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一次函数与几何、代数综合专项练习（提升）（20题）
一．选择题（共6小题）
1．如图，一次函数y＝﹣ x+3的图象上有两点A、B，A点的横坐标为3，B点的横坐标为
a（0＜a＜6且a≠3），过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD
的面积分别为S ，S ，则S ，S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S ＞S B．S ＝S C．S ＜S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【分析】△AOC的面积S 已知，△BOD的面积S 可由关于a的函数表示，求出S 的取
1 2 2
值范围，跟S 比较即可．
1
【解答】解：把x＝3代入y＝﹣ x+3，
得y＝﹣ ×3+3＝ ，
即A（3， ），
则S ＝ × ×3＝ ，
1
S ＝ a×（﹣ a+3）＝﹣ （a﹣3）2+ ，
2
又0＜a＜6且a≠3，
所以S ＜ ＝S ，即S ＞S ，
2 1 1 2
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣ x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C
（0，n）是线段BO上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴上，则点C
的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0， ） C．（0， ） D．（0， ）
【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），
得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝
8，则DB＝10﹣8＝2，BC＝6﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方
程求出n即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y＝﹣ x+6，
当x＝0，得y＝6；当y＝0，x＝8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，
∴AB＝10，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝6﹣n，
∴DA＝OA＝8，
∴DB＝10﹣8＝2，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，
∴n2+22＝（6﹣n）2，解得n＝ ，
∴点C的坐标为（0， ）．
故选：C．3．如图，直线y＝ 与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点
M从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当移动到△COM与△AOB全等
时，移动的时间t是（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【分析】由直线AB的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标；根据题意可
知，OA＝OC＝4，则△COM≌△AOB，所以OM＝OB，则t时间内移动了AM，可算出
t值．
【解答】解：对于直线AB：y＝ ，
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4，
∴A（4，0），B（0，2），
∴OA＝OC＝4，
∴必有△COM≌△AOB，分为两种情况：
①当M在OA上时，OB＝OM＝2，
∴AM＝OA﹣OM＝4﹣2＝2，
∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒
钟；
M（2，0），
②当M在AO的延长线上时，OM＝OB＝2，
则M（﹣2，0），此时所需要的时间t＝[4﹣（﹣2）]÷1＝6秒，
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在
线段OB上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（
）
A．（0，﹣ ） B．（0， ） C．（0，3） D．（0，4）
【分析】设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，
0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO
＝n，DA＝OA＝4，则DB＝5﹣4＝1，BC＝3﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n
的方程，解方程求出n即可．【解答】解：设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y＝﹣ x+3，
当x＝0，得y＝3；
当y＝0，x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝3﹣n，
∴DA＝OA＝4，
∴DB＝5﹣4＝1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，
∴n2+12＝（3﹣n）2，解得n＝ ，
∴点C的坐标为（0， ）．
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣ x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C
（0，n）是线段BO上一点，将△ACB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，
