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2025 年秋季八年级开学摸底考试模拟卷 01
数学•全解全析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．在一些美术字中，有一些汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条
直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1,❑√2,❑√3 C．2，2，4 D．2，3，6
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，算术平方根，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线
段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即
可判定这三条线段能构成一个三角形．
利用三角形的三边关系定理进行分析即可．
【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
B、1+❑√2>❑√3，能构成三角形，符合题意；
C、2+2=4，不能构成三角形，不符合题意；
D、2+3<6，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．垂直于同一直线的两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了真假命题，熟记课本中的定理和相关图形的性质是关键；
根据对顶角相等、平行线的性质和判定逐项判断即得答案.【详解】解：A、对顶角相等，故原命题是真命题；
B、如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是真命题；
C、如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是真命题；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原命题是假命题；
故选：D.
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5−a4=a B．a2 ⋅a3=a6
C．a6÷a2=a3 D．(a4) 2 =a8
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方及合并同类项，据此逐项计算即可得出
答案．
【详解】A. a5和a4不是同类项，不能进行加减运算，故该选项不正确；
B. a2 ⋅a3=a5，故该选项不正确；
C. a6÷a2=a4，故该选项不正确；
D. (a4) 2 =a8，故该选项正确，
故选：D．
5．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若∠BDA=135°，则∠DBC等于（ ）
A．30° B．35° C．45° D．55°
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证
明△BAD≌△CAD，可得BD=CD，∠BDA=∠CDA=135°，再进一步解题即可．
【详解】解：∵等边三角形ABC，
∴AB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△BAD≌△CAD，而∠BDA=135°，
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA=135°，
∴∠DBC=∠DCB，∠BDC=360°−2×135°=90°，1
∴∠DBC= ×(180°−90°)=45°，
2
故选：C．
6．丽江古城又名大研镇，位于云南省的丽江市，坐落于玉龙雪山下．始建于宋末元初，地处云贵高原，
海拔2400余米，全城面积达3.8平方公里，自古就是远近闻名的集市和重镇．丽江是中国历史文化名城之
一，也是我国首批进入世界文化遗产名录的古城．“五一”期间相关部门对到丽江观光的游客的出行方式
进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是6000
B．扇形统计图中的m为10%
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若“五一”期间到丽江观光的游客大约有280万人，则选择自驾方式出行的大约有112万人
【答案】A
【分析】本题主要考查了统计图的实际应用，根据统计图的信息关联找出有用的信息是解题的关键；用自
驾人数2000除以其所占总人数百分率即可得出样本容量；用单位1减去公共交通与自驾的百分比即可得出
m的值；用样本容量乘以公共交通占总人数的百分率即可得出实际人数；用280万人乘以自驾人数占样本
容量的百分率即可得出实际人数，按照以上方法依次求出答案，然后进一步对比即可．
2000
【详解】解：A：本次抽样调查的样本容量是 =5000，选项A错误；
40%
B：扇形统计图中m=1−50%−40%=10%，选项B正确；
C：样本中选择公共交通出行的人约有：5000×50%=2500（人），选项C正确；
D：280万游客中选择自驾方式出行的约有：280×40%=112（万人），选项D正确．
故选：A．
7．如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线CE射向容器液面AB，折射后光线由EC方向
变成CD方向．若∠ECB=45°,∠CDF=55°，则∠ECD的度数为（ ）
A．155° B．165° C．170° D．175°
【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到∠BCD+∠CDF=180°，求出∠BCD=125°，结合∠ECD=∠ECB+∠BCD，
即可得到答案．
【详解】解：由题意得BC∥DF，
∴∠BCD+∠CDF=180°，
∴∠BCD=180°−∠CDF=180°−55°=125°，
∴∠ECD=∠ECB+∠BCD=45°+125°=170°，
故选：C．
8．（22-23八年级上·浙江温州·开学考试）若关于x，y的方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=5)
，则关于x，
a x+b y=c y=6
2 2 2
{5a x+3b y=4c )
y的方程组 1 1 1 的解是（ ）
5a x+3b y=4c
2 2 2
{x=5) {x=4) {x=4) {x=5)
A． B． C． D．
y=6 y=8 y=6 y=3
【答案】B
【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键．
5 3
{ a x+ b y=c )
{5a x+3b y=4c ) 4 1 4 1 1
将 1 1 1 变形为 ，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方
5a x+3b y=4c 5 3
2 2 2 a x+ b y=c
4 2 4 2 2
5 3
程组就是x换成 x，y换成 y，代入数据即可求解．
4 4
5 3
{ a x+ b y=c )
{5a x+3b y=4c ) 4 1 4 1 1
【详解】解： 1 1 1 变形为
5a x+3b y=4c 5 3
2 2 2 a x+ b y=c
4 2 4 2 2
5x
{ =5)
