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6.1平方根
算术平方根的定义
x a x2 a x a
如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定0的算术平方根
a a a a
还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方数.
a a a a
注意：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0.
题型1：求一个数的算术平方根
1.求下列各数的算术平方根：
（1）49；
（2） ；
（3）（﹣0.7）2；
（4） ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）∵72＝49，
∴49的算术平方根是7；
（2）∵ ，
∴ 的算术平方根是 ；
（3）∵（﹣0.7）2＝0.49，0.72＝0.49
∴（﹣0.7）2的算术平方根是0.7；
（4））∵ ．
∴ 的算术平方根是 ；
【变式1-1】（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根．
（1）169；
（2） ；
（3）0.09；
（4）（﹣3）2．
【分析】利用求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，可以借助乘方运算来寻找一个
非负数的算术平方根．
【解答】解：（1）∵132＝169，
∴169的算术平方根是13，
即 ＝13；
（2）∵（ ）2＝ ，
∴ 的算术平方根是 ，
即 ＝ ；
（3）∵0.32＝0.09，
∴0.09的算术平方根是0.3，
即 ＝0.3；
（4）∵32＝9＝（﹣3）2，
∴（﹣3）2的算术平方根是3，
即 ＝3．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是明确求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆
运算．
【变式1-2】求下列各数的算术平方根：
（1）121；
（2） ；（3）1 ；
（4）0.36；
（5） ．
【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用算术平方根的意义解答即可；
（3）利用算术平方根的意义解答即可；
（4）利用算术平方根的意义解答即可；
（5）利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：（1）∵112＝121，
∴121的算术平方根为11；
（2）∵ ＝ ，
∴ 的算术平方根为 ；
（3）∵ ，
∴ 的算术平方根为 ；
（4）∵0.62＝0.63，
∴0.36的算术平方根为0.6；
（6） ＝3，
∵ ＝3，
∴ 的算术平方根为 ．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
题型2：利用算术平方根求字母的值
2.（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平
方根．
【分析】根据算术平方根的平方运算是被开方数，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组，可得
答案．
【解答】解：2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴ ，
解得 ．∴ ．
答：a+2的平方根为 ．
【点评】本题考查了算术平方根，先平方求被开方数，再解二元一次方程组．
【变式2-1】（2022春•汉阴县月考）已知a﹣3是16的算术平方根，求a的值．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣3＝4，
∴a＝7．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．
【变式2-2】已知2a+1的算术平方根是0，b﹣a的算术平方根是 ，求 ab的算术平方根．
【分析】按照算术平方根的定义进行逆运算，即求 0的平方和 的平方，求出a、b的值，再代入计
算．
【解答】解：∵2a+1的算术平方根是0，
∴2a+1＝02＝0，
解得：a＝ ，
∵b﹣a的算术平方根是 ，
∴b﹣a＝（ ）2＝ ，
解得：b＝ ，
∴ ab＝ ，
∴ ，
∴ ab的算术平方根是 ．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，解一元一次方程，解题关键是清晰掌握算术平方根的定义．
题型3：估算平方根的取值范围
3.估算： ≈ 7 ．（结果精确到1）
【解答】解：∵49＜50＜64，
∴7＜ ＜8，
∵7.52＝56.25，∴ 距离7更近，
故答案为：7
≈ 5 （结果精确到1）．
【解答】解：∵25＜30＜36，
∴5＜ ＜6，
∵5.52＝30.25，
∴ 距离5更近，
故答案为：5．
【变式3-1】估算： （结果精确到1）．
【解答】解：∵49＜51.7＜64，
∴7＜ ＜8，
∵7.52＝56.25，
∴ ≈7，
即估算 （结果精确到1）的正确结果是：7．
故答案为：7．
≈ （结果精确到1）．
【解答】解：∵36＜46＜49，
∴ 的整数部分是6，
∵6.72＝44.89，6.82＝46.25，
∴ ≈7，
故答案为7．
【变式3-2】估算：
（1） ≈ ．（结果精确到1）
（2） ≈ ．（结果精确到1）
（3） ≈ ．（结果精确到0.1）
【分析】根据算术平方根以及近似数和有效数字的定义直接解答即可．
【解答】解：（1）∵62＝36，72＝49，
∴ ≈6．（结果精确到1）；
（2）∵62＝36，72＝49，
∴ ≈7．（结果精确到1）；
（3）∵32＝9，42＝16，3.22＝10.24，∴ ≈3.2．（结果精确到0.1）．
故答案为：6；7；3.2．
【点评】本题考查了算术平方根、近似数和有效数字，解题的关键是掌握其概念．
【变式3-3】已知a，b为两个连续整数，且a<√7