则点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0， ） C．（0， ） D．（0， ）【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），
得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝
8，则DB＝10﹣8＝2，BC＝6﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方
程求出n即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y＝﹣ x+6，
当x＝0，得y＝6；当y＝0，x＝8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，
∴AB＝10，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴负半轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝6﹣n，
∴DA＝OA＝8，
∴DB＝10﹣8＝2，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，
∴n2+22＝（6﹣n）2，解得n＝ ，
∴点C的坐标为（0， ）．
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，点A
1
，A
2
，A
3
，⋯和B
1
，B
2
，B
3
，⋯分别在直线y＝kx+b和x轴
上．△OA
1
B
1
，△B
1
A
2
B
2
，△B
2
A
3
B
3
，⋯都是等腰直角三角形，如果 A
1
（1，1），A
2
，那么点A 的纵坐标是（ ）
2019A．（ ）2018 B． C． D．
【分析】先求出直线y＝kx+b的解析式，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线
与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等
腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用勾股定理依次求出三
角形的斜边上的高线，即可得到A 的坐标，进而得出各点的坐标的规律．
3
【解答】解：∵A （1，1），A 在直线y＝kx+b上，
1 2
∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝ x+ ；
设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x＝0时，y＝ ，
当y＝0时， x+ ＝0，解得x＝﹣4，
∴点M、N的坐标分别为M（0， ），N（﹣4，0），
作A C ⊥x轴与点C ，A C ⊥x轴与点C ，A C ⊥x轴与点C ，
1 1 1 2 2 2 3 3 3
∵A （1，1），A ，
1 2
∴OB ＝OB +B B ＝2×1+2× ＝2+3＝5，
2 1 1 2
∵△B A B 是等腰直角三角形，
2 3 3
∴A C ＝B C ，
3 3 2 3
设A C ＝B C ＝m，
3 3 2 3
∴A （m+5，m）
3
∵点A 在直线y＝ x+ 上，
3
∴ （m+5）+ ＝m，解得m＝ ．
∴A C ＝ ＝（ ）2，
3 3∴A C ＝B C ＝ ，
3 3 2 3
∴OC ＝5+ ＝ ，
3
∴A （ ， ），
3
同理可求，第四个等腰直角三角形A C ＝ ＝（ ）3，
4 4
依此类推，点A 的纵坐标是（ ）n﹣1．
n
∴A 的坐标是（ ）2018，
2019
故选：A．
二．填空题（共3小题）
7．一次函数y＝﹣ x+2的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0
＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积
分别为S 、S ，则S 、S 的大小关系是 S ＞ S ．
1 2 1 2 1 2
【分析】△AOC的面积S 已知，△BOD的面积S 可由关于a的函数表示，求出S 的取
1 2 2
值范围，跟S 比较即可．
1
【解答】解：把x＝2代入y＝﹣ x+2，
得y＝﹣ ×2+2＝1，
即A（2，1），则S ＝ ×2×1＝1，
1
S ＝ a×（﹣ a+2）＝﹣ （a﹣2）2+1，
2
又0＜a＜4且a≠2，
所以S ＜1＝S ，即S ＞S ，
2 1 1 2
故答案为S ＞S ．
1 2
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是线
段AB上一动点（不与点A，B重合），过点C作直线CD⊥y轴于点D，若M为射线
DC上一动点，则在平面直角坐标系中存在点 N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形
是正方形，则M点坐标为 （ 3 ， 1 ）或（ ， ） ．
【分析】在平面直角坐标系中存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是正方形，
此时△ABM是直角三角形，先求出A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，2），①当A
是直角顶点，如图1，过点M作MH⊥x轴于点H，先证明△BAO≌△AMH，易得点M
坐标为（3，1）．
【解答】解：在平面直角坐标系中存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是正
方形，
此时△ABM是直角三角形，
∵直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，2），
①当A是直角顶点，如图1，
过点M作MH⊥x轴于点H，
∵∠ABO+∠BAO＝∠MAH+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠MAH，
∵∠BOA＝∠AMH＝90°，
BA＝AM，
∴△BAO≌△AMH（AAS），
