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2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图， 在 中， ， 平分 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 平分 ，
，
∵在 中， ，
，
故选：A．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能相加，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项符合题意．
故选：D．
3．将方程 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是
（ ）
A． B． C． D．2，10
【答案】A
【详解】解：原方程为 ，
移项得： ，此时二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为 ，
故选：A．4．已知 中， ， ， 分别是 ， ， 的对边，下列条件不能判断 是直角三角形的
是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【答案】B
【详解】解：A． 由 ，结合内角和得 ，
代入得 ，解得 ，
为直角三角形，故此选项不符合题意．
B． 设 ，
则 ，
解得 ，
故 ，无直角，不能判定为直角三角形，故此选项符合题意．
C． 展开得 ，即 ，
由勾股定理的逆定理知 ， 为直角三角形，故此选项不符合题意．
D． ∵ ，
∴ ，
由勾股定理的逆定理知 ，
∴故 为直角三角形故此选项不符合题意．
故选：B．
5．如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高
C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大
D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大
【答案】A【详解】解：A、由折线统计图可以看出甲成绩的波动小于乙成绩的波动，即甲的成绩比乙的成绩稳定，
故选项A正确，符合题意；
B、由折线统计图可以看，甲的最好成绩为9，乙的最好成绩为10，
所以甲的最好成绩比乙的最好成绩低，故选项B不正确，不符合题意；
C、甲的成绩的平均数为 （个），乙的成绩的平均数为 （个）
所以甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，故选项C不正确，不符合题意；
D、甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数均为8个，故选项D不正确，不符合题意．
故选：A．
6．下列有关一次函数 的说法中，正确的是（ ）
A．函数图象与 轴的交点坐标为
B．函数图象可以由 向上平移两个单位得到
C．此一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为
D．当 时，
【答案】D
【详解】解：一次函数 ， ，
当 时， ，当 时，
A． 函数图象与 轴的交点坐标为 ，故该选项不正确，不符合题意；
B． 函数图象可以由 向下平移两个单位得到，故该选项不正确，不符合题意；
C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为 ，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，y随x的增大而减小，故当 时， 正确，符合题意；
故选：D
7．如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希
波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在 中， ， ， ，由勾股定理得： ，
∴阴影部分的面积
，
故选：D．
8．如图，在平行四边形 中，以点 为圆心， 的长为半径作弧交 于点 ，分别以点 ，
为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，
若 ， ， 则 的长为（ ）
A．10 B．5 C．12 D．15
【答案】A
【详解】解：连接 ，
由作图知： ， ， 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故选：A．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图所示，则下列结
论错误的是（ ）
A． 随 的增大而减小
B．
C．当 时，
D．关于x,y的方程组 的解为
【答案】C
【详解】解：A、 随 的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数 的图象与 轴的交点在 的图象与 轴的交点
的上方，即 ，故选项B正确，不符合题意；
C、由图象可知：当 时， ，故选项C错误，符合题意；
D、由图象可知，两条直线的交点为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解为 ，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
10．如图1，在面积为4的正方形 中，E为 边的中点，动点F从点D出发，在正方形的边上沿
匀速运动，运动到点B时停止．设点F的运动路程为x，线段 的长为y，y与x的函数图象如
图2所示，则点P的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接 ．
当点F在边 上时，y的值先减小后增大，
当点F在边 上时，y的值逐渐减小，
点P的横坐标为 的长，纵坐标为 的长．
正方形 的面积为4，
，
是 的中点，
．
在 中，由勾股定理得 ，
点P的坐标为 ，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
故答案为： ．
12．若关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则 ．
【答案】2025
【详解】解：把 代入 ，得
∴
故答案为：2025．
13．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有
竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中，
， ， ，求 的长，如果设 ，则可列方程求出 的长为 ．【答案】
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
解得： ．
故答案为： ．
14．如图，在菱形 中． P 是对角线 上一动点，E 是边 上一动点，连接 ， ． 若
， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ， ， ，过点C作 ，垂足为F，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 互相垂直平分．
∴ ．∴
当点C，P，E三点共线时，
而
∴ 的最小值为垂线段 的长．
中，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
∴ 的最小值为 ；
故答案为： ．
15．如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，P点坐标为 ，在平面直角坐标系中
