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6.1平方根
算术平方根的定义
x a x2 a x a
如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定0的算术平方根
a a a a
还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方数.
a a a a
注意：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0.
题型1：求一个数的算术平方根
1.求下列各数的算术平方根：
（1）49；
（2） ；
（3）（﹣0.7）2；
（4） ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）∵72＝49，
∴49的算术平方根是7；
（2）∵ ，
∴ 的算术平方根是 ；
（3）∵（﹣0.7）2＝0.49，0.72＝0.49
∴（﹣0.7）2的算术平方根是0.7；
（4））∵ ．
∴ 的算术平方根是 ；
【变式1-1】（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根．
（1）169；
（2） ；
（3）0.09；
（4）（﹣3）2．
【分析】利用求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，可以借助乘方运算来寻找一个
非负数的算术平方根．
【解答】解：（1）∵132＝169，
∴169的算术平方根是13，
即 ＝13；
（2）∵（ ）2＝ ，
∴ 的算术平方根是 ，
即 ＝ ；
（3）∵0.32＝0.09，
∴0.09的算术平方根是0.3，
即 ＝0.3；
（4）∵32＝9＝（﹣3）2，
∴（﹣3）2的算术平方根是3，
即 ＝3．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是明确求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆
运算．
【变式1-2】求下列各数的算术平方根：
（1）121；
（2） ；（3）1 ；
（4）0.36；
（5） ．
【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用算术平方根的意义解答即可；
（3）利用算术平方根的意义解答即可；
（4）利用算术平方根的意义解答即可；
（5）利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：（1）∵112＝121，
∴121的算术平方根为11；
（2）∵ ＝ ，
∴ 的算术平方根为 ；
（3）∵ ，
∴ 的算术平方根为 ；
（4）∵0.62＝0.63，
∴0.36的算术平方根为0.6；
（6） ＝3，
∵ ＝3，
∴ 的算术平方根为 ．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
题型2：利用算术平方根求字母的值
2.（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平
方根．
【分析】根据算术平方根的平方运算是被开方数，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组，可得
答案．
【解答】解：2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴ ，
解得 ．∴ ．
答：a+2的平方根为 ．
【点评】本题考查了算术平方根，先平方求被开方数，再解二元一次方程组．
【变式2-1】（2022春•汉阴县月考）已知a﹣3是16的算术平方根，求a的值．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣3＝4，
∴a＝7．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．
【变式2-2】已知2a+1的算术平方根是0，b﹣a的算术平方根是 ，求 ab的算术平方根．
【分析】按照算术平方根的定义进行逆运算，即求 0的平方和 的平方，求出a、b的值，再代入计
算．
【解答】解：∵2a+1的算术平方根是0，
∴2a+1＝02＝0，
解得：a＝ ，
∵b﹣a的算术平方根是 ，
∴b﹣a＝（ ）2＝ ，
解得：b＝ ，
∴ ab＝ ，
∴ ，
∴ ab的算术平方根是 ．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，解一元一次方程，解题关键是清晰掌握算术平方根的定义．
题型3：估算平方根的取值范围
3.估算： ≈ 7 ．（结果精确到1）
【解答】解：∵49＜50＜64，
∴7＜ ＜8，
∵7.52＝56.25，∴ 距离7更近，
故答案为：7
≈ 5 （结果精确到1）．
【解答】解：∵25＜30＜36，
∴5＜ ＜6，
∵5.52＝30.25，
∴ 距离5更近，
故答案为：5．
【变式3-1】估算： （结果精确到1）．
【解答】解：∵49＜51.7＜64，
∴7＜ ＜8，
∵7.52＝56.25，
∴ ≈7，
即估算 （结果精确到1）的正确结果是：7．
故答案为：7．
≈ （结果精确到1）．
【解答】解：∵36＜46＜49，
∴ 的整数部分是6，
∵6.72＝44.89，6.82＝46.25，
∴ ≈7，
故答案为7．
【变式3-2】估算：
（1） ≈ ．（结果精确到1）
（2） ≈ ．（结果精确到1）
（3） ≈ ．（结果精确到0.1）
【分析】根据算术平方根以及近似数和有效数字的定义直接解答即可．
【解答】解：（1）∵62＝36，72＝49，
∴ ≈6．（结果精确到1）；
（2）∵62＝36，72＝49，
∴ ≈7．（结果精确到1）；
（3）∵32＝9，42＝16，3.22＝10.24，∴ ≈3.2．（结果精确到0.1）．
故答案为：6；7；3.2．
【点评】本题考查了算术平方根、近似数和有效数字，解题的关键是掌握其概念．
【变式3-3】已知a，b为两个连续整数，且a<√7<b，则a+b=
【解析】∶找出与√7接近的两个平方数，确定√7的算术平方根的范围
解∶本题运用夹逼法来求整数a与b的值. 因为a，b为连续整数，a<√7<b，而2<√7<32，所以2< √7<3.
