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必刷小题 1 集合、常用逻辑用语、不等式
一、单项选择题
1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝，那么A∪B等于( )
A．(－1,4) B．(－1,4]
C．(－2,5) D．[－2,5)
答案 D
解析 由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，
即A＝[－2,4]．
由<0，解得－10”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 解不等式x2－4x＋3>0，得x>3或x<1，
所以“x<1”是“x2－4x＋3>0”的充分不必要条件．
3．若不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是( )
A．0≤k≤6 B．－66
答案 C
解析 由题意，函数y＝2x2＋2kx＋3k的图象开口向上，
又不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，
∴对应方程的判别式Δ＝(2k)2－4×2×3k<0，解得08 B．q<－4
C．q>8或q<－4 D．q<－8
答案 D
解析 由题意得
解得q<－8.
5．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}
答案 C
解析 ∵－π<β<π，
∴－π<－β<π，
又－π<α<π，
∴－2π<α－β<2π，
又α<β，∴α－β<0，
∴－2π<α－β<0.
6．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为( )
A．2 B．3 C. D．4
答案 B
解析 因为a，b为正实数，所以
a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2－1＝2－1＝3，
当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝时等号成立．
7．若关于x的方程x2＋x＋9＝0有两个不相等的实数根x ，x ，且x<10，x>0，x＋x1 B．x＋x<1
1 2 1 2
C.＋< D.＋>
答案 A
解析 由题意得＝＋＝＋>1.
1 2
二、多项选择题
9．下列各结论正确的是( )
A．“xy>0”是“>0”的充要条件B.＋的最小值为2
C．命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x≤1，x2－x≤0”
D．“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件
答案 AD
解析 xy>0 >0，故A正确；
由均值不等⇔式知，＋≥2，
当且仅当＝，
即x2＝－8时等号成立，
由于x2＝－8无解，
所以等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；
命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x>1，x2－x≤0”，故C错误；
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，显然有a＋b＋c＝0，反之亦可，故D正确．
10．若实数a，b满足aln b2
C．a|a|0 < <，故A不正确；
由a－⇒b>0 ⇒a2>⇒b2>0 ln a2>ln b2，故B正确；
因为a0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )
⇒
A．a<0
B．b<0且c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R
答案 AB
解析 由题意得，方程ax2－bx＋c＝0的两根为－1,2，且a<0，故A正确；
所以解得则b<0，c>0，故B正确；
所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误；
不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等
式的解集为{x|x≠－1}，故D错误．
12．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是( )
A．a2＋b2的最小值为
B．ab的最大值为
C．4a2＋b2的最小值为4D.＋的最小值为＋
答案 BD
解析 由题意得，a>0，b＝2－2a>0，
从而0m＋1，
解得m>2，符合题意；
当B≠ ∅时，解得－1≤m≤2，
综上所述，m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞)．
15．若对∀1≤x≤4，不等式 x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数 a的取值范围为
________．
答案 {a|a≤4}
解析 对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，
即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R；
当1
