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3.1.1 一元一次方程
1. 了解方程和等式的概念;理解方程的解和解方程的意义,并会检验方程的解
2. 了解一元一次方程的概念:掌握等式的性质,并能利用性质探究一元一次方程的解法
3. 通过对实际问题中数量关系的分析,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,逐步
形成数学的应用意识
知识点一 方程的概念
含有未知数的等式叫做方程.
方程必须同时具备两个条件:(1)是等式;(2)含有未知数.
(1) 方程中的未知数可以是 ,也可以是其他字母,还可以含有多个未知数.例如:
, , 都是方程
(2) 如果等式 中 是未知数， 是已知数，那么我们把这个方程叫做
关于 的方程,例如:若 是未知数, 是已知数,则 就是关于 的方
程
即学即练 判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)4×5=3×7-1；
(2)2x+5 y=3；
(3)9-4x>0；
(4)x+5；
(5)x-10=3；
(6)5+6=11．
【答案】(1)不是方程，见解析
(2)是方程(3)不是方程，见解析
(4)不是方程，见解析
(5)是方程
(6)不是方程，见解析
【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得．
【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数．
（2）解：是方程．
（3）解：不是方程，理由是：不是等式．
（4）解：不是方程，理由是：不是等式．
（5）解：是方程．
（6）解：不是方程，理由是：不含未知数．
【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键．
知识点二 一元一次方程的概念
1.一元一次方程的概念
方程中只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的
方程叫做一元一次方程,如 等.
2.一元一次方程具有如下特点:
(1)只含有一个未知数
(2)所含未知数的项的最高次数为1
(3)含未知数的项的系数不为0
(4)一元一次方程是由整式组成的,即一元一次方程中分母不含未知数
3.一元一次方程的标准形式任何一个一元一次方程变形后总可以化为 的形式其中 是未知数，
是已知数,且 .我们把 叫做一元一次方程的标准形式
注意
判断一个方程是否为一元一次方程,要先将整式方程化简整理,再按一元一次方程的概
念去判断.如 ,虽然 的次数出现了 2,但化简之后为
或 ,可知它是一元一次方程
即学即练1 下列各式中，① ；② ③ ；④ ；⑤
；⑥ ⑦ ⑧ 哪些是方程 ，哪些是一
元一次方程 ．（将序号写到横线上）
【答案】 ②③⑤⑥⑧； ②③．
【详解】试题解析：① -2+5=5不是方程，
②3x-1=7是一元一次方程，
③m=0是一元一次方程，
④x+1≥3不是方程；是分式方程，
⑤x+y=8是二元一次方程，
⑥ 是一元二次方程，
⑦2a+b是代数式不是方程，
⑧ 是分式方程．
故方程是：②③⑤⑥⑧；一元一次方程是：②③．
考点：一元一次方程的定义；方程的定义．
即学即练2 （2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）已知关于x的方
程(m2-1)x2-2mx-2x+1=0是一元一次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．以上结果均不是
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义即可求解．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）
【详解】解：∵关于x的方程(m2-1)x2-2mx-2x+1=0是一元一次方程，
∴m2-1=0，-2m-2≠0
∴m=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
知识点三 解方程与方程的解
1.解方程
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程
2.解
方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值.(注意：只含一个未知
数的方程的解也可以叫做方程的根.)
