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2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（苏州专用）
数学•全解全析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上）
1．下列垃圾分类的标识，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁
的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的
图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；
故选A．
2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ）
A．对角线相等 B．内角和等于
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质，掌握矩形、菱形与平行四边形的关系是解答本题的关键．根
据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有即可解答．
【详解】解：A：对角线相等，矩形的对角线相等是其固有性质，而菱形的对角线互相垂直且平分，但长
度不一定相等（除非是正方形），因此，矩形具有而菱形不一定具有该性质；
B：内角和等于 ，所有四边形的内角和均为 ，矩形和菱形均满足，故排除；
C：对边平行且相等，矩形和菱形均为平行四边形，均满足对边平行且相等，故排除；
D：对角线互相垂直，菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线仅当为正方形时才垂直，普通矩形不满足，
故排除；
故选：A．
3．今年植树节，某社区集中移栽了一批香樟树．该社区调查了这批香樟树移栽成活情况，得到如图所示
的统计图，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为（ ）A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98
【答案】B
【分析】本题考查的是利用频率估算概率，频数分布表，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固
定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概
率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．由图可知，这批香樟树移栽成活的棵数占比稳
定在0.90，故成活的概率估计值为0.90．
【详解】解：由统计图可得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在0.90附近，
成活的概率约为0.90．
故选：B．
4．为了解2025年春学期无锡市八年级学生的跳高水平，从中随机抽取了1000名学生进行检测．下列说法
正确的是（ ）
A．2025年春学期无锡市八年级学生的全体是总体
B．样本容量是1000
C．被抽取的1000名学生是样本
D．被抽取的每一名八年级学生是个体
【答案】B
【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念．总体指研究对象的全体，个体是每个研究对象，
样本是抽取的部分个体，样本容量是样本中个体的数目．
【详解】解：A选项错误，总体应为2025年春学期无锡市八年级学生的跳高水平全体，而非学生全体；
B选项正确，样本容量是抽取的个体数量，即1000；
C选项错误，样本是被抽取的1000名学生的跳高水平数据，而非学生本身；
D选项错误，个体是每名学生的跳高水平，而非学生本身．
故选B
5．暑假期间八（1）班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗，已知每组
人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩
旗才能完成任务，如果设每个小组有学生 名，那么可以列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设每个小组有学生 名，根据题意“其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务”列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设每个小组有学生 名，根据题意可列方程得，
，
故选：C．
6．如图，在 中，点 、 分别在 、 上， ， 与四边形 的面积比为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，涉及平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决
问题的关键．根据平行线的性质得到 ，从而得到 ，再由相似三角形性质：面
积比等于相似比的平方得到 ，从而得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
与四边形 的面积的比为 ，
，解得 ．
故选：D．
7．如图，点 在反比例函数 （ ）的图像上，过点 分别作 轴、 轴的垂线交 轴、 轴于点
、 ，线段 、 与反比例函数 （ ）的图像相交于点 、 ，连接 ．则 的面
积为（ ）A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数系数与几何图形面积的关系是关
键．
根据题意设 ，则 ， ，由此得到 ，再利用三角形
面积公式计算即可求解．
【详解】解：∵点 在反比例函数 （ ）的图像上，过点 分别作 轴、 轴的垂线交 轴、
轴于点 、 ，
∴设 ，
∵线段 、 与反比例函数 （ ）的图像相交于点 、 ，
∴点 的横坐标为 ，则纵坐标为 ，即 ，
点 的纵坐标为 ，则横坐标为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
8．如图， 为 的直径，弦 交 于点M，且 ，若 ， ，则 的半径
为（ ）A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ，连接 ，则 ，由垂径定理可得
，进而可得 ，由直角三角形的两个锐角互余可得
，进而可得 ，由等角对等边可得 ，由勾股定理可
得 ，由此即可求出 的半径．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
，
过圆心且 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加
适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可．【详解】解：若式子 在实数范围内有意义，
则 ，
解得 ，
故答案为： ．
10．已知一组数据含有20个数据：68，69，70，66，68，65，64，65，69，62，67，66，65，67，63，
65，64，61，65，66，如果分成5组，那么 这一小组的频率为 ．
【答案】0.4
【分析】本题考查了频率，频率是频数与总数之比，首先求出出现数据的次数为 次，然后根据频
率计算公式求解即可．
【详解】解：在 这一小组中，65出现5次，66出现3次，
出现数据的次数为 次，
∴频率为 ．
故答案为：0.4．
11．我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加
视觉美感利用黄金分割法，将雕像 分为上下两部分，其中 为 的黄金分割点 ，已知
长为 米，则 的长是 米．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义