∴OB＝AH＝2，OA＝HM＝1，
∴点M坐标为（3，1）；
②当点M是直角顶点，如图2，
但此时点M不在射线DC上，故不合题意；
③当点B为直角顶点时，过点M作MH⊥OA于H，∴∠DMH＝∠BMA＝90°，
∴∠BMD＝∠AMH，
又∵BM＝AM，∠BDM＝∠AHM＝90°，
∴△BDM≌△AHM（AAS），
∴BD＝AH，DM＝MH＝OH＝OD，
∵DO+BD＝2，OH﹣AH＝1，
∴OD＝ ，
则点M（ ， ），
故答案为：（3，1）或（ ， ）．9．如图，长方形ABCD中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正
半轴上，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上
的点G处，CF所在的直线方程为 ，则折痕EF的长为 2 ．
【分析】由直线方程可得OF和CO的长，利用点E是AD的中点及长方形的性质可得
AE和DE的长；连接CE，由翻折可知△AEF≌△GEF，易证Rt△CDE≌Rt△CGE，则
CD＝CG，设AF的长为m，则FG＝m，CD＝CG＝m+ ，在Rt△OCF中，利用勾股
定理建等式，求出m的值，再利用勾股定理求出EF的长即可．
【解答】解：如图，连接CE，
∵直线 与x轴交于点C，与y轴交于点F，
∴C（12，0），F（0， ），
∴OC＝12，OF＝ ，
在长方形AOCD中，AD＝OC＝12，OA＝CD，∠A＝∠D＝90°，∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝6，
由折叠可知，AE＝EG，AF＝FG，∠A＝∠EGF＝90°，
∴∠D＝∠EGC＝90°，AE＝EG＝DE，
∵CE＝CE，
∴Rt△CDE≌Rt△CGE（HL），
∴CD＝CG，
设AF的长为m，则FG＝m，CD＝OA＝CG＝m+ ，
∴CF＝FG+CG＝2m+ ，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，OF2+OC2＝CF2，
∴ 2+122＝（2m+ ）2，解得m＝2 （负值舍去），
在Rt△AEF中，由勾股定理可得，EF＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
三．解答题（共11小题）
10．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，0），B（0，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）在x轴上存在一点C，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请求出点C的坐
标；
（3）对于任意x的值，若函数y＝﹣2x+n与y＝kx+b（k≠0）的值中至少有一个大于
0，求n的取值范围．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，求解
即可；
（2）以AB为底边，则作线段AB的垂直平分线，交x轴于一点C，点C即为所求，再
根据勾股定理求解即可；
（3）根据（1）中所求表达式可知，当x＞﹣2时，y＝ x+1＞0，则当x≤﹣2时，y＝
﹣2x+n必然大于0，以此求n的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣2，0），B（0，
1）．
∴ ，解得 ，
∴该一次函数的表达式为：y＝ x+1；
（2）如图1，作线段AB的垂直平分线，与x轴交于点C，连接BC，则AC＝BC，设点C的坐标为（a，0），显然a＜0，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴AC＝BC＝2+a，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
由勾股定理可得，OB2+OC2＝BC2，
∴12+a2＝（2+a）2，解得a＝﹣ ，
∴点C（﹣ ，0）．
（3）由（1）知，y＝ x+1，
令y＝ x+1＞0，则x＞﹣2，
∴当x＞﹣2时，y＝ x+1＞0；
若对于任意x的值，若函数y＝﹣2x+n与y＝kx+b（k≠0）的值中至少有一个大于0，
则当x≤﹣2时，y＝﹣2x+n必然大于0，
∴﹣2×（﹣2）+n≥4+n＞0，
解得n＞﹣4．
∴n的取值范围为：n＞﹣4．
11．如图1，在平面直角坐标系 xOy中，点O为坐标原点，直线 AB： 与直线
AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和点C（2，0）．
（1）求直线AB和AC的函数表达式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标；
（3）点M为直线AC上一动点，当△ABM是等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐
标．【分析】（1）将点B（﹣3，0）代入 ，可求k的值；将点C（2，0）代入y＝
﹣2x+b，可求b的值；
（2）求出A（1，2），作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点
P即为所求；
（3）先判断△ABC是直角三角形，设M（t，﹣2t+4），再由AM＝AB＝2 ，结合勾
股定理（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20，即可求t的值．
【解答】解：（1）把B（﹣3，0）代入 ，
得 ，
∴AB的表达式 ；
把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，
得b＝4，
∴AC的表达式y＝﹣2x+4；
（2）联立 ，
解得 ，
∴A（1，2），
作点C 关于y轴的对称点C′，连接AC′，交y轴于点P，点P即为所求，
∵CP＝C'P，
∴CP+AP＝C'P+AP≥AC'，
∴当C'、P、A三点共线时，CP+AP最小，
∵C（2，0），
∴C'（﹣2，0），
∵A（1，2），C′（﹣2，0），设直线AC'的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当x＝0时， ，
