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2022 年重庆一中高 2023 届 9 月月考
一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合 ，注意集合中的代表元素，再利用集合
的交集运算求解即可.
【详解】∵ ，
，
∴ .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题，即得.
【详解】由全称命题的否定可知：“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：A.
下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君3. 下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对 ：容易知 是偶函数，且在 单调递减，故错误；
对 ：容易知 是偶函数，当 时， ，
其在 单调递增，在 单调递减，故错误；
对 ：容易知 是偶函数，当 时， 是单调增函数，故正确；
对 ：容易知 是奇函数，故错误；
故选：C.
4. 根据分类变量 与 的观察数据，计算得到 ，依据下表给出的 独立性检验中（ ）
A. 有 的把握认为变量 与 独立
B. 有 的把握认为变量 与 不独立
C. 变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过D. 变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】D
【解析】
【分析】根据独立性检验的含义进行判断可得.
【详解】由题意， ，
所以有 的把握认为变量 与 不独立，
即变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 .
故选：D
5. 已知sin(α＋2β)＝ ，cos β＝ ，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由余弦二倍角公式确定cos 2β，再结合已知和角的范围确定cos(α＋2β)，然后由两角差的正弦
公式计算sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]可得结果.
【详解】因为cos β＝ ，0<β< ，所以sin β＝ ，cos 2β＝2cos2β－1＝ －1＝－ <0，
所以 <2β<π.因为sin(α＋2β)＝ ，α为锐角，所以 <α＋2β<π，cos(α＋2β)＝－ ，
所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β
＝ × － × ＝ .
故选：D.
【点睛】本题考查同角三角函数关系式，余弦二倍角公式，两角差的正弦公式以及凑角法的应用，属于基础题.
6. 已知抛物线 ，圆 ，直线 与 交于A、B两点，与 交
于M、N两点，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立直线方程和抛物线方程，设 ， ，根据抛物线焦点弦长公式 和
韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式 即可求 ．
【详解】由 得， ，
设 ， ，∵ ，∴ ，
∵ 过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴ ，∴ ，∴ ，解得 ，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时 相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离 ，∴ ﹒
故选：B．
7. 甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜
者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，
丁1分，则（ ）
A. 甲胜乙 B. 乙胜丙 C. 乙平丁 D. 丙平丁【答案】C
【解析】
【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛
中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，
乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.
【详解】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，
由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，
即 ，
丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，
丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场 是平局，
而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，
故选：C.
8. 若 ，且 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当 时，由 ，得到 ，求导得到 单调递增，从而求得 的范
围，再求得当 时， 的范围，再结合题意得到结果即可.
【详解】当 时， ，由 ，可得 ，
设 ，则 ，则 在 递增，
所以 ，即
当 时， ，
可得当 时， 的解集为当 时， 的解集为 ，不满足题意，舍去
因为关于 的不等式 的解集为
当 时， ，
满足
当 时， ，
不满足
综上可得: 的取值范围是
故选:B.
二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 设函数 ，给出的四个说法正确的是（ ）
A. 时有 成立
B. 且 时，方程 有唯一实根
C. 的图象关于点 对称
D. 方程 恰有两个实根
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义、对称性及图象的变换可判断AC；根据分段函数的单调性可判断B；取
可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，
则 ，故A正确；对于C， 是奇函数，图象关于原点对称，
的图象由 向上或向下平移 个单位，
故 的图象关于点 对称，故C正确；
对于B，当 且 时， ，
故函数 在 上 为增函数，且 ，故方程 有唯一实根，故B正确；
对于D，取 ，令 ，解得 或 ,故D错误.
故选:ABC.
10. 下列大小关系正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
结合指数函数 和幂函数 的性质可判断选项A、B，利用作差法可判断选项C，利用作商法可
判断选项D，进而可得正确答案.
【详解】由指数函数 和幂函数 可知，当 时 ，
为
因 ，所以 ，选项A不正确；
因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，所以 ，即
所以 ，所以 ，故选项C不正确；
因为 ， ，所以 ，
所以 ，故选项D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉指数函数 和幂函数 ，记住同一直角坐标系中它们
的图象，当 时 ，另外代数式比较大小可以用作差法与0比较大小，同号的可以利用作商
法与1比较大小，变形的过程很灵活，属于常考题型.
11. 已知随机变量 服从正态分布 ，定义函数 为 取值不超过 的概率，即
.若 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 在 上 是增函数 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正态分布的性质和 逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为随机变量 服从正态分布 ， ，
所以 ，所以A正确，
对于B，因为 ， ，所以B错误，
对于C，因为随机变量 服从正态分布 ， ，
所以当 时，随 的增大， 的值在增大，所以 在 上是增函数，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ，所以D正确，
故选：ACD
12. 已知a， ，满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由 ，构造
且 ，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断.
【详解】A：由 ，即 ，当且仅当 时等号成立，正确；
B：由 ，则 且 ，
令 且 ，则 ， 递减，
所以 ， ，即 成立，正确；
C： 当 时， ，错误；
D：由 ，当且仅当 时等号成立，正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinβ
的值为________．
【答案】
【解析】【详解】2tan(π－α)－3cos ＋5＝0化为－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋
β)＝1化为tanα－6sinβ＝1，解方程组因而sinβ＝ .故填 .
