文档内容
3.4实际问题与一元一次方程
考点一：列一元一次方程解应用题的基本步骤：
审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出
方程。
技巧实际问题的常见类型：
路程 路程
速度 时间
行程问题：路程=时间×速度，时间= ，速度=
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
利润
进价
利润问题：利润=售价-进价，利润率= ，售价=标价×（1-折扣）
等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率
题型一：行程问题
1．（2022·昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校七年级期中）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百
四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之?意思是：跑得快的马每天走240里，跑得
慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏·七年级专题练习）某人自驾车从A市前往B市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，
后十分之一路段也是县道．已知汽车在县道上行驶的速度为60km/h．在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车
从A市前往B市一共行驶了1.8小时．求A、B两市之间的路程．
题型二：配套问题3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用 钢材可做40个A部
件或240个B部件。现要用 钢材制作这种仪器，为了使制作的A、B部件恰好配套，设应用 钢材制作A部
件，则可列方程为（ ）
A． B．
C．4= D．
4．（2022·全国·七年级专题）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一
根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个
工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
题型三：工程问题
5．（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单
独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）有一些相同的房间需要粉刷墙面，装修公司计划雇用A级技
工和B级技工共10人粉刷房间．若1名B级技工晋级为A级技工，则A级技工和B级技工的人数恰好相等．
(1)求原计划中A级技工、B级技工各多少名？
(2)在实际工作中，一天3名A级技工去粉刷8个房间，结果其中有 墙面未来得及粉刷；同样时间内5名B级
技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的 墙面．每名A级技上比B级技工一天多粉刷 墙面，求每
个房间需要粉刷的墙面面积．
题型四：销售盈亏
7．（2022·全国·七年级专题练习）新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽
绒服，标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，设这款服装的进价为x元，根据题意可列方程为（
）
A．300×0.8−x＝60 B．300−0.8x＝60
C．300×0.2−x＝60 D．300−0.2x＝608．（2022·全国·七年级专题练习）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为 ；乙种
商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小
聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
题型五：比赛积分
9．（2022·全国·七年级专题练习）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场
得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，设甲队胜了x场，则列方程为（
）
A．x-3（10-x）=22 B．3x-（10-x）=22
C．x+3（10-x）=22 D．3x+（10-x）=22
10．（2022·全国·七年级专题练习）利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很
多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，
负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
题型六：方案选择
11．（2022·全国·七年级课时练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三
问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问
合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）十七中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办公室需
要粉刷墙面；一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级
技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面．
(1)求每个办公室需要粉刷的墙面面积．
(2)已知每天需要给每名一级技工支付费用180元，每天需要给每名二级技工支付费用160元．十七中学有40个办
公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷，现有5名一级技工的甲工程队，4名二级技工的乙工程队，要来粉刷
墙面．十七中学有两个选择方案，方案一：全部由甲工程队粉刷；方案二：全部由乙工程队粉刷；若使得总费用
最少，十七中学应如何选择方案，请通过计算说明．
题型七：数字问题
13．（2022·全国·七年级专题练习）如图，现有 的方格，每个小方格内均有不相同的个位数字，要求方格内每
