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七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
5.1 相 交 线
邻补角、对顶角的概念及其性质
知识点一
◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
关系的两个角，互为对顶角．
◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
◆4、对顶角的性质：对顶角相等．
垂线的概念、画法及其性质
知识点二
◆1、概念：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
◆2、画法
一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
◆3、性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直
线外都可以．
垂线段与点到直线的距离
知识点三
◆1、垂线段：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
◆2、垂线段的性质：连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对
于这点与直线上其他各点的连线而言．
◆3、点到直线的距离：
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出
或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
同位角、内错角、同旁内角
知识点四
◆1、同位角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同
旁，则这样一对角叫做同位角．
◆2、内错角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两
旁，则这样一对角叫做内错角．
◆3、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同
旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位
置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线
上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成
“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．题型一 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题1】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A．∠AOC和∠BOE是对顶角 B．∠COE和∠AOD是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角 D．∠AOE和∠DOE是对顶角
解题技巧提炼
分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再
判断两个角的两边是否互为反向延长线.
【变式1-1】（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．C． D．
【变式1-2】（2021春•荆门期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
【变式1-4】（2021春•朝阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A.互补的两个角是邻补角；
B．相等的角必是对顶角；
C．对顶角一定相等；
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
【变式1-5】（2022春•迁安市期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直
线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3
图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．题型二 有关对顶角和邻补角的计算
【例题2】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．
（1）直接写出∠DOE的补角；
（2）直接写出∠DOE的余角；
（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定
义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
【变式2-1】（2022春•仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的
度数是（ ）
A．42° B．48° C．96° D．132°【变式 2-2】（2022春•交城县期中）如图，直线 AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则
∠AOD的度数为 ．
【变式 2-3】（2021秋•凤庆县期末）如图，直线 AC和直线 BD相交于点 O，OE平分∠BOC，若
∠1+∠2＝80°，求∠3的度数．
【变式 2-4】（2022•西华县三模）如图，直线 AB，CD相交于点 O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝
2∠DOE，则∠DOB的度数为 ．
【变式2-5】（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线
OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数．【变式2-6】（2021秋•连城县期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图
1）．
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值．
题型三 有关垂线的综合应用
【例题3】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的
度数为（ ）A．20° B．70° C．110° D．90°
解题技巧提炼
结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻
补角等定义计算.
【变式3-1】（2021秋•北林区期末）如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（ ）
A．48° B．32° C．24° D．66°
【变式3-2】（2022春•潼南区期末）如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝
60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100° B．120° C．150° D．160°
【变式3-3】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝
128°，则∠BOF的度数为 ．【变式3-4】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B
的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°
【变式3-5】（2022春•西安月考）如图，直线 AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若
∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【变式 3-6】（2021秋•梁河县期末）如图，已知直线 AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，
OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．
（1）求∠EOF的度数；
（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．题型四 垂线段最短的实际应用
【例题4】（2022春•青龙县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一
个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（
）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
解题技巧提炼
抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线
段的性质和线段的性质求解.
【变式4-1】（2021秋•朝阳区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的
跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式4-2】（2022•兴宁区校级开学）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得
行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【变式4-3】（2022•馆陶县二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是
（ ）
A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释．
【变式4-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行
的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位
置（用点M表示），依据是 ；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄 P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出
车站的位置（用点N表示），依据是 ．【变式4-5】（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
题型五 点到直线的距离
【例题5】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、
PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（ ）
A．8cm B．6cm C．4.5cm D．无法确定解题技巧提炼
分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂
线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.
【变式5-1】（2022秋•道里区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是
点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
【变式5-2】（2022春•渠县校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一直线的两条直线互相平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式5-3】（2022春•九龙坡区校级期中）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设
点P到直线l的距离是d cm，则（ ）
A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4
B．
【变式 5-4】（2022 春•巨野县期中）直线 l 上有 A、B、C 三点，直线 l 外有一点 P，若
PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（ ）
A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm【变式5-5】（2021春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 的长度．
【变式5-6】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝
3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距是 cm．
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题6】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表
被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角D．同位角、内错角、对顶角
解题技巧提炼
本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及
的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就
不是；如果有，再根据角的位置特征判断.
【变式6-1】（2022春•八步区期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同旁内角
C．∠2和∠4是对顶角
D．∠3和∠5是同位角
【变式6-2】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；
③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ．（只填序号）
【变式 6-3】（2022 春•赵县月考）如图所示，直线 AB 与 BC 被直线 AD 所截得的内错角是
；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是 ；与∠DFB成
同旁内角的是 ．
【变式6-5】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；
（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；
（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角．
【变式6-6】（2021春•莘县期末）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内
错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