4
由题意得： ，
3 y
=6
4
{x=4)
解得：
y=8
故选：B
9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC2−BC2=4，点E是边AB上的中点，连接CE，过点A作
AD⊥CE交CE的延长线于点D，设AE长为x，DE长为y，则下列代数式的值不变的是（ ）A．x2+ y2 B．x2−y2
x
C．xy D．
y
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．先根据直
角三角形的性质得到CE=BE=AE=x，AC2+BC2=AB2=4x2，结合已知求得AC2=2x2+2，再利用
勾股定理求得xy=1，进而可求解．
【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点E是边AB上的中点，
∴CE=BE=AE=x，AC2+BC2=AB2=4x2，
∵AC2−BC2=4，
∴AC2=2x2+2，
∵AD⊥CE，
∴AD2=AC2−CD2=AE2−DE2，
则2x2+2−(x+ y) 2=x2−y2，
∴xy=1，即xy的值不变，
故选：C．
2017×2017−2017 2018×2018−2018
10．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知a=− ,b=− ，
2016×2016+2016 2017×2017+2017
2019×2019−2019
c=− ，则abc=（ ）
2018×2018+2018
A．−1 B．3 C．−3 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．
利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可．
2017×2017−2017 2017×(2017−1)
【详解】解：∵a=− =− =−1，
2016×2016+2016 2016×(2016+1)
2018×2018−2018 2018×(2018−1)
b=− = =−1，
2017×2017+2017 2017×(2017+1)
2019×2019−2019 2019×(2019−1)
c=− =− =−1
2018×2018+2018 2018×(2018+1)
∴abc=(−1)×(−1)×(−1)=−1．
故选：A．二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11．因式分解：a2−6a= ．
【答案】a(a−6)
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解．利用提公因式法进行因式
分解即可．
【详解】解：a2−6a=a(a−6)；
故答案为：a(a−6)．
1
12．（21-22八年级上·浙江绍兴·开学考试）满足不等式3− x<0的最小整数解是 ．
2
【答案】7
【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解．先求出不等式的解集，再求出整数解即可．
1
【详解】解：解不等式3− x<0，得x>6，
2
所以最小整数解是7．
故答案为：7．
2−x a
13．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）关于x的分式方程 = −2有增根，则a的值是 ．
x−4 4−x
【答案】2
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根
据分式方程的增根定义即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以x−4得：2−x=−a−2(x−4)，
∵方程有增根，
∴x=4，
把x=4代入2−x=−a−2(x−4)得−2=−a，
解得a=2，
故答案为：2．
14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，且BC+AD=18，则BC的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据
1
直角三角形的性质可知AD= BC，再根据已知条件即可解答．
2【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD是BC边上的中线，
1
∴AD= BC，
2
∵BC+AD=18，
3
∴ BC=18，
2
∴BC=12，
即BC的长为12，
故答案为：12．
15．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频
率是0.1，那么第六组的频数是 ．
【答案】8
【分析】先根据频率=频数÷总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再根据一组数据中，各组的频率和
是1可得第六组的频率，由此即可得．
10+5+7+6
【详解】解：由题意得：第一组到第四组的频率和是 =0.7，
40
∵第五组的频率是0.1，
∴第六组的频率为1−0.7−0.1=0.2，
∴第六组的频数为40×0.2=8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了频率与频数，熟练掌握各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1是
解题关键．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BD=16cm，BC>12cm．动点P以1cm/s的
速度从点A出发沿边AD向点D匀速移动，动点Q以3cm/s的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，
动点M从点B出发沿对角线BD向点D匀速移动，三点同时出发．连接PM、QM，当动点M的速度为
cm/s时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与△QBM全等．
8
【答案】5或
3
【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关
键；设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则AP=t，BQ=3t，BM=vt，表示出PD=12−t，
DM=16−vt，再分△DPM≌△BMQ与△DPM≌△BQM两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组
求解即可．
【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，
由题意得，AP=t，BQ=3t，BM=vt，
所以PD=12−t，DM=16−vt，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠QBM，
当△DPM≌△BMQ时，则DP=BM,DM=BQ，
{12−t=vt
)
∴ ，
16−vt=3t
解得：t=2，
∴12−2=2v，
解得：v=5；
当△DPM≌△BQM时，则DP=BQ,DM=BM，
{12−t=3t
)
∴ ，
16−vt=vt
解得：t=3，
∴16−3v=3v，
8
解得：v= ；
3
8
综上，动点M的运动速度是2或 cm/s；
3
8
故答案为：5或 ．
3
