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第 19 章 二次根式
19.2 二次根式的乘法
第 2 课时 二次根式的除法
【素养目标】
√a √a
1. 理解并掌握二次根式的除法法则： = (a ≥ 0 , b > 0 ) 会用类
√b b
比的数学思想方法来探究除法法则。 (重难点)
√a √a
2. 理解并掌握商的算术平方根的性质： = ( a ≥ 0 , b > 0 ) 体
b √b
会二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的互逆关系。 (重、难点)
3. 掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题，通过合作探究， 激发求知欲，
了解类比思想。
【复习导入】
二次根式的乘法法则：___________________,
文字描述：___________________________________________.
公式逆用：___________________,
文字描述：___________________________________________.
【合作探究】
探究点1：二次根式的除法法则
问题1：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
√4
(1) =____÷____=____ ;
√9
√16
(2) =____÷____=____ ;
√25
√36
(3) =____÷____=____ ;
√49
观察两者有什么关系？你能用一个式子来表示一下你发现的规律吗？
问题2：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你
第 1 页√a
能说出二次根式 的结果吗？
√b
回 顾 上 节 课 所 讲 的 二 次 根 式 的 乘 法 ， 我 们 知 道
√a √a
√a×√b = √ab ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )那么对于 = 是否同样是
√b b
a ≥ 0 , b ≥ 0 ?
【知识要点】
√a √a
二次根式的除法法则： = ( a ≥ 0 , b > 0 )
√b b
文字叙述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根。
当二次根式根号外的因数 (式) 不为 1 时， 可类比单项式除以单项式的法
m√a m √a
则，易得 = (a ≥ 0 , b > 0 , n ≠ 0 )
n√b n b
【典例精析】
例1 计算：
√24 √3 √ 1
(1) ; (2) ÷ .
√3 2 18
【练一练】
1. 计算：
(1)
√150
; (2)
3√42
(3)
√
4
1
÷
√
1
1
(4)
√6 5√6 2 2
√x √x
÷ (y>0) .
3 75y2
第 2 页探究点2：商的算术平方根的性质
我们知道， 把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质。
类似的， 把二次根式的除法法则反过来， 就得到
√a √a
二次根式的商的算术平方根的性质 = (a ≥ 0 , b > 0)
b √b
我们可以运用它来进行二次根式的化简。
例2 化简：
(1) √ 3 ; (2) √y3 .
100 x2
【练一练】
√x √x
1. 能使等式 = 成立的x的取值范围是 （ ）
x−2 √x−2
A. x ≠ 2 B. x ≥ 0 C. x > 2 D.
x ≥ 2
2. 化简：
√5 √1 √81
(1) ; (2) ; (3)√1.25; (4) ( x > 0 )
64 25 25x2
.
例3 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a , b . 已知S = √10,b = √3
，求 a .
第 3 页【练一练】
3. 计算：
(1)
√14
; (2)
√3
a .
√6 7
当堂反馈
1. 计算 √6 ÷ √3 的结果是( )
A. 2 B. √2 C. 3 D. √3
2. 化简：
(1)
√3
=_______, (2)
√2
=_______ .
16 √7
3. 计算：
(1) √45÷√20 ; (2) √4a2 ÷ √9a .
4. [教材变式]已知某长方体的体积为30√10cm3 , 长为√20cm ，宽为√15cm ，
求长方体的高。
第 4 页参考答案
复习导入
√a ×√b = √ab( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根。
公式逆用： √ab = √a × √b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
探究点1：二次根式的除法法则
例1 解：(1) √24 √24 .
= =√8=2√2
√3 3
√3 √ 1 √3 1 √3
(2) ÷ = ÷ = ×18=√3×9=3√3 .
2 18 2 18 2
【练一练】 1. 解： (1) √150 √150 ; (2) 3√42 3√42 3 ;
= =5 = = √7
√6 6 5√6 5 6 5
√ 1 √ 1 √9 √3 √9 2
(3) 4 ÷ 1 = ÷ = × =√3 ;
2 2 2 2 2 3
(4) √x
÷
√x
=
√x
×
75y2
= √25y2 = 5y
.
3 75y2 3 x
第 5 页探究点2：商的算术平方根的性质
√3 √3 √3
例 2 解 ： (1) = = ; (2)
100 √100 10
√y3 √y3 √y2×√y y√y .
= = =
x2 √x2 x x
【练一练】
2. C.
3. 解： √ 5 √5 √5 . (2) √ 7 √32 √32 √42×2 4√2 .
(1) = = 1 = = = =
64 √64 8 25 25 √25 √25 5
(3) √5 √5 √5 . (4) √81 √81 9 .
√1.25= = = = =
4 √4 2 25x2 √25x2 5x
例 3 解 ： 因 为 S = ab ， 所 以
S √10 √10 √10×3 √30 √30 √30
a = = = = = = = .
b √3 3 3×3 32 √32 3
【练一练】
4. 解： (1) √14 √14 √7 √7×3 √21 ; (2) √3 √3a √3a×7 √21a .
= = = = a= = =
√6 6 3 3×3 3 7 7 7×7 7
当堂反馈
√3 √14
1. B. 2. (1) (2) .
4 7
3 2√a
3. 解： (1) 原式 = . (2)原式 = .
2 3
4. 解： 30√10 ÷ (√20×√15) = 30
√10
= 30
√1
= √30(cm).
20×15 30
答： 长方体的高为 √30cm .
第 6 页
