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数学试卷
（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）
命题人：曹亚林 审题人：李友军
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，
请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上
1. 设S，T是两个非空集合，且 ， ，令 ，那么 等于（ ）
A. X B. T C. D. S
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件，利用交集和并集性质即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
故 .
故选：D.
2. 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法运算法则和 的幂运算的周期性直接求解即可.
【详解】 .
故选：B.
3. “ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
【分析】求解给定不等式，再利用充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】不等式 ，不等式 ，
显然
“ ”是“ ”成立的充分不必要条件.
故选：A
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数为奇函数排除 ，当 时 ，排除 得到答案.
【详解】 ，
，函数为奇函数，排除 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， ，故 ，排除 .
故选： .
【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键.
5. 已知各项均为正数的等比数列 中， ，则 等于（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由等比数列下标和的性质求解．
【详解】由题意得 ，
而 各项均为正数，则 ，
故选：A
6. 点 在以 为焦点的椭圆 上，若线段 的中点在 轴上，则 是 的（ ）
A. 3倍 B. 4倍 C. 5倍 D. 7倍
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段 的中点M在y轴上，推出 轴，由此可设 ，代入椭圆方程求出 ，
再根据两点间的距离公式求出 和 可得解.
【详解】
由 可知 ， ，所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵线段 的中点M在y轴上，且原点O为线段 的中点，
所以 ，所以 轴
∴可设 ，
把 代入椭圆 ，得 .
∴ ， .
∴
.
故选：D.
7. 已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复合函数的单调性与对数函数的性质列式求解．
【详解】二次函数 在 单调递减，在 单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
若函数 在区间 上单调递减，则 ，与前提条件矛盾，舍去
当 时， 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若函数 在区间 上单调递减，则 ，得 ，
故选：C
8. 过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于 对称时，
它们之间的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为
．
【详解】圆（x-5）2+（y-1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，
它与y=x 的交点N（3，3），
的
N到（5，1）距离是2 ，圆 半径为 ，两条切线l，l，它们之间的夹角为 ．
1 2
故选C．
二、多选题：共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有两个以上
是符合题目要求的，少选得2分，多选或错选得0分
9. 一组数据 ， ，…， 的平均数是3，方差为4，关于数据 ， ，…， ，下列说
法正确的是（ ）
A. 平均数是3 B. 平均数是8
C. 方差是11 D. 方差是36
【答案】BD
【解析】
【详解】代入平均数和方差公式，即可求解.
【分析】 ， ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，则 ， ，
所以数据 ， ，…， 的平均数为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方差为 .
故选：BD.
10. 已知函数 ，则满足 的整数 的取值可以是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．
【详解】由题意得 ，故 为偶函数，
而 ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
若 ，则 ，得 ，
即 ，解得
故选：BCD
11. 设 是 上的奇函数，且 ，当 时， ，则（ ）
A.
B. 的图像关于直线 对称
C. 的一个周期为4
D. 在 上有7个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.
【详解】对于A， ，所以 ，故A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，因为 ，则 ，
所以 的一个周期为4，故C正确；
对于B，因为 是 上的奇函数，则 ，
即 图像关于 对称，因为周期为4，所以 图像关于 对称，故B错误；
对于D，由 是 上的奇函数，关于 对称，周期为4，
又当 时， ，令 ，得 ，
从而作出 在 上的大致图像，
注意到 ， ，
所以 在 上有8个零点，故D错误.
故选：AC.
12. 已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（ ）
A. 一定不是正方体
B. 外接球的表面积为
C. 长、宽、高的值均属于区间
D. 体积的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，设长方体的长宽高分别为 ，由 即可判断A，由
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即可判断B，由不等关系代入计算即可判断C，由 ，结合 的范围，
利用导数即可判断D.
【详解】设长方体的长宽高分别为 ，则可得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
由不等式可得， ，当且仅当 时，等号成立，
而 ，取不到等号，所以得不到 ，即该长方体一定不是正方体，故A正确；
设长方体外接球的半径为 ，则 ，即 ，则外接球的表面积为
，故B正确；
由 可得， ，代入 可得， ，即
，
因为 ，由基本不等式可得 ，
即 ，设 ，则 ，
则 ，化简可得 ，即 ，
所以 ，即 ，又因为 ，
则 ，同理可得 ，故C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设长方体的体积为 ，则 ，且 ， ，
即 ，其中 ，
化简可得， ， ，
且 ， ，
令 ，则 或 ，
当 时， ，即 单调递减，
当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减，
所以，当 时， 有极小值，且 ，
当 时， 有极大值，且 ，
又因为 ,
，所以 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题主要考查了基本不等式的应用以及利用导数解决立体几何中体积最值问题，难度
较大，解决问题的关键在于将长方体的体积转化为关于长方体长宽高的函数关系，然后利用导数知识求解.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13. 已知函数 ，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由指数与对数的运算法则求解．
【详解】 ，则 ，
故答案为：
14. 曲线 过坐标原点的切线的斜率为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义、斜率坐标公式列式求解作答.
【详解】设曲线 过坐标原点的切线与曲线相切的切点为 ，
由 求导得 ，于是 ，整理得 ，解得 ，
所以曲线 过坐标原点的切线的斜率为 .
