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第 3 节 圆的方程
考试要求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
圆心C(a，b)
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
半径为r
方程 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋
一般 圆心坐标：
E2－4F＞0)
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x ，y )与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x －a)2＋(y －b)2＞r2 M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x －a)2＋(y －b)2＝r2 M在圆上；
⇔ 0 0 ⇔
(3)|MC|＜r M在圆内，即(x －a)2＋(y －b)2＜r2 M在圆内.
⇔ 0 0 ⇔
⇔ ⇔
1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x ，y )，B(x ，y )为直径端点的圆的方程为(x－x )·(x－x )＋(y－y )(y－y )
1 1 2 2 1 2 1 2
＝0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，
D2＋E2－4AF>0.( )
(4)若点M(x ，y )在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx ＋Ey ＋F>0.( )
0 0 0 0
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
解析 (2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r
＝.
3.(2021·合肥模拟)已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是(
)
A. ＋＝
B. ＋＝
C. ＋＝
D. ＋＝
答案 A
解析 |AB|＝＝，圆心为，半径r＝，
∴圆的方程为＋＝.
4.(2022·银川模拟)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范
围是( )
A.(－1，1)
B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.{－4，4}
答案 A
解析 因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，
即<2，两边平方得：(1－a)2＋(a＋1)2<4，
化简得a2<1，解得－10，即k2－5k＋4>0，解得k<1
或k>4，故k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞).
考点一 圆的方程
1.已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.＋y2＝ B.＋y2＝
C.＋y2＝ D.＋y2＝
答案 C
解析 法一 (待定系数法)
设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得
解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即＋y2＝.
法二 (几何法)
因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y
－＝2(x－1)上.
又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为
|EB|＝＝，
所以圆E的标准方程为＋y2＝.
2.在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2
C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16
答案 B
解析 由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1，2)，设圆心(0，1)为点
B，由题意可知要使所求圆的半径最大，则 r ＝|AB|＝＝，所以半径最大的圆的
max
标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
3.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y
－3＝0所得的弦长为，则圆C的方程为________.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析 法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a).
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝|a|.
又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的
距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，
即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴＝r.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的
方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的
圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线
上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
考点二 与圆有关的最值问题
角度1 利用几何意义求最值
例1 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得 k＝±(如图
1).
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵
截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2).
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心
连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).
又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
感悟提升 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数
形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
角度2 利用对称性求最值
例2 已知圆C ：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C ：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是
1 2
圆C ，C 上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
1 2
A.5－4 B.－1
C.6－2 D.
答案 A
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC |－1，同理|PN|的最小值为|
1
PC |－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC |＋|PC |－4.作C 关于x轴的对称点C′ (2，
2 1 2 1 1
－3).所以|PC |＋|PC |＝|PC ′|＋|PC |≥|C ′C |＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC |＋|PC |－
1 2 1 2 1 2 1 2
4≥5－4.
感悟提升 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的
最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过
对称性解决.
角度3 建立函数关系求最值
例 3 (2022·衡水模拟)设点 P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1 上的动点，定点 A(2，
0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为________.
答案 12
解析 由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－
4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－
3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，
易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
感悟提升 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.
训练1 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，
3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值.
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ| ＝4＋2＝6，
max
|MQ| ＝4－2＝2.
min
(2)可知表示直线MQ的斜率k，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
考点三 与圆有关的轨迹问题
例4 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动
点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
训练2 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作
平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.
解 如图，设P(x，y)，N(x ，y )，
0 0
则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为
.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又点N(x ，y )在圆x2＋y2＝4上，
0 0
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆.
直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.1.圆x2＋y2－6x＋8y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A.(3，4)，5 B.(－3，4)，5
C.(－3，－4)，5 D.(3，－4)，5
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(3，－4)，半径r
＝5.
2.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.
因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，
所以b＝2－a.
又|CA|2＝|CB|2，
所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，
所以a＝1，b＝1，所以r＝2，
所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
3.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(
)
A.(－1，1) B.(1，－1)
C.(－1，0) D.(0，－1)
答案 D
解析 r＝＝，
当k＝0时，r最大，此时圆心坐标为(0，－1).
4.(2022·太原期末)若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取
值集合中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4答案 A
解析 方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，
即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<.
又知该方程不表示圆，所以k的取值范围为.
又因为k∈，所以满足条件的k＝，即k的取值集合为.
5.(2022·昆明调研)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的
弦长为6，则圆C的方程为( )
A.x2＋y2－2x－4y－8＝0
B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
答案 C
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
将P，Q两点的坐标代入得
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， ③
设x ，x 是方程③的两根，
1 2
由|x －x |＝6得D2－4F＝36， ④
1 2
由①②④得或
故所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
6.已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB
面积的最大值与最小值分别是( )
A.2，(4－)
B.(4＋)，(4－)
C.，4－
D.(＋2)，(－2)
答案 B
解析 如图，圆心(1，0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，故圆上的点P到直线AB的距离
的最大值是＋1，最小值是－1.
又|AB|＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.
7.(2021·郑州模拟)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为
________________.
答案 (x－4)2＋(y－6)2＝4
解析 设对称圆的圆心为(m，n)，
则
解得
所以所求圆的圆心为(4，6)，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
8.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.
答案 ＋1
解析 将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆
心到直线x－y＝2的距离d＝
＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝＋1.
9.(2022·贵阳调研)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2
－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案 2
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的
圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
所以
解得故A′(－4，－2).连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|
PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
10.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 (1)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|
CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆
(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x ，y )，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式
0 0
得x＝，y＝，
所以x ＝2x－3，y ＝2y.
0 0
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x ＝2x－3，y ＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
0 0
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
11.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
解 (1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共
点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小
值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心
(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值－1.
12.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3
＝0的距离为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设圆心为P(x ，y )，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，
0 0
∴|x |＝|y |＝r.
0 0
又圆经过点(2，1)，∴x ＝y ＝r且(2－x )2＋(1－y )2＝r2，
0 0 0 0
∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.
当r＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离
d＝＝；
当r＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离
d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
13.(2022·郑州模拟)大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长
也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的长都相等.这个定义比古
希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有动点P满足|OP|＝2，其中O
为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为________.
答案 1
解析 由题意可得点P在以O为圆心，2为半径的圆上，
因为|OM|＝＝1<2，
所以点M在圆内，
所以|PM| ＝r－|OM|＝2－1＝1.
min
14.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B
两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为
y＝k(x－1)(k>0).
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16>0，故x ＋x ＝，
1 2
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝(x ＋1)＋(x ＋1)＝.
1 2
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1，
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－
3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x ，y )，则
0 0
解得或
故圆的半径为x ＋＝4或12，
0
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