一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．15
14．（2021·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的
数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都
不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好
数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
(1)判断674，243是否是“好数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字小7的所有“好数”的个数，并说明理由．
题型八：和差倍分问题
15．（2022·全国·七年级专题练习）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重灾区捐款，经统计，
七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款
1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（ ）A． B．
C． D．
16．（2022·广东·惠东县多祝中学七年级期末）罗浮山是国家级风景名胜区和国家AAAAA级旅游景区，某校组织
七年级540名学生参加社会实践，现租用大、小两种客车共10辆，恰好能一次性运完全部学生．已知一辆小客车
限载40人，一辆大客车限载60人，求这两种客车各租用多少辆？
题型九：电费和水费问题
17．（2022·全国·七年级课时练习）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
行驶里程 计费方法
不超过3公里 起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（ ）
A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里
18．（2022·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水 吨，自来水收费实行阶梯水价 元，
收费标准如下表所示：
月用水量 吨 不超过12吨的部分 超过12吨的部分
收费标准（元/吨） 2.00 3.00
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？题型十：几何问题
19．（2023·辽宁·沈阳市第一三四中学七年级阶段练习）已知点A在数轴上对应的数是 ，点 在数轴上对应的数
是 ，且满足 ．现将A、 之间的距离记作 ，定义 ．
(1)A点表示的数___________； 点表示的数___________； ___________；
(2)点 在数轴上对应的数是 ，点 在数轴上对应的数是3．则 ___________；如果 ，则
___________；
(3)设点M在数轴上是有理数，对应数为m，请直接写出： 有最小值时， 取值的有___________个；
(4)设点 在数轴上对应的数是 ，当 时， 的值为___________．
(5)设点 在数轴上对应的数是 ，当 时， 的值为___________．
(6) 是一个有理数，则 的最小值是___________；
20．（2023·广东·深圳市福永中学七年级阶段练习）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都
可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如： 表示4与 的差的绝对值，
实际上也可以理解为4与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离：类似地， 表示5、 之间的
距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为 ．
解决问题：如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为 和8，数轴上另有一个点P对应的数为x，试探索：(1)点P、A之间的距离 ；如图，折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示 的点与表示
的点重合；
(2)若 ，则 ；
(3)若点P在点A，B两点之间，则 ：若 ，则点P表示的数x为 ；由
此可得，P点到A、B两点的距离之和的最小值为11，若P表示的为整数，则这样的P点有 个；
(4)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍时，求x的值．
一、单选题
21．（2022·全国·七年级单元测试）今有若干人乘车，每3人共乘一车且坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘一
车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． −9 B． +2＝ C． −2＝ D． +9
22．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，
没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了（ ）场。
A．6 B．7 C．8 D．9
23．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级）某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，
每人每天生产螺母18个或螺栓12个．若分配 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺
母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·民大附中海南陵水分校七年级期中）将一个周长为42 的长方形的长减少3 ，宽增加2 ，能得
到一个正方形．若设长方形的长为x ，根据题意可列方程为（ ）A． B．
C． D．
25．（2022·湖北·宜昌市东山中学七年级期中）两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静
水中的速度都是50千米/时，水流速度是 千米/时．
(1)4小时后两船相距多远？
