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第 19 章 二次根式
19.3 二次根式的加减
第 2 课时 二次根式的混合运算
【素养目标】
1. 掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能熟练地进
行二次根式的混合运算。(重点)
2. 熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用。(难点)
3. 通过独立思考与小组讨论， 培养良好的学习习惯，体会类比思想。
【情境导入】
如图，为推进绿色亚运城市建设，某市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两
块正方形的光伏发电板 A , B ，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面
积分别为 18m2 和 32m2 .
(1) 光伏板 A , B 的边长分别为 _______m ， _______m ； (用最简
二次根式表示)
(2) 为计算屋顶中未利用区域(阴影部分)的面积， 小优是这样计算的：
3√2×(4√2−3√2)=3√2×√2=6.
他的作法正确吗？
【合作探究】
探究点1：二次根式的加减应用
问题1: 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么？
问题2: 多项式与单项式的除法法则是什么？
前面两个问题的思路是：
转化
单 × 多 → 单 × 单
分配律
思考： 若把字母 a , b , c , m 都用二次根式代替(每个同学任选一组),
然后对比归纳， 你们发现了什么？
第 1 页【典例精析】
例1 计算：
(1) (√8+√3)×√6 ; (2)(4√2−3√6)÷2√2.
例2 计算：
(1) (√2+3)(√2−5) ; (2)(√5+3)(√5+2).
【练一练】
1. 计算：
(1) √2×(√16+√8) ; (2) √6÷(√24−√6) .
√6
(3) (2+√2)(1−√2) ; (4) (2026−√3)
0+|3−√12|−
.
√2
探究点2: 二次根式与乘法公式
整式乘法运算中的乘法公式有哪些？
平方差公式： __________________________.
完全平方公式： __________________________.
例3 计算：
.
(1)(√5+√3)(√5−√3) (2)(√2+√3) 2;
第 2 页【练一练】
2. 计算：
(1) (2√2−1) 2 ; (2) (√2−√3)(√5+√7)(√2+√3) ;
(3) (3√2+√48)(√18−4√3) ; (4) (2√2−3) 2 (2√2+3) 2 .
第 3 页当堂反馈
√2
1. 计算 √27−√8× 的结果是 ( )
3
4 5
A. √3 B. √3 C. √3 D. 2√3
3 3
2. 计算：
(1) ;
(√18−√8)×√2=_________
(2) .
(3√75−2√27)÷6=_________
3. (1) 计算 的结果等于_____；
(√5−√7)(√5+√7)
(2) 已知 x = √5+1 ，则代数式 x2 −2x−3的值是_______ .
4. 计算：
(1) ; (2) ( √1) ;
√12−√18÷√6 √20−√5× 2+
5
√1
(3) √24÷√3−√18× +√32 ; (4)(3+√2)(3−√2)−√24÷√6.
2
5. 若将一个长方形的长增加5√2cm ，宽增加7√2cm ， 就成为一个面积为243
cm2 的正方形，求原长方形的面积。
第 4 页参考答案
情境导入
(1) 3√2m ， 4√2m ； (2) 正确
探究点1：二次根式的加减应用
问题1: m(a+b+c)= ma+mb+mc (m+n)(a+b) = ma+mb+na+nb
问题2: (ma+mb+mc)÷m = a+b+c
例1 解： (1)(√8+√3)×√6=√8×√6+√3×√6=√8×6+√3×6 = 4√3+3√2;
1 1 1 3
(2) (4√2−3√6)÷2√2 = (4√2−3√6)× = 4√2× −3√6× = 2− √3.
2√2 2√2 2√2 2
例 2 解 ：
(1)(√2+3)(√2−5) = (√2) 2+3√2−5√2−15 = 2−2√2−15 = − 13−√22
(2) (√5+3)(√5+2)=(√5) 2+3√5+2√5+6=5+5√5+6=11+5√5
【练一练】
1. 解：(1) 原式 =√2×√16+√2×√8=4√2+4 .
(2) 原式 =√6÷(2√6−√6)=√6÷√6=1.
(3) 原式 =2−2√2+√2−2=−√2 .
(4) 原式 =1+2√3−3−√3=√3−2.
探究点2: 二次根式与乘法公式
平方差公式： (a+b)(a−b) = a2 −b2
完全平方公式： (a+b) 2 = a2+2ab+b2 ，(a−b) 2 = a2 −2ab+b2
例3 解：(1) 解:(1)(√5+√3)×(√5−√3)=(√5)2 −(√3)2 = 5−3 = 2;
(2)(√2+√3) 2= (√2) 2+2×√2×√3+(√3) 2 = 2+2√6+3 = 5+2√6
【练一练】2. 解： (1) 原式 =(2√2) 2 −2×2√2×1+12=9−4√2 .
(2) 原式
=(√2−√3)(√2+√3)(√5+√7)=[(√2) 2 −(√3) 2](√5+√7)
=− (√5+√7)=− √5−√7.
(2)原式 .
=(3√2+4√3)(3√2−4√3)=(3√2) 2 −(4√3) 2=18−48=−30
(4) 原式 =[(2√2−3)(2√2+3)] 2 =[(2√2) 2 −(3) 2] 2 =(8−9) 2=1.
当堂反馈
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1. C. 2. (1) 2 ; (2) √3 . 3. (1) -2; (2) 1 .
2
4.(1) 解： 原式 =√3 . (2) 解： 原式 = −1 .
(3) 解： 原式 =6√2−3 . (4) 解： 原式 -5 .
5. 解： ∵ 正方形的面积为 243cm2 , ∴ 边长为 √243=9√3(cm) .
∴ 原长方形的长为 (9√3−5√2)cm ，宽为 9√3−7√3=2√3 (cm).
∴ 原长方形的面积为 (9√3−5√2)×2√3=(54−10√6)(cm2) .
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