3.判断一个数是不是方程解的方法
把这个数分别代入方程中等号的两边,若等号两边的值相等,则该数是方程的解;
反之,则不是方程的解
4.方程的解和解方程的区别与联系
区别:方程的解是解方程的结果，是具体的数值,而解方程是一个变形的过程
联系:解方程的目的是求出方程的解
即学即练 检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：
5x+1 3
(1) =x-1；(- ,3)
8 2
(2)2（y-2）-9（1- y）=3（4 y-1）．（-10,10）
3
【答案】(1)x=- 不是方程的解,x=3是方程的解；
2
(2)y=-10是方程的解；y=10不是方程的解．
【分析】（1）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两
边相等的即为方程的解；
（2）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解；
3
【详解】（1）把x=- 代入原方程；
2
3
5×(- )+1
左边 2 13，
= =-
8 16
3 5
右边=- -1=- ．
2 2
∵左边≠右边，
3
∴x=- 不是该方程的解．
2
把x=3代入方程，得
5×3+1
左边= =2，
8
右边=3-1=2．
∵左边=右边，
∴x=3是该方程的解；
（2）把y=-10代入原方程．
左边=2(-10-2)-9(1+10)=-123，右边=3×[4×（-10）-1]=-123，
∵左边=右边，
∴y=-10是原方程的解；
把y=10代入原方程．
左边=2(10-2)-9(1-10)=97，右边=3×(4×10-1)=117，
∵左边≠右边，
∴y=10不是原方程的解．
【点睛】本题考查方程解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．
知识点四 根据实际问题列一元一次方程
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学的知识解
决实际问题的一种方法列方程一般有三个环节:
(1)审题:提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语,
如多、少、倍、分、增加、减少等,这些词语体现了其中的数量关系
(2)分析:理清问题中的关系,分析时可借用表格、图形等(3)建模:设出未知数并用含有未知数的代数式表示出其他未知量将问题转化为
方程,可直接或间接设未知数
即学即练 在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多20%，乙班植树的棵数比甲班的
一半多10棵．设乙班植树x棵．
(1)列两个不同的含x的式子来表示甲班植树的棵数；
(2)根据题意列出含未知数x的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
【答案】(1)甲班植树的棵数为(1+20%)x棵、2(x-10)棵
(2)(1+20%)x=2(x-10)
(3)见解析
【分析】（1）根据多20%、一半的含义列出式子即可；
（2）直接列出等式即可；
（3）利用代入法进行检验即可．
【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多20%，
得甲班植树的棵数为(1+20%)x棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，
得甲班植树的棵数为2(x-10)棵．
（2）(1+20%)x=2(x-10)．
（3）把x=25分别代入（2）中方程的左边和右边，
得左边=(1+20%)×25=30，
右边=2×(25-10)=30．
因为左边=右边，
所以x=25是方程(1+20%)x=2(x-10)的解，
即乙班植树的棵数是25棵．
由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵
【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力．
题型一 一元一次方程1 1
例 1（2023 春·河南鹤壁·七年级统考期中）在方程3x- y=2，x+1=0， x= ，
2 2
1
x2-2x-3=0， =2中，一元一次方程的个数为（ ）
x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：方程3x- y=2含有两个未知数，故不是一元一次方程；
方程x+1=0是一元一次方程；
1 1
方程 x= 是一元一次方程；
2 2
方程x2-2x-3=0未知数的次数是2次，故不是一元一次方程；
1
方程 =2分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程；
x
所以一元一次方程的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，
从而完成求解．
举一反三1（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）下列各式是一元
一次方程的是（ ）
A．x-3=2 B．2x-3 y=5 C．2x-3<0 D．2x+6
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A. x-3=2是一元一次方程，故本选项符合题意；
B. 2x-3 y=5是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C. 2x-3<0是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D. 2x+6是代数式，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知
数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）是解此题的关键．
1
举一反三2（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考期末）请写出一个解为x= 的
3
一元一次方程： ．【答案】3x-1=0（答案不唯一）
【分析】方程的解就是能使方程成立的未知数的值，据此即可求解．
1
【详解】解：解为x= 的一元一次方程为：3x-1=0（答案不唯一）．
3
故答案为：3x-1=0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
题型二 从算式到方程
1
例2（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）若x=-3是方程 ax+2b=4的解，则代数式
3
6b-3a的值为（ ）
A．4 B．7 C．9 D．12
【答案】D
1
【分析】把x=-3代入方程 ax+2b=4可得2b-a=4，整体代入即可求出6b-3a的值．
3
1
【详解】解：把x=-3代入方程 ax+2b=4得：
3
2b-a=4，
∴6b-3a=3(2b-a)=3×4=12．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解及整体代入求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题关键．
举一反三1（2023春·河南开封·七年级统考期中）已知方程 是关于 的
(a-4)x|a|-3+2=0 x
一元一次方程，则a= ．
【答案】-4
【分析】根据一元一次方程的定义，得出|a|-3=1，注意a-4≠0，进而得出答案．
【详解】解：由题意得：|a|-3=1，a-4≠0，
解得：a=-4．
故答案为：-4．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义得出是解题关键．
举一反三2（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）整式m2x-an的值随x取值的变化而变
化，下表是当x取不同值时m2x-an对应的值.则关于x的方程m2x-an=-4的解为（ ）x … -1 0 2 3 …
m2x-an … -6 -4 0 2 …
A．x=-1 B．x=0 C．x=2 D．x=3
【答案】B
【分析】观察表格，即可求解．
【详解】解：观察表格，发现：当x=0时，m2x-an=-4，
∴m2x-an=-4的解为x=0，
故选：B.