存在一点O，使得A，B，P，Q构成平行四边形，则Q点坐标为 ．
【答案】 或 或
【详解】解： 对于直线 ，
当 ，当 ，
解得： ，
∴
如图：当平行四边形 时，
∴ ，
∴点 向点A的平移方式与点 向点 的平移方式一样，
∵ ， ，
∴点 向左平移6个单位，向下平移2个单位得到点 ，
∴ 向左平移6个单位，向下平移2个单位得到点 ，
同理可得： ， ，
∴Q点坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．计算下列各题．
(1) ；
(2) ．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过 ， 两点．(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求 的面积．
【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为 ，
∵ 的图象过点 ， ，
，
解得： ，
∴这个一次函数解析式为 ；
（2）解： ， ，
，
．
18．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等实数根．
(1)求m的取值范围；
【详解】（1）解： 方程 有两个不相等实数根，
，
解得 ；
（2）解： 是方程 的一个根，
，
解得 ，
方程为 ，
解得 ， ，
方程的另一个根是 ．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路 与l相连
接，其中 ，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路 （A，C，B在同一条直线上），测得 千米，
千米， 千米．
(1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明：
(2)求原来的路线 的长．
【详解】（1）解：是；
理由是：在 中，
， ，
，
是直角三角形，
，
是从村庄P到l的最近路；
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
答：原来的路线PA的长为8.45千米．
20．2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，
成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课
后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)求图1中的 ________，本次调查数据的中位数是________ ，本次调查数据的众数是________ ；
(2)该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？
(3)若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于 的人数．【详解】（1）解： ，
∴ ，
将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第 位与第 位数据的平均数，
∴中位数为 ，
由条形统计图可知，课后运动时间为 的人数最多，则众数为 ；
故答案为：25，3，3；
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是 ，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是 ；
（3）解： （人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于 的人数为 人．
21．杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，
9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
(1)求该专卖店核桃销售量的月增长率；
(2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，
在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获
利2240元，请回答：
①每千克核桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价
的_____折出售．
【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为 ，根据题意得，
解得： 或 （舍去）
答：该专卖店核桃销售量的月增长率为 ；
（2）解：①设每千克核桃应降价 元，则售价为 元，利润为 元，销量为
千克根据题意得，
解得：
答：每千克核桃应降价 或 元；
②设该店应按原售价的 折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，
赢得市场，则售价为 元，∴
解得：
故答案为： ．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分。
22．【问题情境】
定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为
“倍线平行四边形”．
【数学思考】
如图1，在 中，若 ， ，试判断 是否为“倍线平行四边形”，并说明
理由．
【深入探究】
如图2， 为“倍线平行四边形” ，E是 上的动点，连接 交 于点 ．
①若 是 的中点， ， ，求 的长．
②过点 作 交 于点 ，若 ，求证： 是 的中点．
【详解】解：数学思考： 是“倍线平行四边形”．
理由如下：在 中， ， ．
，
，
，
，
，
，
是“倍线平行四边形”．
深入探究：
① 是“倍线平行四边形”，
，
．
设 ，则 ．
， ，，
，
，
．
是 的中点，且 ，
．
②如图，过点 作 的延长线于点 ，连接 ．
，
．
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
，
．
，
， ．
又 ，
，
∴ ，
， ，
，
，
是 的中点．
23．在平面直角生标系中， 为坐标原点， ， ， ．
(1)求 的面积；(2)若 ，求证：四边形 是菱形；
(3)点P是线段 上任意一点，若点P向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的点P在
射线 上，则线段 上是否存在点G，使得 为直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，
请说明理由．
【详解】（1）解：过点 作 轴于点E，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：若 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（3）解：∵点P是线段 上任意一点，
∴当点P与点O重合时，
所对应的 在射线 上，
设直线 的解析式为 ，代入得，
∴ ，
∴线段 解析式为 ．
∵ 在直线 上，
∴ ，∴ ，
若线段 上存在点 ，使得 为等腰三角形，则可分为下列三种情形进行讨论：
①当 时，如图，取 的中点 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
点
②当 时，G在y轴上，但G在 上，舍去．
③当 时，
∴G横坐标为4，代入 得 ，
∴ ．
综上所述，符合条件的点G的坐标为 或 ．