三、解答题：本题共8小题，17-21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分．
x
{ +2y=7①)
2
17．（1）解方程组：
y
2x+ =5②
3
{5x+1>3(x+1)
)
（2）解不等式组： 1+2x ，并把它的解集在数轴上表示出来．
≥x−1
3
{x=2)
【答案】（1） ；（2）13(x+1)①
)
（2）解： 1+2x
≥x−1②
3
解不等式①，得x>1，
解不等式②，得x≤4．
∴不等式组的解集为1”“<”或“=”）
（3）过点A作BC的平行线AF．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）<；（3）见解析
【分析】本题考查了用三角板画垂线，尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，垂线段最短，熟练掌握
各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据三角板作垂线的方法即可作图；（2）根据垂线段最短即可说理；
（3）尺规作∠1=∠B，那么由同位角相等，两直线平行即可说理．
【详解】解：（1）如解图1，直线AD,AE即为所作：
（2）由垂线段最短可得：AD∠ADE，然后分两种情况：①AD=AE和②AD=DE，根据等腰三角形
的性质建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一）（2）解：∵AD=BD，∠B=30°，
∴△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠B=30°，∠ADB=180°−∠BAD−∠B=120°，
∵DE=CE，
∴△CDE是等腰三角形，∠C=∠CDE，
又∵线段AD，DE是△ABC的三分线，
∴△ADE是等腰三角形，
设∠C=∠CDE=x，
∴∠AED=∠C+∠CDE=2x，
∠ADE=180°−∠ADB−∠CDE=60°−x，
∠DAE=180°−∠BAD−∠B−∠C=120°−x，
∴∠DAE>∠ADE，
则分以下两种情况：
①当AD=AE时，△ADE是等腰三角形，
则∠AED=∠ADE，即2x=60°−x，解得x=20°；
②当AD=DE时，△ADE是等腰三角形，
则∠AED=∠DAE，即2x=120°−x，解得x=40°；
综上，∠C的度数为20°或40°．
23．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如
x2−4 y2−2x+4 y．细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后
两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
x2−4 y2−2x+4 y=(x−2y)(x+2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2)．
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−2xy+ y2−25．
(2)已知△ABC的三边长a，b，c满足条件：a4−b4−a2c2−b2c2=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)(x−y+5)(x−y−5)
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，勾股定理的逆定理的应用；
（1）把x2−2xy+ y2−25化为(x2−2xy+ y2)−25，再进一步分解因式即可；
（2）把原式化为(a2+b2)(a2−b2)−c2(a2+b2)=0，再进一步把左边分解因式即可．
【详解】（1）解： x2−2xy+ y2−25
=(x2−2xy+ y2)−25
=(x−y) 2−52
=(x−y+5)(x−y−5)．
（2）解：△ABC是直角三角形．
理由：∵a4−b4−a2c2−b2c2=0，∴(a4−b4)−c2(a2+b2)=0，
∴(a2+b2)(a2−b2)−c2(a2+b2)=0，
∴(a2+b2)(a2−b2−c2)=0，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a2+b2>0，
∴a2−b2−c2=0，即a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
24．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，
再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知
AB=3AD，求该长方体纸盒的体积；
(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒
子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小
的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
10125
【答案】(1)①484；② 立方厘米；
8
(2)4厘米，或7厘米，或8厘米
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，
长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高．
（1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可；
②设AD=x，AE= y，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为30−4×2=22（厘米），
∴长方体纸盒的底面积=22×22=484（平方厘米）；
故答案为：484；
②如图，设AD=x，AE= y，∵能折成一个无盖长方体纸盒，且AB=3AD，
∴AB=3AD=3x，
∴BE=3x+ y=30，BF=2x+2y=30，
{3x+ y=30
)
即 ，
2x+2y=30
15
{ x= )
2
∴ ，
15
y=
2
10125
∴3x×x×y= ，
8
10125
∴该长方体纸盒的体积为 立方厘米；
8
（2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米，
展开方式1如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴8m+4(30−2m)=156，
该方程无解；
展开方式2如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴6m+6(30−2m)=156，
∴m=4；
展开方式3如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m+8(30−2m)=156，
∴m=7，
展开方式4如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m+8(30−2m)=156，
∴m=7，
展开方式5如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴2m+10(30−2m)=156，
∴m=8，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米．