【点睛】本题考查方程的解．读懂表格数据是解题关键．
题型三 判断各式是否是方程
例3（2023春·河南周口·七年级校考期中）下列各式是方程的是（ ）
A．x-3 B．1+2=3 C．x-2>1 D．x-1=2
【答案】D
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，逐一判断即可．
【详解】解：x-3不是等式，故A选项不符合题意；
1+2=3不含有未知数，故B选项不符合题意；
x-2>1不是等式，故C选项不符合题意；
x-1=2是方程，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟知该定义是解题的关键．
举一反三1（2023春·吉林长春·七年级统考期中）下列各式中，属于方程的是（ ）
2
A．6+(-2)=4 B． x-2 C．7x>5 D．2x-1=5
5
【答案】D
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答．
【详解】解：A、6+(-2)=4不含未知数，不是方程，不符合题意；
2
B、 x-2不是等式，故不是方程，不符合题意；
5C、7x>5不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、2x-1=5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式
是方程．
举一反三2（2023春·福建泉州·七年级统考期中）下列各式中，不是方程的是（ ）
A．a=0 B．2x+3 C．2x+1=5 D．2(x+1)=2x+2
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可．
【详解】解：根据方程的定义可知，A、C、D都是方程，B不是方程，
故选B．
【点睛】本题主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．
题型四 列方程
例4（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有
几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？
若设人数为x，则下列方程正确的是（ ）
A．8x+3=7x-4 B．8x-3=7x+4
C．8(x-3)=7(x+4) D．8x+4=7x-3
【答案】B
【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即
可列出方程．
【详解】解：设人数为x，
根据题意可得：8x-3=7x+4．
故选B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
举一反三1（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或
足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加
的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（ ）A．1.5x+x=43 B．1.5x+x+8=43
C．1.5(x-8)+x+8=43 D．1.5(x-8)+x=43
【答案】C
【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有(x-8)人，只参加篮
球队的人数有1.5(x-8)人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答．
【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有(x-8)人，只参
加篮球队的人数有1.5(x-8)人
根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：1.5(x-8)+x+8=41．
故选C．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮
球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键．
举一反三2（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考期中）如图，将边长为a+3的
正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝
隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的
面积，求a的值．
【答案】(1)4a+12；6a+9
(2)2
【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案．
（2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
剪拼后所得的长方形的长为：a+a+3=2a+3，宽为：3，
因此周长为：(2a+3+3)×2=4a+12，
面积为：(2a+3)×3=6a+9．
（2）由题意得，
(2a+3-4)×(3+4)=6a+9，解得a=2，
∴a的值为2．
【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列一元一次方程，用代数式正确表示图形的
边长、周长和面积是解题的关键．
题型五 方程的解
例5（2023春·福建泉州·七年级校考期中）若x=5是关于x的方程2x-a=-5的解，则a的
值等于（ ）
A．20 B．15 C．4 D．3
【答案】B
【分析】把x=5代入解关于a的方程解题即可．
【详解】解:把x=5代入方程得：10-a=-5，
解得：a=15，
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
举一反三1（2023春·湖南衡阳·七年级校考期中）方程2m+x=1和3x-1=2x-2有相同
的解，则m的值为 .