∴P（0， ）；
（3）∵A（1，2），B（﹣3，0），C（2，0），
∴AC＝ ，AB＝2 ，BC＝5，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
设M（t，﹣2t+4），
∵△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝2 ，
∴（t﹣1）2+（2+2t﹣4）2＝20，
∴t＝3或t＝﹣1，
∴M（﹣1，6）或（3，﹣2）．
12．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，
2）．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．（3）点M是y轴上的一个动点，当点M运动到y轴的负半轴时，在y轴的负半轴是否
存在以AB为直角边的直角三角形△ABM？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，
说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）求出C点坐标，再由三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况讨论，当点A为直角顶点时，当点B为直角顶点时，分别求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得： ，
解得： ．
则直线的解析式是：y＝﹣x+6．
（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，
解得：y＝6，
∴ ．
（3）存在，理由如下：
①若∠BAM＝90°，过点A作AM ⊥AB交y轴于M ，过点A作AD⊥y轴于D，
1 1
则D（0，2），OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，△CAM 也是等腰直角三角形，
1
∴DM ＝CD＝6﹣2＝4，
1
∴OM ＝2，
1
∴M （0，﹣2）．
1
②若∠ABM＝90°，过点B作BM ⊥AB交y轴与M ，同样求得M （0，﹣6），
2 2 2
综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．13．如图，在平面直角坐标系内，直线l ：y＝x+4分别交x轴、y轴于点A，B，直线l ：y
1 2
＝﹣3x与直线l 交于点C，P为y轴上一动点．
1
（1）点A坐标 （﹣ 4 ， 0 ） ，点B坐标 B （ 0 ， 4 ） ；
（2）求点C的坐标；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求出这个最小值．
【分析】（1）根据直线l ：y＝x+4分别交x轴、y轴于点A，B，把y＝0，x＝0分别代
1
入y＝x+4即可求解；
（2）联立两直线解析式组成方程组，解得即可得出结论；
（3）先确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法
求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）在y＝x+4中，当y＝0时，x＝﹣4，当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
故答案为：（﹣4，0），（0，4）；
（2）联立直线l ，l 的表达式，得 ，解得 ．
1 2
所以点C的坐标为（﹣1，3）；
（3）作点A（﹣4，0）关于y轴的对称点A′（4，0），连接CA′交y轴于点P，此时
PC+PA最小，如图：设直线A′C的表达式为y＝kx+b（k≠0）把A′（4，0），C（﹣1，3）代入得，
，解得 ，
所以直线A′C的表达式为y＝﹣ x+ ．
当x＝0时， 所以点P的坐标为（0， ），
此时PA+PC＝A′C．
过点C作CH⊥x轴于点H．
∵点C的坐标为（﹣1，3），A′（4，0），
∴CH＝3，HA′＝5，
所以A′C＝ ＝ ＝ ．
所以当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0， ），这个最小值为 ．
14．如图，已知直线y＝﹣ x+4分别与x，y轴交于点A、B，与直线y＝kx相交于点C
（2，n），点P为直线y＝﹣ x+4上一点．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）若点P在射线CA上，且S△POC ＝2S△AOC ，求点P的坐标．
（3）若△POC的面积为1，求点P的坐标．
（4）点Q在函数y＝|﹣ x+4|的图象上，若△QOC的面积为m（m为常数且m＞0），
试确定满足条件的点Q的个数（直接写出结果）．【分析】（1）把点C（2，n）代入解析式y＝﹣ x+4中，可直接求出n的值；再把点
C的坐标代入y＝kx中，即可求出k的值；
（2）先根据解析式y＝﹣ x+4可求出点A和点B的值，进而可求出△AOC的面积，则
可求出△POC的面积和△OAP的面积，过点P作x轴的垂线，表达△AOP的面积，建
立方程即可；
（3）先由条件可得△AOC的面积为2，则当点P在线段AC上时，点P是线段AC的中
点，再作点P关于直线OC对称点可求出符合题意的另一点；
（4）根据题意先画出图形，可知需要分三种情况，当m＞2，0＜m＜2，m＝2时，分别
作出图形说明即可．
【解答】解：（1）把点C（2，n）代入解析式y＝﹣ x+4中，得n＝﹣ ×2+4＝ ，
∴C（2， ），
把点C的坐标代入y＝kx中，则2k＝ ，解得k＝ ，
故答案为： ， ；
（2）∵直线y＝﹣ x+4分别与x，y轴交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
过点C作CM⊥x轴于点M，
∴OA＝3，CM＝ ，
∴S△AOC ＝ × ＝2，
∴S△POC ＝2S△AOC ＝2×2＝4，∵点P在射线CA上，
∴S△OAP ＝S△POC ﹣S△AOC ＝2，
过点P作PN⊥x轴于点N，
∴S△OAP ＝ ×3×PN＝2，
∴PN＝ ，
∴y＝﹣ ，
令y＝﹣ ，则﹣ x+4＝﹣ ，