(2)若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速度a．
26．（2022·吉林省实验中学七年级期中）如图1是2022年4月份的月历，小军同学用“ ”字形框在
月历上框出四个数字，将该“ ”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期
的某一个日期用x表示，如图2所示，求：
(1)四个日期的和（用含x的代数式表示）；
(2)和为38时，x的值是多少？
27．（2022·北京二中七年级期中）为响应国家节能减排政策，某班开展了节电竞赛活动．通过随手关灯、提高夏
季空调温度、及时关闭电源等行为，小明和小玲两位同学半年共节电55度．据统计，节约1度电相当于节约0.4
千克“标准煤”，在节电55度产生的节煤量中，小明“节煤量”的2倍比小玲多8千克．设小明半年节电x度．
请回答下面的问题：
(1)用含x的代数式表示小玲半年节电量为_______度，用含x的代数式表示这半年小明节电产生的“节煤量”为
_______千克，用含x的代数式表示这半年小玲节电产生的“节煤量”为_______千克；（不需要化简）
(2)请列方程求出小明半年节电的度数．一：选择题
28．（2022·全国·七年级专题练习）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如图的 方格
内填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则 的值为（ ）
A．﹣2 B．4 C．6 D．8
29．（2023·广东·深圳市福永中学七年级阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为
，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运
动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（ ）
A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或者 秒 D． 秒
30．（2022·浙江台州·七年级期末）习题：甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持
上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需
53min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，
设未知数 ， ，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
31．（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）如图，宽为50cm的长方形图案由10个形状大小完全相同的小长
方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
32．（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）如图是2020年1月的日历表，在此日历表中用阴影十字
框选中 个数（如 、 、 、 、 ）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的 个数，则这
个数的和可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
33．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）如图，把1，2，3，4，5，6这六个数分别填入“三角形”图案的六个圆
圈中，使“三角形”图案每边上的三个数之和都相等（每个数字只能使用一次）．现在小明已填了1，3，6三个
数，那么A处应填的数字为_____________．34．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）制作一张桌子需要一个桌面和四个桌腿，1米 木
材可制作20个桌面或制作400条桌腿，现有12米 的木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应安排
___________米 木料用来生产桌面．
35．（2022·四川·东辰国际学校七年级阶段练习）相传，大禹治水时，洛水中一个“神龟”背上有美妙的图案，史
称“洛书”，也就是现在的三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格．如图，在九宫格中填入适当的数，
使得纵，横，斜三个方向的数相加之和均相等，则x的值为_______．
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习） 、B两地相距215千米，甲骑自行车从 地去 地，
乙开汽车从 地去 地，若汽车的速度是自行车速度的4倍，若2小时后两车相距25千米，则自行车的速度为
_________千米/时．
37．（2022·河南·郑州外国语中学七年级阶段练习）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示
的数分别是−10，7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点 落在射线CB上，并且 ，则C点表示的数
是_______．38．（2023·辽宁·沈阳市第一三四中学七年级阶段练习）如图，在数轴上，点 表示1，现将点 沿数轴做如下移
动，第一次点 向左移动2个单位长度到达点 ，第二次将点 向右移动4个单位长度到达点 ，第三次将点
向左移动6个单位长度到达点 ，按照这种移动规律移动下去，第 次移动到点 ，如果点 与原点的距离是
43，那么 的值是___________．
三、解答题
39．（2023·江苏·七年级专题练习）某校新学期准备添置一批课桌椅，原计划订购50套，每套120元，店方提示：
如果多购，可以优惠，结果该校实际订购了60套，每套减价5元，但商店获得了同样多的利润，求每套课桌椅的
成本价．
40．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完
成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产
350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？
41．（2022·全国·七年级专题练习）一套精密仪器由一个 部件和两个 部件构成，用 钢材可以做40个 部件