故答案为：
15. 函数 的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式“1”的妙用求解．
【详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 即 时等号成立，
故答案为：
16. 已知函数 ，则方程 有_______个不相等的实数解．
【答案】6
【解析】
【分析】令 ，首先分析 的根的情况，进一步结合 的根的情况即可得解.
【详解】首先分以下两种情形来研究函数 的性态：
情形一：当 时， ，求导得 ，
令 ，由此可以列出以下表格：
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
且 有 极 大 值 ， 极 小 值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
情形二：当 时， ，求导得 ，
令 ，由此可以列出以下表格：
所以 在 单调递减，在 单调递增， 且有极小值 .
综合以上两种情况，且注意到当 趋于负无穷时， 也趋于负无穷，
当 在1的左边趋于1时， 趋于 ，且 ，
当 趋于正无穷时， 也趋于正无穷，
由此即可在同一直角坐标系中画出 与 的图象如下图：
其中 、 、 为方程 的三个根，
、 为方程 的两个根，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知 ， ；
所以由以上分析可知方程 有三个根 、 、 ，
现在只需把 回代到方程 中即可，
且注意到 ，
，
，
所以方程 、 、 分别有 个根.
综上所述方程 一共有 个不同的实数根.
故答案为：6.
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于首先利用换元法令 ，将问题转换为 的根的情
况，进一步利用导数去分析 这个函数的性态，由此得出方程的根的个数，最终回代即可.
四、解答题：本大题共6小题，共70分（第17题10分，第18-22题每题12分）.解答请写在
答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. 在 中，分别是 的对边， ．
（1）求
（2）若 ，求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）由正弦定理，边化角，化简可得结果；
（2）由余弦定理结合基本不等式求解.
【小问1详解】
，由正弦定理，有 ，
， ，
所以 ，
，又 ，得 ，又 ,
.
【小问2详解】
， ， ， .
当且仅当 时等号成立.此时 .
所以 面积的最大值的为 .
18. 如图，在三棱锥 中， ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再由线面垂直的性质定理
可得答案；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，由已知条件可得 为二面角 的平面角，由余
弦定理可得答案．
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ；
【小问2详解】
取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 为二面角 的平面角，
由余弦定理可得 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】19. 设等差数列 的首项 及公差 都为整数，前 项和为 ．
（1）若 ， ，求数列 的通项公式；
（2）若 ．
（i）证明： ；
（ii）求所有可能的数列 的通项公式．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii） 和 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出关于 和 的方程组，解出这两个量的值，进而可求得数列 的通项公式；
（2）（i）根据题意可得出关于 和 的不等式组，求出 的取值范围，可得出整数 的值，（ii）代入
已知条件可求得整数 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列 的通项公式.
【小问1详解】
由 ，得 ．
又 ，则 ，解得 ，
因此 的通项公式是 ；
【小问2详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（i）由 ，得 ，即 ，
由① ②得 ，即 ，
由① ③得 ，即 ，
于是 ，又 ，故 ④．
（ii）将④代入①②得 ，又 ，故 或 ．
当 ， 时， ；
当 ， 时， .
综上，所有可能的数列 的通项公式是 和 .
20. 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间与极值．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得到函数 的解析式，从而得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数
值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程；
（2）对函数求导，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值.
【小问1详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， ，
又 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
【小问2详解】
．
由于 ，以下分两种情况讨论．
①当 时，令 ，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
极小
单调递减 单调递增 极大值 单调递减
值
所以 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 ．
函数 在 处取得极小值 ，且 ，
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
②当 时，令 ，得到 ，当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
函数 在 处取得极小值 ，且 ．
21. 已知抛物线 ，过 且斜率为1的直线 与抛物线交于不同的两点
（1）求 的取值范围；
（2）若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）设出直线 的方程，代入抛物线方程，化简后利用弦长公式求得 的表达式，利用题目所
给 的范围求得 的范围.（2）根据中点坐标公式求得 中点 的坐标.求得 的值，写出
三角形 面积的表达式，结合（1）的结论可求得面积的最大值.
【详解】解：(1) 设直线 与抛物线两交点的坐标分别为
直线 的方程为 ,将 代入抛物线方程 ,得
,
(2)设 的垂直平分线交 于点Q，令其坐标为 则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|= ，
所以
即△NAB面积的最大值为 ．
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得的弦长公式，考查垂直平
分线的性质以及三角形面积最大值的计算，属于中档题.
22. 已知函数 的最大值为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得函数的单调区间，结合 ，即可求解；
（2）根据题意，转化为 ，设 ，利用导数求得函数 的单调区间和值
域，再令 ，利用导数求得函数 的单调性与最大值，进而求得实数 的取值范围.
【小问1详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，当 时， ，函数 单调递减，
此时函数 无最大值，不符合题意（舍去）；
当 时，可得 ，
令 ，解得
要使得 的最大值为 ，则 单调递增， 上单递减，
所以 ，可得 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
经检验， 满足题意，
所以 .
【小问2详解】
由（1）得 ，
则 ，即为 ，
即 ，即
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递减，
所以 ，且 ，当 时， ，
当 时，可得 ，
设 ，可得 ，
当 时，可得 ， 单调递增；
当 时，可得 ， 单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