所以 a=2，b=3.所以a+b=5.
题型4：求算术平方根的整数部分和小数部分
4.（2022春•乌拉特前旗校级月考）28的算术平方根的整数部分是（ ）
A．5 B．6 C．4 D．7
【分析】对 进行估算即可确定其整数部分．
【解答】解：∵25＜28＜36，
∴ ，
即 的整数部分为5．
故选：A．
【点评】本题考查的数算术平方根，关键是确定出无理数在哪两个相邻整数之间．
【变式4-1】若 的整数部分是 ，小数部分是 ，则式子 的值是
A． B．9 C．19 D．
【分析】先进行估算 的范围，确定a，b的值，再代入代数式即可解答．
【答案】解：∵ ＜ ＜ ，
∴3＜ ＜4，
∴a＝3，b＝ ﹣3，
∴3（a+b）﹣ab＝3×（3+ ﹣3）﹣3×（ ﹣3）＝3 ﹣3 +9＝9．
故选：B
【变式4-2】若 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，则 的值为
A．0 B．1 C． D．2
【分析】运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
【答案】解：∵2＜ ＜3，
∴5＜ ＜6，0＜ ＜1
∴a＝3+ ﹣5＝ ﹣2．b＝3﹣ ，
∴a+b＝ ﹣2+3﹣ ＝1，
故选：B
题型5：算术平方根的应用5.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 12.56和25.12，求圆环的宽度d（ 取3.14，结果保留
小数点后两位）．
π
【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据面积得出方程 R2＝25.12， r2＝12.56，求出R＝2
，r＝2，即可得出答案．
π π
【解答】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
∵两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56和25.12，
∴ R2＝25.12， r2＝12.56，
解π得：R＝2 ，πr＝2，
∴圆环的宽度d＝2 ﹣2≈0.83
【变式5-1】（2022春•岳池县期末）某小区有一块面积为500平方米的长方形空闲草地，其长、宽之比是
5：4，准备在空闲草地里开辟一个正方形的花坛来种花．如果要使开辟的正方形花坛面积最大，那么正
方形花坛的边长为多少？
【分析】首先计算出原长方形的长和宽，再根据正方形的面积得出正方形运动场地的边长即可得出结
论．
【解答】解：设长方形的长为5x米，宽为4x米，
则5x•4x＝500，
解得x＝5，
∴长方形的长为25米，宽为20米，
∴要使开辟的正方形花坛面积最大，正方形运动场地的边长最多为20米．
【点评】本题考查算术平方根的实际应用，求出原长方形的长和宽是解题关键．
【变式5-2】（2022春•宁南县校级月考）某次比赛要求足球场的长在 100m到110m之间，宽在64m到
75m之间．某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的 1.5倍，面积是7560m2．请你判断这个足球场
能否作为这次比赛的赛场？并说明理由．
【分析】设宽为x，根据题意列出方程解答，再与国际比赛的足球场进行比较，看是否适合．
【解答】解：设宽为x米，可得：1.5x2＝7560，
解得：x＝ ，
长为1.5×71＝106.5米，
所以足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，
故这个足球场能作为这次比赛的赛场．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关
系式即可求解．
【变式5-3】（2021春•海淀区校级期末）湿地公园原有一块形状为正方形且面积为 169m2的草坪，根据实
际需要，计划对这块草坪进行扩建，扩建后的正方形草坪的面积为原来的 16倍，求扩建后正方形草坪的边长．
【分析】先求得扩建后正方形草坪的面积，然后利用算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：扩建后正方形草坪的面积＝169×16m2，
所以扩建后草坪的边长＝ ＝13×4＝52m．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根的定义和性质是解题的关键．
平方根的定义
x2 a x a a
如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆
a a a(a0) a a
运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根.
平方根和算术平方根的区别与联系
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方
根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可
以利用算术平方根来研究平方根.