是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得： 米，
故答案为： ．
12．若函数 与 的图像交于点 ，则代数式 的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查函数图像交点问题与代数式求值，通过联立函数交点的条件，将问题转化为代数式的运
算，巧妙利用分式变形和已知关系式简化计算．关键在于将复杂的分式转化为已知量的组合，避免直接求
解方程的繁琐步骤．利用两个函数的交点坐标满足各自的方程，将条件转化为关于 和 的关系式，进而通过代数变形求解目标式子的值．
【详解】解： 点 与 的图像上，
，化简得 ，且 ，化简得
．
故答案为：4．
13．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程
的根与系数的关系可得 ， ，再将 变形为 ，最后整体代入
计算即可求解．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∵
．
故答案为： ．
14．如图，正五边形 的边长为10，以顶点 为圆心， 长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个
圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形
的弧长是解题的关键．
先利用正多边形内角和定理求出 的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行
求解即可．
【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r，由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．等腰 中， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，连接 、 交于点 ，
若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟悉定理内容并应用是解题的关键．过点E作
，交 于点D，则由平行线分线段成比例得 ；设 ，则 ，易得
；设 ，利用 得 ，即可求得 ，然后计算 即可．
【详解】解：如图，过点E作 ，交 于点D，
则 ；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ；
设 ；
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
故答案为： ．
16．如图，在 中， ， ， ，动点 在边 上，过点 作
于点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，在运动过程中当线段 最小时，则线段 的长
为 ．
【答案】
【分析】先通过折叠构造对称点，利用平行四边形性质推出角度；再依据中位线定理，将 最小值转化
为 最小值（ 时最小 ）；最后在含 角的直角三角形中，结合勾股定理算出 长度。
【详解】解：如图将 沿 对折至 ，延长 交 于点 ，连接 ．
∵四边形 为平行四边形． ， ， ．
，
．
又 对折，
，
．
．
又 ，对折线为 ， 位于 上，
， ．
为 中点，
又 为 中点，
，当 为最小值时， 最小，
可知当 时为最小值．
过点 作 交 于点 ，
，
∵ ， ．
在 中
．
此时 与 点重合，
即 ．
故 的长为 时， 最小．
故答案为 ．
【点睛】本题考查平行四边形性质、折叠变换、三角形中位线定理及直角三角形性质，解题关键是通过折
叠构造对称关系，结合中位线定理将 最值转化为 最值，再利用直角三角形求解。
三、解答题（本题共11小题 ，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17．（5分）计算与化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)2
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算：
（1）先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解；
（2）先根据二次根式的乘、除法公式计算，再合并即可求解；
（3）根据同分母分式加减运算计算，即可求解；
（4）先计算括号内的，再计算乘法，即可求解．【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
18．（5分）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键．
（1）利用因式分解即可求解．
（2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
19．（6分）先化简，再求值： ，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求
值．
【答案】 ，当 时，原式
【分析】此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算化简，再代入适当的x的值求出结果．
【详解】解：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，且x为正整数
∴当 时，原式 ．
20．（6分）某校为了奖励在读书节中获奖的学生，需要购置一批图书作为奖品．为了解学生对以下四类
书籍（A散文类，B诗歌类，C小说类，D戏剧类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行
问卷调查，要求每位被调查的学生从这四类书籍中选出自己最喜欢的一类．将所得数据进行整理，绘制成
两幅不完整的统计图．
(1)问卷调查中，被抽取的学生人数为 ；
(2)在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数为 ；
(3)请补全条形统计图．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，求圆心角，画条形统计图等，正确理解题意是解题的关键．
（1）由“D”的人数除以占比即可求解；
（2）用 乘以“A”部分的占比即可；
（3）先求出“C”部分的人数，再画统计图．
【详解】（1）解：被抽取的学生人数为 （人），
故答案为： ；
（2）解： ，
故答案为： ；
（3）解：“C”部分的人数： （人），
则补全条形统计图为：
21．（6分）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共 个，它们除颜色不同外，其余都相
同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，
经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于 ，
(1)请估计摸到白球的概率将会接近______；
(2)如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)
(2)15个
【分析】（1）直接根据频率估计概率，求解即可；
（2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于 ；
∴估计摸到白球的概率将会接近
故答案为： ．
（2）原有白球：
设需要往盒子里再放入x个白球
根据题意得： ，解得： （经检验， 是原方程的解）
答：需要往盒子里再放入 个白球．【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
22．（8分）如图，在 中，D、E、F分别是各边的中点， 是高．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，