【答案】1
【分析】先求出3x-1=2x-2的解，然后把x的值代入2m+x=1，求出m的值即可．
【详解】解：解方程3x-1=2x-2得，x=-1，
把x=-1代入2m+x=1得：2m-1=1，
解得m=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同解方程，解答本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方
程解的含义．
举一反三2（2023春·河南新乡·七年级校考期中）若关于x的一元一次方程ax+b=0的解
为x=1，则正确的是（ ）
A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．a与b互为倒数 D．a与b均为0
【答案】B
【分析】把x=1代入ax+b=0即可求解．【详解】把x=1代入ax+b=0，得
a+b=0，
∴a与b互为相反数．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，相反数的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的
关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
一、单选题
1.（2023春·福建泉州·七年级校考期中）给出下列式子①3x+8>2；②5x+2y=8；③
2 6x
x2+1=5；④a+b=b+a；⑤ x-4=1；⑥ =8-3x中，属于一元一次方程的有
3 5
（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方
程．
【详解】解：①3x+8>2是不等式，不是方程；
②5x+2y=8有两个未知数，不是一元一次方程；
③x2+1=5未知数的次数为2，不是一元一次方程；
④a+b=b+a有两个未知数，不是一元一次方程；
2
⑤ x-4=1是一元一次方程；
3
6x
⑥ =8-3x是一元一次方程；
5
∴一元一次方程共有2个，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，仅仅抓住未知数x的次数是1这个条件，此类题
目可严格按照定义解题．
2．（2023春·河南开封·七年级统考期中）关于x的方程2(x-1)-a=0的解是x=3，则a的
值为( )，A．4 B．-4 C．5 D．-5
【答案】A
【分析】将x=3代入2(x-1)-a=0求解即可．
【详解】解：将x=3代入2(x-1)-a=0得2(3-1)-a=0：，
解得：a=4
故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解，熟知方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的
关键．
2x+1
3．（2023春·河南周口·七年级统考期中）若x=-1是关于x的方程 =2m-x的解，
2
则m 的值为（ ）
3 3 1 1
A． B．- C． D．-
4 4 4 4
【答案】B
2x+1
【分析】把x=-1代入方程 =2m-x中得关于m的方程计算即可．
2
2x+1
【详解】解：由题意可得：把x=-1代入方程 =2m-x中得，
2
-2+1
=2m+1，
2
3
解得：m=- ．
4
故选：B．
【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题关键．
二、填空题
1.（2023春·福建泉州·七年级统考期中）若 是关于x的一元一次方程，则a的
(a-1)x|a|=0
值为 ．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于a的式子，求出结果即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
(a-1)x|a|=0
∴a-1≠0且|a|=1，
解得a=-1．故答案为：-1．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数次数为1
的方程叫做一元一次方程是解题的关键．
2．（2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学校考期中）当a＝ 时，方程
a+1=x+2a的解是x=3．
【答案】-2
【分析】将x=3代入a+1=x+2a，求值即可．
【详解】解：将x=3代入a+1=x+2a，得
a+1=3+2a．
解得a=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的计算问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
3．（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）已知方程 是关于x的一元一
(m-2)x|m|-1+3=0
次方程，则m的值是 ．
【答案】-2
【分析】根据一元一次方程的定义即可求解．只含有一个未知数（元），并且未知数的指
数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）
【详解】解：∵方程 是关于x的一元一次方程，
(m-2)x|m|-1+3=0
∴m-2≠0,|m|-1=1
解得：m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
三、解答题
1.（2023春·上海宝山·六年级校考期中）关于x的方程(x+3)(x+a)=0有一个解是x=-1，
求1-a的值．
【答案】0
【分析】把x=-1代入方程(x+3)(x+a)=0，得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：∵x=-1是方程(x+3)(x+a)=0的一个根，
∴(-1+3)(-1+a)=0，
解得a=1，∴1-a=1-1=0．
【点睛】本题考查了方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程
的解．
2．（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）若 是关于 的一元一次方程.
(a-1)x|a|-3=0 x
(1)求a的值；
(2)先化简，再求 的值.
4(a2+3a)-2(2a2-a+2)
【答案】(1)a=-1
(2)14a-4，-18
【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次
的整式方程；由此解答即可；
（2）根据整式的加减运算法则将原式化简，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意，得|a|=1，
∴a=±1，
又∵a-1≠0，
∴a≠1，
∴a=-1；
（2）原式=4a2+12a-4a2+2a-4=14a-4，
当a=-1时，原式=14×(-1)-4=-18．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，整式的加减－化简求值，熟练掌握相关定义以
及运算法则是解本题的关键．
3．（2023春·广东广州·七年级统考期末）已知代数式M=3(a-2b)-(b+2a).
(1)化简M；
(2)如果 是关于x的一元一次方程，求M的值.
(a+1)x2+4xb-2-3=0
【答案】(1)a-7b
(2)-22
【分析】（1）根据去括号，合并同类项进行化简即可求解；
（2）根据一元一次方程的定义求得a=-1,b=3，代入（1）的结果进行计算即可求解．
【详解】（1）解：M=3(a-2b)-(b+2a)=3a-6b-b-2a
=a-7b；
（2）解：∵ 是关于x的一元一次方程，
(a+1)x2+4xb-2-3=0
∴a+1=0,b-2=1，
解得：a=-1,b=3，
∴M=a-7b=-1-7×3=-1-21=-22．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，一元一次方程的定义，正确的去括号与合并
同类项，一元一次方程的定义是解题的关键．