题型6：平方根的定义
6. 的平方根是± ，用数学式子表示为（ ）
A． ＝± B． ＝ C．± ＝± D．± ＝
【分析】根据a（a≥0）的平方根是± 求出即可．
【解答】解： 的平方根是± ＝± ，
故选：C．
【点评】本题考查了对平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
【变式6-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．64的平方根是8 B．2的平方根是2C．0没有平方根 D．16的平方根是4和﹣4
【分析】依据平方根的性质回答即可．
【解答】解：A、64的平方根是±8，故A错误；
B、的平方根是± ，故B错误；
C、0的平方根是0，故C错误；
D、16的平方根是4和﹣4，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
【变式6-2】下列说法中不正确的个数是（ ）
①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平
方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据开方运算，可得一个数的平方根．
【解答】解：①（﹣5）2的平方根是±5，故①正确；
②a＝0时，﹣a2有平方根，故②错误；
③非负数a的平方根是互为相反数，故③错误；
④负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，故④错误；
⑤0的平方根等于它本身，1的平方根是±1，故⑤错误；
故选：D
【变式6-3】（2021秋•本溪期中）下列说法中不正确的个数是（ ）
①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平
方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据开方运算，可得一个数的平方根．
【解答】解：①（﹣5）2的平方根是±5，故①正确；
②a＝0时，﹣a2有平方根，故②错误；
③非负数a的平方根是互为相反数，故③错误；
④负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数，故④错误；
⑤0的平方根等于它本身，1的平方根是±1，故⑤错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，注意负数没有平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根．
题型7：求一个数的平方根
7.判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根．若没有，说明为什么？
（1）0.81（2）2
（3）（﹣2 ）2
（4）0
（5）﹣100
（6）10．
【分析】依据负数没有平方根、0的平方根是0，以及平方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）0.81有平方根，它的平方根是±0.9；
（2）2 有平方根，它的平方根是±1.5；
（3）（﹣2 ）2＝4，它有平方根，它的平方根是±2；
（4）0 有平方根，0的平方根是0；
（5）﹣100 没有平方根，
（6）10有平方根，它的平方根是± ．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【变式7-1】（2022春•赵县月考）求下列各数的平方根：
（1）100；
（2）64；
（3） ；
（4）1.21．
【分析】根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵（±10）2＝100，
∴100的平方根是±10；
（2）∵（±8）2＝64，
∴64的平方根是±8；
（3）∵（± ）2＝ ，
∴ 的平方根是 ；
（4）∵（±1.1）2＝1.21，
∴1.21的平方根是±1.1．
【点评】本题考查平方根，解题关键是根据平方根的定义进行计算．
【变式7-2】计算：± ．
【分析】利用平方根定义开方即可求出答案．【解答】解：
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0 a 2 a a0
，
平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
例如： ， ， ， .
题型8：利用平方根的性质求值
8.（2022秋•南岗区校级期中）如果a的两个平方根分别是2x﹣1与3x﹣4，求a的值．
【分析】根据平方根的性质即可求解．
【解答】解：∵a的两个平方根分别是2x﹣1与3x﹣4，
∴①（2x﹣1）+（3x﹣4）＝0，
2x﹣1+3x﹣4＝0，
5x﹣5＝0，
x＝1，
此时2x﹣1＝2×1﹣1＝1，3x﹣4＝3×1﹣4＝﹣1，
∴a的值为12＝1；
②2x﹣1＝3x﹣4，
﹣x＝﹣3，
x＝3，
∴2x﹣1＝2×3﹣1＝5，3x﹣4＝3×3﹣4＝5，
∴a的值为52＝25；
∴a的值为：1或25．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋•南海区校级月考）已知某正数m的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，求a和m的
值．
【分析】根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．
【解答】解：∵正数m的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，
∴a﹣3+2a+15＝0，
解得：a＝﹣4，m＝（a﹣3）2＝49．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题关键．
【变式8-2】（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的
值，然后求出x的值即可；
（2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝9；
（2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得，