解得x＝4，
∴P（4，﹣ ）；
（3）由（2）知，S△AOC ＝2，
∵S△POC ＝1，
∴当点P在线段AC上时，点P是线段AC的中点，即为P′
∵A（3，0），C（2， ），
∴P′（ ， ），
当点P在直线OC上方时，点C是P，P′的中点，
∴P（ ，2），
综上所述，点P的坐标为（ ， ）或（ ，2）；（4）函数y＝|﹣ x+4|的图象如图所示，
当点Q和点A重合时，S△QOC ＝S△AOC ＝2，即m＝2，
由图可知，当m＝2时，满足条件的点Q有3个，当m＞2时，满足条件的点有2个，当
0＜m＜2时，满足条件的点有4个．
15．如图1，直线l 与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
1
（1）直线l 的表达式为 y ＝﹣ x ﹣ 3 ；
1
（2）若直线l 上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求
1
点N的坐标；
（3）如图2，直线l ： 与直线l 交于点C，点D（0，3），直线l 上是否存在一
2 1 2
点G，使得 ？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y＝
x﹣ ，则可得出答案；（3）联立l ，l 的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，
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求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，
代入l 即可．
2
【解答】解：（1）由题意知：
A（﹣6，0，B（0，﹣3），
设直线l 的表达式为：y＝kx+b，
1
，
∴ ，
∴y＝﹣ x﹣3；
故答案为：y＝﹣ x﹣3；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，
∴AM+MN最小，
∴△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
∴直线CM的解析式为y＝ x﹣ ，
∴N（0，﹣ ）；
（3）如图2，由 得，
∴ ，
∴C（﹣3，﹣ ），
设直线CD的表达式是：y＝mx+n，
∴ ，解得 ，
∴y＝ x+3，
令y＝0，
∴ x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD ＝ AE•DF＝ ＝9，
∵S△CDG ＝ ，
∴S△CDG ＝ ×9＝6，
设G（x， x），
∴ OD•|x+3|＝6，即 ×3•|x+3|＝6，
∴x ＝1，x ＝﹣7，
1 2
∴G（1， ）或（﹣7，﹣ ）．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝k x+b（k ≠0）经过点A（4，0），B（0，
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2），与直线l ：y＝k x（k ≠0）交于点P（a，1）．
2 2 2
（1）求直线l 的表达式；
2
（2）当x＝m时，有k m+b＞k m，则m的取值范围为 m ＜ 2 ．
1 2
（3）C为直线l 上一点，且△ABC的面积为3，求此时点C的坐标．
2
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线l 的表达式，将点P（a，1）代入直线l ，求
1 1
出a的值，将点P的坐标代入y＝k x即可求解；
2
（2）由图象及点P的坐标即可求解；
（3）设点C（t， t），分两种情况，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵直线l ：y＝k x+b（k ≠0）经过点A（4，0），B（0，2），
1 1 1
∴ ，
∴ ，
∴直线l 的解析式为y＝﹣ x+2，
1
∵直线l 与直线l ：y＝k x（k ≠0）交于点P（a，1）．
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当y＝1时，x＝2，
∴a＝2，
∴点P（2，1），
∴1＝2k ，
2
∴k ＝ ，
2∴直线l 的解析式为y＝ x；
2
（2）∵当x＝m时，有k m+b＞k m，线l 与直线l ：y＝k x（k ≠0）交于点P（2，
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1），
由图象得：m＜2，
故答案为：m＜2；
（3）设点C的坐标为C（t， t），
∵点A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
①t＞2时，点C在AB上方时，如图：S△ABC ＝S△OBC +S△OAC ﹣S△OAB ＝3，
∴ ×2t+ ×4×（ t）﹣ ×4×2＝3，
解得：t＝ ，
∴点C的坐标为（ ， ）；
②t＜2时，点C在AB下方时，如图：S△ABC ＝S△OAB ﹣S△OBC ﹣S△OAC ＝3，
∴ ×4×2﹣ ×2t﹣ ×4×（ t）＝3，
解得：t＝ ，∴点C的坐标为（ ， ）；
综上，点C的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
17．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，
2），直线AB与y轴的交点为C，动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB对应的函数表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的 ？若存在，求出此时点M
的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）求出C点坐标，再由三角形面积公式求解即可；
（3）由面积求出M点横坐标为±1，再分两种情况确定M点坐标：当M点在线段OA上，
当M点在射线AC上时．
【解答】解：（1）设AB的直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x+6；
