长为 ，面积为 ，当 在一定范围内
变化时， 随 的变化而变化，则 与 满足的函数关系是A． B． C． D．
33．（2024•市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．
经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为 元，每天的销售
利润为 元，则 与 的函数关系式为 ．
34．（2023秋•天山区校级期中）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；
如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元
后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价 元 为整数），每个月的销售量为 件．
（1）求 与 的函数关系式并直接写出自变量 的取值范围；
（2）设每月的销售利润为 ，请直接写出 与 的函数关系式．
一十三．二次函数的应用
35．（2024•山西模拟）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如
图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，图中点 ，
关于 轴对称，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，若点 到 轴的距离小于它到
轴的距离，则二次函数 图象的顶点坐标是A． B．
C． D． 或
36．（2024•鼓楼区校级开学）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 （米 关于滑行的时间 （秒 的
函数解析式是 ，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
37．（2023秋•宣化区期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50
元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采
用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．
（1）设定价为 元，日销售量为 件．试用含 的式子表示 ， ；
（2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？
（3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？一十四．二次函数综合题
38．（2024•临邑县一模）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，以 为边
向右作菱形 ，点 恰与原点 重合，抛物线 的顶点在直线 上移动．若抛物
线与菱形的边 、 都有公共点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
39．（2024•和平区校级三模）如图，已知抛物线 ，等边 的边长为 ，顶点 在抛
物线上滑动，且 边始终平行水平方向，当 在滑动过程中，点 落在坐标轴上时， 点坐标是：
．
40．（2024•东宝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，与直线
交于点 ， 两点，点 是直线 下方抛物线上不与 ， 重合的一动点，过点 作 的平行线交 轴于点 ，设点 的横坐标为 ．
（1）请直接写出 ， ， 的值；
（2）如图，若抛物线的对称轴为直线 ，点 在直线 的右侧， 与直线 交于点 ，当 为 的中
点时，求 的值；
（3）线段 的长记为 ．
①求 关于 的函数解析式；
②若 ，结合 关于 的函数图象，直接写出 的取值范围．