或240个 部件，现在要用 钢材制作这种仪器．
(1)请问用多少钢材做 部件，多少钢材做 部件，可以恰好制成整套的仪器？
(2)可以制成仪器 套．(3)现在某公司要租赁这批仪器a套，每天的付费方案有两种选择：
方案一：当a不超过50套时，每套支付租金100元；当a超过50套时，超过的套数每套支付租金打八折；
方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元．
当a＞50时，请回答下列问题：
①若按照方案一租赁，公司每天需支付租金 元（用含a代数式表示）；
若按照方案二租赁，公司每天需支付租金 元（用含a代数式表示）．
②假如你是公司负责人，请你谋划一下，选择哪种租赁方案更合算？并说明理由．
42．（2022·全国·七年级专题练习）某校准备利用寒假期间走访慰问贫困家庭学生，并给每位贫困家庭学生赠送一
份学习用品（计划购买40份以上），学习用品每份售价60元，某商场给出了两种团购（40份以上）优惠方案：
方案一：5份学习用品享受爱心免费赠送，剩下的学习用品按售价打九折；方案二：所购买的学习用品全部按售价
打八折．
(1)该校采购老师发现：该校无论选择哪种团购方案，要付的钱都是一样的，问该校需要购买多少份学习用品？
(2)若该校改变计划，需购买学习用品50份，选择哪种方案优惠？请说明理由．
43．（2022·广东·珠海市第九中学七年级期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b， 点表示A点和B点
之间的距离，且a、b满足 ．
(1)点A表示的数为___________；点B表示的数为___________；
(2)若A、B两点之间存在一点C，且 ，求C点表示的数；
(3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）乙球的速度向相反的方向运动，设运动的
时间为t（秒）．
①用含t的式子表示，甲球到原点的距离：___________；乙球到原点的距离：___________；
②求甲、乙两球到原点的距离相等时经历的时间．
44．（2022·辽宁·沈阳市和平区南昌中学沈北分校七年级）一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，
称为第一次操作；在剩下的长方形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第二次操作；…；若在第n
次操作后，剩下的图形为正方形，则称原图形为n元理想长方形．如图1，长方形 中，若 ， ，
则称形 为2元理想长方形．
(1)如图2，长形 长为7，宽为3，它是_________元理想长方形，在图中画出裁剪线；
(2)已知长方形 的一边长为20，另一边长为a ，且它是3元理想长方形，请画出长方形 及裁剪
线的示意图，并在图的下方写出a的值．1．A
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x=150x+12×150，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．150千米
【分析】设A、B两市之间的路程为skm，根据“汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时”建立方程，求解即可．
【详解】设A、B两市之间的路程为skm，
根据题意可知， ，
解得：s＝150，
故答案为：A、B两地的距离为150千米．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路
程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间来解答．
3．A
【分析】设应用 钢材制作A部件，根据“一套仪器由一个A部件和三个B部件构成”，列出方程即可．
【详解】解：应用 钢材制作A部件，
根据题意得： ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是关键．
4．18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球
【分析】设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，由每个正方体有12条棱及8个顶点，
且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出分配生产塑料棒的工人数，
再将其代入（34﹣x）中即可求出分配生产金属球的工人数．
【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配 个工人生产金属球，
依题意得： ，
解得：x＝18，∴34﹣x＝34﹣18＝16．
答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．D
【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲每天做整个工程的 ，乙
每天做整个工程的 ，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1．
【详解】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1列出方程式为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决这类问题关键是找到等量关系．
6．(1)原计划中A级技工有 名，则B级技工有 名．
(2)每个房间需要粉刷的墙面面积为：
【分析】（1）原计划中A级技工有 名，则B级技工有 名，再根据B级技工减1人等于A级技工加1人，
可得方程，再解方程可得答案；
（2）设每名A级技工每天粉刷 的墙面，则每名B级技工每天粉刷 的墙面，再根据每个房间的面积
相等列方程，再解方程并求解每个房间需要粉刷的面积即可．
【详解】（1）解：原计划中A级技工有 名，则B级技工有 名，
∴
解得：
∴
答：原计划中A级技工有 名，则B级技工有 名．
（2）设每名A级技工每天粉刷 的墙面，则每名B级技工每天粉刷 的墙面，则
整理得：
解得：
∴每个房间的面积为：答：每个房间的面积为：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
7．A
【分析】根据标价×（打折数 10）-成本=利润，可以列出相应的方程．
【详解】解：设这款服装的进÷价是每件x元，由题意，得
．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方
程．
8．(1)60，