3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∵25的平方根为±5，
∴3x+2a的平方根为±5．
【点评】本题主要考查了平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
题型9：利用平方根的性质解方程
9解方程：
（1）4x2＝16；
（2）9x2﹣121＝0．
【分析】（1）先化成x2＝a的形式，然后再两边直接开方即可．
（2）先移项，化成x2＝a的形式，然后再两边直接开方即可．
【解答】解：（1）4x2＝16，
x2＝4，
x＝±2；
（2）9x2﹣121＝0，
9x2＝121，
x2＝ ，
x＝±
【变式9-1】选择适合的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝3；（2）（y﹣2）2＝y﹣2．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可得到答案；
（2）根据平方得本身的数是0和1可得答案．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝± ，
∴x ＝2+ ，x ＝2﹣ ；
1 2
（2）根据题意，得，：（y﹣2）2﹣（y﹣2）＝0，
（y﹣2）（y﹣2﹣1）＝0
y﹣2＝0或y﹣2＝1，
∴y＝2或y＝3
【变式9-2】解方程：16（x﹣1）2﹣9＝0．
【分析】先移项，然后化系数为1，利用平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵16（x﹣1）2﹣9＝0，
∴（x﹣1）2＝ ，
∴x﹣1＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
题型10：平方根的性质综合应用
10.（2021秋•宁南县期末）阅读下列材料，完成问题．
一般的：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．
例如：∵42＝16，（﹣4）2＝16
∴4和﹣4是16的平方根，也可以说成16的平方根是4和﹣4．
同理64的平方根是8和﹣8．
根据以上材料，完成下面的问题．
（1）25的平方根是 ， 的平方根是 ；
（2）根据（1）的结论可得：一个正数的平方根有 个，它们互为 ；
（3）一个正数的两个不同的平方根是4a﹣5和2﹣3a，求a及这个正数．
【分析】（1）根据平方根的定义进行计算即可；
（2）根据一个正数的两个平方根的特征进行判断即可；
（3）根据一个正数的两个平方根是互为相反数求出a的值，再求出这两个平方根，进而求出这个数．
【解答】解：（1）∵（±5）2＝25，
∴25的平方根为±5，∵（± ）2＝ ，
∴ 的平方根为± ，
故答案为：±5， ；
（2）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，
故答案为：两，相反数；
（3）由题意得，4a﹣5+2﹣3a＝0，
解得a＝3，
当a＝3时，4a﹣5＝7，2﹣3a＝﹣7，
∴这个正数为（±7）2＝49，
答：a＝3，这个正数是49．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
【变式10-1】（1）若一个正数的平方根是5﹣m和2m﹣5，求这个正数．
（2）已知（a2+b2+3）2﹣25＝0，求a2+b2+2020的值．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可；
（2）根据实数算术平方根先求得a2+b2的值再代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，5﹣m+2m﹣5＝0，
解得m＝0，
∴（5﹣m）2＝（5﹣0）2＝25，
∴这个正数为25；
（2）由题意得，（a2+b2+3）2＝25，
∴a2+b2+3＝5或a2+b2+3＝﹣5，
解得a2+b2＝2，或a2+b2＝﹣8（不合题意），
∴当a2+b2＝2时，
a2+b2+2020＝2+2020＝2022，
∴a2+b2+2020的值为2022．
【点评】此题考查了实数的平方根问题的解决能力，关键是能准确理解并运用相关知识并正确计算求
解．
【变式10-2】定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元
二次方程．
如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如x2＝a
（a≥0）的一元二次方程转化为一元一次方程求解．
如：解方程x2＝9的思路是：由x＝± ，可得x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
解决问题：
（1）解方程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝± ，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝ ．
∴x ＝4，x ＝ ．
1 2
（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵x﹣2＝± ，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．
∴x ＝4，x ＝0．
1 2
（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0
∴（3x﹣1）2＝25，
∴3x﹣1＝± ，
∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．
∴x ＝2，x ＝﹣ ．
1 2
故答案为：﹣2，0．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握例题运用平方根解一元二次方程的方法是解本题的关
键．
题型11：规律问题
11.（2022秋•西安月考）（1）观察： ≈0.2646，则 ≈2.646， ≈26.46…发现规律：被
开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：已知 ≈0.1732， ≈ ， ≈ ；