（2）令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵点A（4，2），
∴点A到OC的距离为4
∴S△OAC ＝ ×6×4＝12；
（3）存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的 ，理由如下：
设直线OA的解析式为y＝kx，∴4k＝2，
∴k＝ ，
∴y＝ x，
∵△OMC的面积是△OAC的面积的 ，
∴S△OMC ＝12× ＝3，
设M点的横坐标为x，
∴ ×6×|x|＝3，
∴|x|＝1，
∴x＝±1，
当M点在线段OA上时，M（1， ）；
当M点在射线AC上时，M（1，5）或M（﹣1，7）；
综上所述：M点坐标为（1， ）或（1，5）或（﹣1，7）．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B，已知点
A（0，2），点B（6，0），直线经过点C（3，n）．
（1）请计算△AOC的面积．
（2）求直线的解析式．
（3）若在x轴上有一动点P（m，0），当线段AP+PC的长度最小时，求此时点P的坐
标．
【分析】（1）由点A（0，2）得OA＝2，由点C（3，n）得△AOC的边OA上的高为
3，利用三角形的面积公式即可得△AOC的面积；
（2）利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，则点A′的坐标（0，﹣2），连接A′C与x轴交
于点P，根据轴对称﹣最短路径问题得：此时，线段AP+PC的长度最小，由直线经过
点C（3，n）得点C（3，1），利用待定系数法可求得直线A′C的解析式，根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A（0，2），点C（3，n）．
∴OA＝2，△AOC的边OA上的高为3，
∴S△AOC ＝ ×2×3＝3；
（2）∵直线y＝kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A（0，2），点B（6，0），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+2；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C与x轴交于点P，此时，线段AP+PC的
长度最小，
∵A（0，2），
∴点A′的坐标（0，﹣2），
∵直线经过点C（3，n）．
∴n＝﹣ ×3+2＝1，
∴点C（3，1），
设直线A′C的解析式为y＝mx+n，
则 ，
解得 ，
∴直线A′C的解析式为y＝x﹣2，
点P在x轴上，当y＝0时，x＝2，∴点P的坐标为（2，0）．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与
直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．
【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，得 ，解方程组即可求解；
（2）分PC＝PO、PC＝OC、PO＝OC分别求解即可．
【解答】解：（1）联立两直线解析式成方程组，得 ，
解得： ，
∴点C的坐标为（4，4）；
（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；
PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；
当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；
当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；
当PO＝OC时，同理可得：m＝±4 ；
故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4 ，0）或（﹣4 ，0）．
20．如图，在直角坐标系中，A（1，4），B（1，1），C（5，1），点D是x轴上的动点．
（1）四边形ABDC的面积是 8 ；
（2）当直线AD平分△ABC的面积时，求此时直线的表达式；
（3）当△ACD的面积是10时，直接写出点D的坐标．【分析】（1）过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，则四边形 ABDC 的面积＝△ABC 的面积
+△BDC的面积，根据三角形面积公式求解即可；
（2）当直线AD过边BC的中点F时，直线AD平分△ABC的面积，求出点F的坐标，
将点A和点F的坐标代入求解即可；
（3）延长AC交x轴于点G，则△ACD的面积＝△ADG的面积﹣△CDG的面积，设出
点D的坐标，表达面积，建立方程，求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵A（1，4），B（1，1），C（5，1），
∴AB＝3，BC＝4，且AB⊥BC，DE＝1，
∴△ABC的面积＝ ×3×4＝6，△BDC的面积＝ ×4×1＝2，
∴四边形ABDC的面积＝△ABC的面积+△BDC的面积＝8．故答案为：8．
（2）当直线AD过边BC的中点F时，直线AD平分△ABC的面积，
∵B（1，1），C（5，1），
∴F（3，1），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AF的解析式为y＝﹣ x+ ．
（3）如图，延长AC交x轴于点G，
设直线AC的解析式为：y＝mx+n，∵A（1，4），C（5，1），
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣ x+ ．
令y＝0，则x＝ ．
∴G（ ，0），
设点D的坐标为（t，0），
则DG＝|t﹣ |，
∴△ADG的面积为 ×4×|t﹣ |＝2|t﹣ |，
△DCG的面积为： ×1×|t﹣ |＝ |t﹣ |，
∴△ACD的面积＝△ADG的面积﹣△CDG的面积＝ |t﹣ |＝10，
解得t＝13或t＝﹣ ．
∴点D的坐标为（13，0）或（﹣ ，0）．