(2)购进甲商品40件，乙商品10件
(3)13或14件
【分析】（1）根据题意直接列式计算即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得 ，最后求和即可．
【详解】（1）解： （元），
所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为 ．
故答案为：60， ．
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品 件，
由题意得， ，
解得： ，则 ．
答：购进甲商品40件，乙商品10件．
（3）解：设第一天购买乙种商品a件，
依题意得， ，
解得 或4.5（舍去），
所以第一天购买乙种商品5件．
设第二天购买甲种商品b件，
依题意得， ，
解得 或9（舍去），
所以第二天购买甲种商品8或9件，
（件）或 （件）．答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键．
9．D
【分析】根据题意可知，甲队的胜场积分 平场积分 总积分，然后即可列出相应的方程．
【详解】解：设甲队胜了 场，则平了 场，
由题意可得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
10．该队获胜7场
【分析】设该队获胜x场，则平（11−x）场，利用总得分＝3×获胜场次数＋1×平的场次数，即可得出关于x的一元
一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该队获胜x场，则平（11−x）场，
依题意得：3x＋（11−x）＝25，解得：x＝7，
∴11−x＝11−7＝4，
答：该队获胜7场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．A
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．
【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为
；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12．(1)30平方米
(2)选择方案一：全部由甲工程队粉刷，计算过程见解析
【分析】（1）设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，再根据一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还
多粉刷了60平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有10平方米的墙面未来得及
粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米的墙面列出方程求解即可；
（2）分别求出两个方案需要的花费即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个办公室需要粉刷的墙面面积为x平方米，
由题意得 ，
解得 ，
∴每个办公室需要粉刷的墙面面积为30平方米；（2）解：方案一的化花费： 元，
方案二花费： 元，
∵ ，
∴选择方案一：全部由甲工程队粉刷．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意列出对应的方程和式子是
解题的关键．
13．C
【分析】先在方格中设出字母，然后用含c的式子表示出d和e，最后代入 求解即可．
【详解】解：如图，
此时 ， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题时注意“每个小方格内均有不相同的个位数字”仅指每个数的个
位数字不同，不代表9个方格内均为个位数．
14．(1)674不是“好数”，243是“好数”，理由见解析
(2)4个，理由见解析
【分析】（1）根据“好数”的定义判断；
（2）根据“好数”的定义及“百位数字比十位数字小7”，进行推理求解．
（1）解：674不是“好数”，243是“好数”．理由如下：
因为6、7、4都不为0，且6+7=13，13不能被4整除，
所以674不是“好数”，
因为2、4、3都不为0，且2+4=6，6能被3整除，
所以243是“好数”；
（2）
解：设十位数字为a，则百位数字为a-7（7＜a≤9，且a是整数），
所以a+a-7=2a-7，
当a=8时，2a-7=9，
因为9能被1、3、9整除，
所以满足条件的三位数有181、183、189．
当a=9时，2a-7=11，
因为11能被1整除，
所以满足条件的三位数有291．
综上所述，满足条件的三位自然数有181、183、189、291共4个．
【点睛】本题考查了新定义，解题的关键是正确理解好数的概念，列方程也是解题的关键．
15．A
【分析】根据七年级的捐款为x元，可以求得三个年级的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从而可以
列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
七年级捐款数为 元，则三个年级的总的捐款数为： ，
故八年级的捐款为： ，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
16．租用小客车3辆，大客车7辆
【分析】设租用小客车x辆，大客车y辆，根据540名学生共需大、小客车10辆，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设租用小客车x辆，大客车y辆．
依题意，得： ，解得： ．
答：租用小客车3辆，大客车7辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．C
【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．
若 ，根据题意得 ，不成立．
若 ，根据题意得 ．
解得 （舍）．
若 ，根据题意得 ．
解得 ．
若 ，根据题意得 ．
解得 （舍）．
若 时，根据题意得
．
解得 （舍）．
∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．
18．(1)16，30
(2)22吨
【分析】（1）按照单价×总量=总价计算即可，超过12吨的部分则分两段计算即可；
（2）设5月份用水x吨，显然用水量超过了12吨，根据等量关系：12吨的水费＋超过12吨的水费=5月份的水费，
列出方程，解方程即可．
（1）
用水量达到8吨，则需要交水费：8×2.00=16（元）；