14. 记定义在 上的可导函数 的导函数为 ，且 ， ，则不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先设函数 ，利用导数判断函数的单调性，不等式 等价于
，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】设 ， ，所以函数 单调递增，
且 ，不等式 ，所以 .
故答案为： .
15. 函数 的所有零点之和为__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数 ， ，作出这两个函数的部分图象，确定两个图
象的交点个数，再结合性质计算作答.
【详解】由 ，令 ， ，显然 与 的图象都关于直线 对称，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，
观察图象知，函数 ， 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 对称，有 ，则 ，
所以函数 的所有零点之和为9.
故答案为：9
16. 已知 且 对任意的 恒成立，则 的最小值为_____．
【答案】1
【解析】
【详解】设 ，则由 得： ，当当 时，
，当 时， ，所以当 时， 有唯一极值，也是最小值
， 所 以 由 对 任 意 的 恒 成 立 ， 得，可得 ，因为 ，故 成立，
令 （ ）， ，当 时， ，当
时， ，所以当 时， ，所以 ，故填 ．
四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数
（1）求 的对称轴方程；
（2）求 在区间 上的单调区间
【答案】（1）
（2）在 单调减，在 单调增
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换将 化简为 的形式，再由对称轴公式计算即可.
（2）由（1）中的解析式令 ， 求得单调增区间，再得到减区间即可.
【小问1详解】令 解得
所以对称轴发方程为
【小问2详解】
由（1）知
令 ，
解得 ，
当 时，单调增区间为
又因为区间为 ，
所以增区间 为，减区间为
18. 已知数列 中 ， ，且满足 ．设 ， .
（1）求数列 的通项公式的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）将已知递推公式进行变形可得数列 是等比数列，进而根据首项和公比可得其通项公式；（2）根据 及数列 的通项公式，利用累加法可得数列 的通项公式，进而得到数列
的通项公式 ，再利用等差数列的前 项和公式即可求得结果.
【详解】（1）∵ ， ，∴ .
∵ ，∴ ，
又 ，∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴ ， .
（2）∵ ，
∴
，
∴ ，
∴ ，∴ .
19. 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的
业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获
胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛
相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为 ；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中
．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安
排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事
组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望 的取值范围．
【答案】（1）业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛
（2） 的取值范围为： （单位：万元）.
【解析】
【分析】（1）分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者
的大小即可得出答案.
（2）由已知 万元或 万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出 ，由
，求出 的取值范围.
【小问1详解】
第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
;
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为 ，所以 ，所以 .
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
【小问2详解】
由已知 万元或 万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为 ，专业队获胜的概率为 ，
所以，非平局的概率为 ，
平局的概率为 .
的分布列为：
的数学期望为 （万元）
而 ，所以 的取值范围为： （单位：万元）.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若函数 恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为 ， ，求证： .
【答案】（1）单调递增区间为 、 ，递减区间为 ；
（2）证明过程见解析.
【解析】
【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；
（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可.
【小问1详解】
当 时， ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以函数的单调递增区间为 、 ，递减区间为 ；
【小问2详解】
，
因为函数 恰有两个极值点，所以方程 有两个不相等的实根，
设为 且 ，因为函数 当 时图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 分别是函数的极大值点和极小值点，
即 ， ，
于是有 ，因为 ，所以 ，
所以 ，而 ，
所以设 ， ，
，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数有最小值，即 ，
因此有 ，即 .
【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键.
21. 已知椭圆 经过点 ，其右焦点为 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）若点 在椭圆 上，右顶点为 ，且满足直线 与 的斜率之积为 .求 面积的最大
值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，从而可求出 ，进而可求出离心率，（2）设 ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关
系，再由 可得 或 ，可得直线 经过定点 ，然后表示出 面积，
求其最大值即可.
【小问1详解】
依题可得， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
所以离心率 .
【小问2详解】
易知直线 与 的斜率同号，所以直线 不垂直于 轴，
故可设 ，
由 可得， ，
所以 ，
，而 ，即 ，
化简可得 ，
，化简得 ，
所以 或 ，
所以直线 或 ，
因为直线 不经过点 ，
所以直线 经过定点 .
设定点
，
因为 ，所以 ，
设 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号，即 面积的最大值为 .
22. 已知函数 （ 为自然对数的底数）， .
（1）若 有两个零点，求实数 的取值范围；（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.
（2）先利用参数放缩转变成 恒成立，再通过参变分离转化成
最小值问题.
【小问1详解】
有两个零点，
关于 的方程 有两个相异实根，
，
有两个零点即 有两个相异实根.
令 ，
则 ，
得 ， 得
在 单调递增，在 单调递减，，
又
当 时， ，当 时， ，当 时，
有两个零点时，实数 的取值范围为 ；
【小问2详解】
，所以
原命题等价于 对一切 恒成立，
对一切 恒成立，
令 ，
令 ，
则
在 上单增，
又 ，
使 ，即 ①，当 时， ，即 在 递减
当 时， ，即 在 递增，
由①知 ，
，
函数 在 单调递增，
即
实数 的取值范围为 .
【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.
(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君