等边对等角等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义和三角形中位线定理得到 ，由此即可证明四边形 是平
行四边形；
（2）由平行四边形的性质得到 ，由直角三角形斜边上的中线的性质得到
，则 ，同理 ，由此可得 ．
【详解】（1）证明：∵在 中，D、E、F分别是各边的中点，
∴ 都是 的中位线，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ 是高，即 ，D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ．
23．（8分）如图，正方形 的边长为6，点 是对角线 、 的交点，点 在 上，过点 作
，垂足为 ，连接 ，(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）先根据正方形的性质，运用两个角分别对应相等的三角形是相似三角形，得 ，
， ， ，再整理得 ，结合 ，证明
；
（2）先运用勾股定理算出在 ， ，由（1）得 ， ，
把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）解：∵ ，且正方形 的边长为6，
∴ ， ， ，
∴ ；
在 ， ，
在 ， ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
24．（8分）2025年2月7日第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行，此次亚冬会的吉祥物是以东北
虎为原型的卡通形象“滨滨”和“妮妮”，某商店出售亚冬会吉祥物的挂件，已知每个“滨滨”挂件的进
价比每个“妮妮”挂件的进价多10元．用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相
同．
(1)求每个“滨滨”挂件和每个“妮妮”挂件的进价各是多少元；
(2)若商店老板准备购买“滨滨”和“妮妮”两种挂件共100个，且总费用不超过2700元，则最多购买
“滨滨”挂件多少个？
【答案】(1)每个“滨滨”挂件进价 元，则每个“妮妮”挂件的进价 元；
(2)最多购买“滨滨”挂件 个．
【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用．
（1）设每个“滨滨”挂件进价 元，则每个“妮妮”挂件的进价 元，根据“用180元购进“滨
滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同”，进行方程，解出 ，注意验根，即可作答；
（2）设购买 个“滨滨”，则购买 个“妮妮”，根据“总费用不超过2700元”，进行列不等式，
解出 ，即可作答．
【详解】（1）解：设每个“滨滨”挂件进价 元，则每个“妮妮”挂件的进价 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
（元），
答：每个“滨滨”挂件进价 元，则每个“妮妮”挂件的进价 元；（2）解：设购买 个“滨滨”，则购买 个“妮妮”，
根据题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
的最大值为 ，
答：最多购买“滨滨”挂件 个．
25．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在坐标轴上，且 ， ，
反比例函数 的图象与 ， 分别交于点 ， ，连接 ， ， ．若 的面积为
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关
键．
（ ）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可；
（ ）由四边形 是矩形，则 ， ，求出 ， ，然后利用
即可求解；
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵反比例函数的表达式为 ， ，
∴点 的纵坐标是 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
同理当 时， ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴
．
26．（10分）在 中， ， 是 边上的动点，经过点 ， 的 与 ， 边分别交于
点 ， ，连接 ， ，且 ．
(1)如图1，求证 是 的切线；
(2)如图2， 是 的直径，若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定解题的关键．
（1）连接 ，连接 ，证明 ，再利用圆周角定理得 ，利用角的和差即可得 得出结论；
（2）连接 ，根据圆周角定理和切线的性质 ，然后利用勾股定理求出
， 即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接 ，连接 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 边上的动点，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，
∵ 是 的直径，
∴
∵经过点A的 与 边相切于点D，
∴ ，
∴
∴
∵ ，∴
解得 ，
∴
∴ ．
27．（10分）在矩形 中， 是线段 上的一个动点，将 沿直线 翻折，点 的对应点为
，直线 与直线 交于点 ．
(1)如图①，当点 在 的延长线上时，求证 ；
(2)若 ， 足够长，当点 到直线 的距离等于 时，求 的长；
(3)若 ， ．当点 在同一直线上（如图②）时，点 开始向点 运动，到与 重合时
停止，则点 运动的路程是____．
【答案】(1)证明见解析
(2) 或 ；
(3)
【分析】（ ）由矩形对边平行可得 ，再由翻折性质可得 ，则由等量代换及
等腰三角形的判定即可得结论；
（ ）分点 在矩形内部与外部两种情况，分别画出图形，利用矩形和折叠的性质解答即可求解；
（ ）取 ， ，连接 ，则四边形 是正方形，当点 由 在同一直
线上时的状态运动到与 重合时，则 点的路程为线段 长；当点 继续向点 运动直到与点 重合时，
点 的路程为 的长，为此求出 的长即可求得点 的路程．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由翻折得， ，
∴ ，
∴ ；（2）解：当点 在矩形内部时，如图，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则 ，
，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
；
当点 在矩形外部时，如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，四边形
是矩形，
∴ ， ，
由折叠得， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值已舍），
∴ ；
综上， 的长为 或 ；
（3）解：如图，取 ， ，连接 ，
则四边形 是正方形，
当点 由 在同一直线上时的状态运动到与 重合时，则 点的路程为线段
，
当点 继续向点 运动直到与点 重合时，点 的路程为 的长，即点 的路程为 ，
由矩形性质得， ， ，
由翻折的性质得， ，
当点 与点 重合时，由（ ）知 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
解得 ，∴ ，
∴点 的运动路程为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
勾股定理，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