用水量达到14吨，则需要交水费：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；
故答案为：16，30
（2）设5月份用水x吨，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超过了12吨，
由题意得：12×2＋(x－12)×3=54，
解得：x=22，
即5月份用水22吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：分段计费问题，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解题的关
键．
19．(1) ，1，6
(2) ，0或6
(3)无数
(4) 或
(5) 或
(6)9
【分析】（1）根据绝对值的非负性得到 ，求出 ，即可得到答案；
（2）根据两点之间的距离公式求出 ，由 ＝3，解绝对值方程即可求出 ；
（3）当点 在线段 上时 有最小值，据此解答便可；
（4）分两种情况： 点在 延长线上时； 点在 延长线上时，分别列出 方程解答便可；
（5）根据 ，列出方程解答便可；
（6）根据 时，原式取最小值，据此求出结果便可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴A点表示的数是 ； 点表示的数是1， ，
故答案为： ，1，6；
（2）点 在数轴上对应的数是 ，点 在数轴上对应的数是3．则 ，
∵ ，
∴ ＝3，
解得 0或6，故答案为： ，0或6；
（3）设点 在数轴上对应的数是 ，
当点 在线段 上时 有最小值，则 ，
∴ 取值的有无数个，
故答案为：无数；
（4）设点 在数轴上对应的数是 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 点在 延长线上时，得 ，解得 ，
点在 延长线上时，得 ，解得 ，
综上， 的值为 或 ；
故答案为： 或 ；
（5）设点 在数轴上对应的数是 ，
∵ ，
∴当 时， ，无解；
当 时， ，解得 或 ，
综上， 的值为 或 ；
故答案为： 或 ；
（6） 表示 与 、4三个数表示的点的距离之和，
当 时， 的值最小为： ，
故答案为： 9．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时 的
取值的一般规律是解题的关键．
20．(1) ，9
(2)4或 ；
(3) 或 ；10
(4) 或 ．【分析】（1）由两点间距离的定义可得 ，设表示 的点与表示m的点M重合，且点M到点B和表示 的点
与点A的距离相等，即可求得答案；
（2）由 ，得到x和 两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，即可得到答案；
（3）分点P在点A左侧和点P在点B右侧两种情况即可求得点P表示的数x，由P点到A、B两点的距离之和的最
小值为11，若P表示的为整数，则由数轴可知P表示的整数的个数；
（4）分点P在线段AB上和点P位于点B右侧两种情况列方程求解即可．
（1）
解：由题意得，点P、A之间的距离 ，
设表示 的点与表示m的点M重合，
∵数轴上两点A、B对应的数分别为 和8，
∴ ，即点M到点B和表示 的点与点A的距离相等，
∴ 或 ，
∵表示 的点在点A的左边，
∴点M在点B的右边，
即 不合题意，舍去，
即 ；
即表示 的点与表示9的点重合；
故答案为： ，9
（2）
∵ ，
∴x和 两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，
∴x＝4或者x＝ ，
故答案为：4或 ；
（3）
∵ ，
∴点P到到点A和点B的距离之和等于13，
∵两点A、B对应的数分别为 和8，
∴ ，
当点P在点A左侧时，如图1，则 ，
∴ ，
即 ，此时点P表示的数x为 ，
当点P在点B右侧时，如图2，
则 ，
∴ ，
即 ，此时点P表示的数x为 ，
则点P表示的数x为 或 ；
P点到A、B两点的距离之和的最小值为11，若P表示的为整数且在A、B两点之间，则由数轴可知P表示的整数
为10个，即﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7；
故答案为： 或 ；10
（4）
∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的2倍，
∴当点P在线段AB上时，
得 ，
解得 ，
当点P位于点B右侧时，
得 ，
解得 ，
即x的值为 或 ．
【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，关键是能分情况讨论，利用数轴列出算式或一元一次方程．
21．B
【分析】设共有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得： +2＝ ．
故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．D
【分析】设八一队胜了x场，根据八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分列方程，即可求解．
【详解】解：设八一队胜了x场，由题意得，
解得 ，
即八一队胜了9场，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列方程是解题的关键．
23．C
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则分配 名工人生产螺母，根据生产的螺母数量为螺栓的2倍，即可得
出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配 名工人生产螺母，
依题意，得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．D
【分析】根据长方形的长减少3 ，宽增加2 ，能得到一个正方形列方程求解即可．
【详解】设长方形的长为x ，则宽是 ，
根据长方形的长减少3 ，宽增加2 ，能得到一个正方形，即长减少3 等于宽增加2 ，列出方程得：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，此题用到了长方形的周长公式：周长=2×（长+宽）．掌握长方形的周
长公式是解答此题的关键．
25．(1)4小时后两船相距 千米
(2)水流速度a为 千米/时
【分析】（1）反向出发，两船相距的路程为：甲路程 乙路程 顺水速度 逆水速度；
（2）根据来回的路程相等列出方程求解即可．
【详解】（1）解：4小时后两船的距离为： 千米，
答：4小时后两船相距 千米；