（3）拓展：已知 ≈2.449， ≈7.746，计算 和 的值．
【分析】（1）观察规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；
（3）由 ＝ ＝ × 代入计算即可得出答案，由 ＝ ＝ × 根
据（1）中的规律代入计算即可得答案．
【解答】解：（1）观察： ≈0.2646，则 ≈2.646， ≈26.46…发现规律：被开方数的小
数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：右，1；
（2）应用：已知 ≈0.1732， ≈1.732， ≈17.32；
故答案为：1.732，17.32；
（3） ＝ ＝ × ≈2×7.746≈15.492，
＝ ＝ × ≈3×0.2449≈0.7347．
【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
【变式11-1】（1）先完成下列表格：a …… 0.0001 0.01 1 100 10000 ……
…… 0.01 1 ……
（2）由上表你发现什么规律？
（3）根据你发现的规律填空：
①已知 ＝1.732 则 ＝ ＝
②已知 ＝0.056，则 ＝
【分析】（1）直接利用已知数据开平方得出答案；
（2）利用原数据与开平方后的数据变化得出一般性规律；
（3）利用（2）中发现的规律进而分别得出各数据答案．
【解答】解：（1）
a …… 0.0001 0.01 1 100 10000 ……
…… 0.01 0.1 1 10 100 ……
（2）规律是：被开方数的小数点向左或向右每移动两位开方后所得的结果相应的也向左或向右移动1
位；
（3）①∵ ＝1.732，∴ ＝17.32；
＝0.1732；
②∵ ＝0.056，∴ ＝560．
故答案为：①17.32；0.1732；②560．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确发现数据开平方后的变化规律是解题关键．
【变式11-2】观察下列算式：
①
②
③
④ …
（1）根据以上规律计算： （注意计算技巧哦！）
（2）请你猜想： 的结果（用n的式子表示）．
【分析】（1）根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上16的算术平方根；
（2）根据规律写出即可．
【解答】解：（1）
＝ +
＝4036072+4＝4036076；
（2） ＝2n（2n+6）+4＝4n2+12n+4．
【点评】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解
题的关键．
一、单选题
1．（2021七下·东莞期末）9的算术平方根是（ ）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
【答案】D
【解析】【解答】∵32=9，
∴9的算术平方根是3.
故答案为：D.
【分析】先求出32=9，再计算求解即可。
2．（2021七下·东丽期中）下列说法正确的是( )
A．0没有平方根 B．−1的平方根是−1
C．4的算术平方根是2 D．(−3) 2的平方根是3
【答案】C
【解析】【解答】解：A、0的平方根是0，不符合题意；
B、﹣1没有平方根，不符合题意；
C、4的算术平方根是2，符合题意；
D、 (−3) 2的平方根是±3，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方根和算术平方根的性质逐项判断即可。
3．（2021七下·建华期末）4的平方根等于（ ）
1
A．2 B．−2 C． D．±2
4
【答案】D
【解析】【解答】∵(±2) 2=4，∴实数4的平方根等于±2．
故答案为：D．
【分析】利用平方根的计算方法求解即可。
4．（2019七下·白城期中）下列运算中正确是（ ）
√ 1 1
A．± √25 ＝5 B．﹣ √52 ＝±5 C．√(−2) 2 ＝2 D． 4 ＝2
4 2
【答案】C
【解析】【解答】A. ±√25=±5 ，故是错误的；
B. −√52=−5 ，故是错误的；
C. √(−2) 2=2 ，故是正确；
√ 1 √17
D. 4 = ，故是错误的;
4 2
故答案为：C.
【分析】主要运用了对算术平方根和平方根的定义，能理解定义是解此题的关键．
5．（2021七下·绵阳期末）已知(2x−3) 2=4，则x的所有取值的和为（ ）
5
A．0 B．2 C． D．3
2
【答案】D
【解析】【解答】解：因为(2x−3) 2=4，
所以2x−3=±2，
所以2x−3=2或2x−3=−2，
5 1
所以x= 或x= ，
2 2
5 1
所以x的所有取值的和为 + =3.
2 2
故答案为：D.
【分析】根据平方根的定义可得2x-3=±2，求解可得x的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
6．（2022七上·鄞州期中）已知|x|＝6，y2＝4，且xy＜0.则x+y的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．2或﹣2【答案】C
【解析】【解答】解：∵|x|＝6，y2＝4，
∴x＝±6，y＝±2，
又∵xy＜0，
∴x＝6，y＝﹣2或x＝﹣6，y＝2，
当x＝6，y＝﹣2时，x+y＝4，
当x＝﹣6，y＝2时，x+y＝﹣4，
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的概念可得x＝±6，根据平方根的概念可得y＝±2，结合xy＜0可得x＝6，y＝-2
或x＝-6，y＝2，然后根据有理数的加法法则进行计算.
二、填空题
7．（2021九上·防城期中）计算 √9 =
【答案】3
【解析】【解答】解：√9=3.
【分析】根据算术平方根的定义，即可得出答案.
8．（2021七上·温江期中）x2=9，x＝ ，|−4|的相反数是
【答案】±3；-4
【解析】【解答】解：∵x2=9，
∴x=±3，
∵|−4|=4，
∴|−4|的相反数是-4，
故答案为：±3，-4．
【分析】根据平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根”可得
x=±3；根据绝对值的意义可得|−4|=4，然后根据相反数定义“只有符号不同的两个数互为相反数"可
求解.