（2）∵B港到A港用了4小时36分钟 小时，来回共花10小时，
∴ 港到 港的时间为 小时，
则根据题意得： ，
解得： 千米/时，
答：水流速度a为 千米/时．
【点睛】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用，熟知：顺水速度 船速 水流速度，逆水速度 船速 水
流速度，是解本题的关键．
26．(1)
(2)6
【分析】（1）根据日历中同一排后面的数比前一个数大1，下面的数比上面的数大7列出代数式即可求解；
（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程组的解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
27．(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据两位同学共节电 度，小明半年节电x度，则可表示出小玲半年节电量；根据节约1度电相当
于节约0.4千克“标准煤”，可表示出小明及小玲节电产生的“节煤量”；
（2）根据等量关系：小明“节煤量”的2倍比小玲多8千克，列出方程并解方程即可．
【详解】（1）解：小玲半年节电量为 度，小明节电产生的“节煤量”为 千克，小玲节电产生的“节
煤量”为 千克；
故答案为： ， ， ；
（2）解：由题意得： ，
解方程得： ，即小明半年节电 度．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，列方程的关键是找到等量关系，并列出方程．
28．C
【分析】根据图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，
再结合 即可求出 的值．
【详解】解：依题意得： ,
解得： ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
29．C
【分析】根据点A表示的数为 ，可得点B对应的数，设经过x秒，根据点M、点N到原点O的距离
相等，列出方程可解出时间x的值．
【详解】解：∵点A表示的数为 ，
∴ ，
∴点B表示的数为 ，
设经过x秒，点M、点N到原点O的距离相等，则点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
根据题意得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
答：经过5秒或 秒后，点M，点N到原点O的距离相等；
故选：C
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值等知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
30．C
【分析】根据小红列出的方程可知，小红设从甲地到乙地上坡为xkm，平路为ykm，下坡为 km，因此
从乙地到甲地上坡为 km，平路为ykm，则下坡为xkm，根据从乙地到甲地需53min，列出方程即可．【详解】解：∵小红列的方程为 ，
∴小红是设从甲地到乙地上坡为xkm，平路为ykm，下坡为 km，
∴从乙地到甲地上坡为 km，平路为ykm，则下坡为xkm，
∵从乙地到甲地需53min，
∴可以列方程为： ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出x、y表示的意义，找出等量关系，是解题的关键．
31．A
【分析】设小长方形的宽为 cm，长为 cm，根据题意列方程组求解即可．
【详解】设小长方形的宽为 cm，长为 cm，根据题意得 ，解得 ，
一个小长方形的面积为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．
32．D
【分析】设阴影十字框中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得和为5x，再逐一分析各选
项中的数即可．
【详解】解：设阴影十字框中正中间的数为x，则这 个数的和为
，
即这 个数的和为5的倍数，
A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是5的倍
数．
33．4
【分析】根据题意， ，即可求出 的值．
【详解】解：根据题意得， ，
解得： ，答： 处应填4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意是解题的关键．
34．10
【分析】设安排 米 木料生产桌面，安排 米 生产桌腿，根据题意列方程求解即可．
【详解】设安排 米 木料生产桌面，则安排 米 生产桌腿，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为10．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解，根据题意正确列出方程式是解题关键．
35．
【分析】利用纵，横，斜三个方向的数相加之和均相等列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
36．19或24
【分析】设自行车的速度为x千米/时，分两种情况：①相遇前，距离25千米②相遇后，距离25千米，再利用两
车速度和×时间t=路程列出方程，再算出x的值即可．
【详解】解：设自行车的速度为x千米/时，
①相遇前，两车相距25千米，由题意得：
，
解得： ，
②相遇后，两车相距25千米，由题意得：
，
解得： ，
故答案为：19或24
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
37．−2或−1## 或
【分析】设点 表示的数为 ，分两种情况：当点 落在线段CB上时，当点 落在线段CB的延长线上时，分别
表示出点 表示的数，利用 ，建立方程计算即可．
【详解】解：设点 表示的数为 ，
当点 落在线段CB上时，，点B表示的数是7，
点 表示的数为 ，
，点A表示的数是 ，
，
解得 ；
当点 落在线段CB的延长线上时，
，点B表示的数是7，
点 表示的数为 ，
，点A表示的数是 ，
，
解得 ；
综上，点C表示的数是 或 ．
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴及解一元一次方程，能够利用分类讨论的思想是解题的关键．
38．42或43
【分析】根据题意可以分别写出点A移动的规律，当点A奇数次移动后对应数的都是负数，偶数次移动对应的数
都是正数，从而可知 与原点的距离等于43分两种情况，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
第奇数次移动的点表示的数是： ，
第偶数次移动的点表示的数是： ，
∵点 与原点的距离等于43，
∴当点n为奇数时，则 ，
解得， ；
当点n为偶数，则 ，
解得 ．
故答案为：42或43．
【点睛】本题考查数字的变化规律，数轴，解题的关键是明确题意，可以分别写出点A奇数次和偶数次移动的关
系式．
39．90元【分析】设每套课桌椅的成本价是x元，根据利润相同列方程求解即可．
【详解】解：设每套课桌椅的成本价是x元，
根据题意得：50（120﹣x）＝60（120﹣5﹣x），
解得x＝90，
答：每套课桌椅的成本价是90元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
40．3100套
【分析】设这批防护服原计划生产任为x套，根据完成的时间关系列出等量关系式即可．
【详解】解：设这批防护服原计划生产任为x套，
依题意得： ，
解得：x＝3100，
答：这批防护服原计划生产任为3100套．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
41．(1)用 钢材做 部件，用 钢材做 部件
(2)120套
(3)① ， ；② ，选方案二； ，两种方案费用相同； ，选方案一，理由见
解析
【分析】（1）设用 钢材做 部件，用 钢材做 部件，根据共有 钢材，一个 部件和两个 部
件刚好配成套，列方程组求解．
（2）根据 部件的数量即可得到制作套数；
（3）①方案一租金根据当a超过50套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支
付租金90元列式计算可得；
②根据 ，得到 ．分三种情况分析即可．
【详解】（1）解：设用 钢材做 部件，用 钢材做 部件，则
解得： ，
则 ．
答：用 钢材做 部件，用 钢材做 部件，可以恰好制成整套的仪器；
（2） （套）．
答：可以制成仪器120套．故答案为：120；
（3）①方案一： 元，
方案二： 元；
②依题意有： ，
解得 ．
故 ，选方案二节省费用一些；
，两种方案费用相同；
，选方案一节省费用一些．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，正确理解题意列得方程或列式计算是解题
的关键．
42．(1)45份
(2)方案二，理由见解析
【分析】（1）设该校需要购买x份学习用品，根据两种方案付款相同列出方程，解方程即可；
（2）分别求出方案一和方案二的花费，然后进行对比即可．
【详解】（1）解：设该校需要购买x份学习用品，由题意得： ，
解得： ．
答：该校需要购买45份学习用品．
（2）解：方案一： （元），
方案二： （元），
∵ ，
∴选择方案二，
答：选择方案二优惠．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，
列出方程．
43．(1) ，6
(2)
(3)① ， 或 ，② 秒或 秒
【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；（2）设点C表示的数为c，根据 列等式求解即可；
（3）①甲球到原点的距离 原点 甲球对应的数，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当 时，乙球从点
B处开始向左运动，一直到原点O，此时乙球折返前对应的数减去原点即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当 时，
乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球折返后对应的数减去原点即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ） ，（Ⅱ） ，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即
可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ，6．
（2）解：∵点C在点A和点B之间时，设点C表示的数为c，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴点C表示的数为 ．
（3）解：①∵t秒后，甲球对应的数为： ，
∴甲球与原点的距离为： ；
乙球的运动情况分两种情况：
（Ⅰ）当 时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
则t秒后，乙球折返前对应的数为： ，
∴乙球到原点的距离为： ；
（Ⅱ）当 时，乙球从原点O处开始一直向右运动，
∵折返前运动用时3秒，
∴折返后实际运动时间为 秒，
则t秒后，乙球折返后对应的数为： ，
此时乙球到原点的距离为： ；故答案为： ； 或 ；
②∵甲、乙两球到原点的距离相等：
（Ⅰ）当 时，由上一问可得： ，
解得： ；
（Ⅱ）当 时，由上一问可得： ，
解得： ；
综上所述，当 秒或 秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．
【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的运用，以及数轴上两点间的距离，渗透分类讨论思想、方程
思想及数形结合思想是解题的关键．
44．(1)4，图见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据新定义“n元理想长方形”的操作步骤即可得出答案；
（2）根据已知得出符合条件的一共有4种情况：①是剪出三个边长为a的正方形，剩下一个边长为a的正方形；
②是剪出2个边长为a的正方形，剩下长为a，宽为 的长方形，再剪出一个长为 的正方形即可；③是剪出一个
边长为a的正方形，剩下一个长为a，宽为 的长方形，再剪2个长为 的正方形即可；④是剪出一个边长为a的
正方形，剩下一个长为a，宽为 的长方形，再剪出一个边长为 的正方形，剩下一个长为 ，宽为 的长方
形，再剪一个边长为 的正方形即可；分别画出图像得解．
【详解】（1）解：如图2所示，它是4元理想长方形，
故答案为：4；
（2）解：长方形 的一边长为20，另一边长为a的三元理想长方形有以下四种：
①是剪出三个边长为a的正方形，剩下一个边长为a的正方形；
，
；②是剪出2个边长为a的正方形，剩下长为a，宽为 的长方形，再剪出一个长为 的正方形；
，
；
③是剪出一个边长为a的正方形，剩下一个长为a，宽为 的长方形，再剪2个长为 的正方形；
，
；
④是剪出一个边长为a的正方形，剩下一个长为a，宽为 的长方形，再剪出一个边长为 的正方形，剩下一个
长为 ，宽为 的长方形，再剪一个边长为 的正方形；
，
；