9．（2022七下·黄山期末）根据下面表格中的数据求出2.5921的平方根是 ．
x 16 16.1 16.2 16.3
x2 256 259.21 262.44 265.69
【答案】±1.61
【解析】【解答】解：由表格信息可得：当x2=259.21时，
则x=±16.1，∵x2=259.21
1 259.21
∴ x2= ，
100 100
1 2 259.21
∴( x) = ，
10 100
1 16.1
∴ x=± =±1.61，
10 10
∴2.5921的平方根是±1.61.
故答案为：±1.61.
1 16.1
【分析】先求出x=±16.1，再求出 x=± =±1.61，最后计算求解即可。
10 10
三、计算题
10．（2021七上·庆元月考） 计算
（1）-7+5-（-1）
1 3
（2）√9+23×（ - ）
2 4
【答案】（1）解：原式=-2-（-1）=-2+1=-1
1 3
（2）解：原式=3+8×（ - ）=3+4-6=1
2 4
【解析】【分析】（1）利用有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，将有理数的减
法转化为加法，然后利用有理数的加法法则进行计算，可求出结果.
（2）先算乘方运算，再利用有理数的乘法分配律进行计算，然后利用有理数的加减法法则进行计算，
可求出结果.
11．（2022八上·新城月考）求下列式子中的x：
3
（1）25(x﹣ )2＝49；
5
1
（2） (x+1)2＝32．
2
3
【答案】（1）解：25（x﹣ ）2＝49，
5
3 49
（x﹣ ）2＝ ，
5 25
3 7
x﹣ ＝± ，
5 53 7 3 7
x﹣ ＝ 或x﹣ ＝﹣ ，
5 5 5 5
4
解得：x＝2，x＝− ；
1 2 5
1
（2）解： （x+1）2＝32，
2
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x＝7，x＝﹣9．
1 2
3 49
【解析】【分析】（1）先将方程化为（x﹣ ）2＝ ，再利用平方根的意义求解即可；
5 25
（2）先将方程化为 （x+1）2＝64， 再利用平方根的意义求解即可；
四、解答题
12．（2021八上·秦都月考）已知一个圆的半径为3，求与这个圆面积相等的正方形的边长.（ π 取 3
）
【答案】解：因为圆的半径为3， π=3 ，
所以圆的面积为 3×32=27 ，即正方形的面积为 27 ，
所以正方形的边长为 √27=3√3 .
【解析】【分析】利用半径为3的圆的面积=正方形的面积，即可求出正方形的边长.
13．（2021七下·椒江期末）一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m-1），求m的值.
【答案】解：当m-1≥0，即m≥1，则2m-6=m-1.
∴m=5（5＞1，符合题意）.
当-（m-1）≥0，即m≤1，则2m-6=-（m-1）.
7
∴m= （不合题意，故舍去）.
3
综上：m=5.
【解析】【分析】分情况讨论：当m-1≥0，可得到2m-6=m-1；当-（m-1）≥0时，可得到2m-6=-
（m-1），然后分别求出方程的解，即可得到符合题意的m的值.
14．（2021八上·四川月考）已知x、y满足√(x+1) 2+|y−3x−1|=0，求y2﹣5x的平方根．【答案】解：∵√(x+1) 2+|y−3x−1|=0 ，
∴(x+1) 2+|y−3x−1|=0 ，
又∵(x+1) 2≥0 ， |y−3x−1|≥0 ，
∴x+1＝0，y﹣3x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，y＝3x+1＝﹣3+1＝﹣2，
∴y2﹣5x＝4+5＝9，
∵9的平方根是±3，
∴y2﹣5x的平方根是±3．
【解析】【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性可得x+1=0、y-3x-1=0，联立求出x、y的
值，然后求出y2-5x的值，再根据平方根的概念进行解答.
五、综合题
15．（2022七下·连山月考）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程mx2−a=8的解．
【答案】（1）解：a+6+2a−9=0，解得a=1
（2）解：m=(1+6) 2=49；
3
（3）解：由（1）（2）得49x2−1=8，x=± ．
7
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质可得a+6+2a−9=0，再求出a的值即可；
（2）将a的值代入 a+6 计算即可；
（3）将a、m的值代入mx2−a=8，再求解即可。
