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专题 03 二次根式的加法与减法
（九大题型）
【题型1 同类二次根式】......................................................................................................1
【题型2 二次根式的加减运算】..........................................................................................3
【题型3 二次根式的混合运算】..........................................................................................7
【题型4 分母有理化】........................................................................................................12
【题型5 已知字母的值，化简求值】..................................................................................14
【题型6 已知条件式，化简求值】.....................................................................................16
【题型7 比较二次根式的大小】.........................................................................................17
【题型8 二次根式的应用】.................................................................................................20
【题型9 复合二次根式的化简】..........................................................................................23
【题型1 同类二次根式】
1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
√3
A．❑√2与❑√12 B．❑ 与❑√3 C．❑√4与❑√8 D．❑√6与❑√3
4
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、❑√12=❑√4×3=2❑√3，❑√12与❑√2不是同类二次根式，故该选项不合题
意；
√3 ❑√3 √3
B、❑ = ，❑ 与❑√3是同类二次根式，故该选项符合题意；
4 2 4
C、❑√4=2，❑√8=❑√4×2=2❑√2，❑√4与❑√8不是同类二次根式，故该选项不合题意；
D、❑√6与❑√3不是同类二次根式，故该选项不合题意．
故选：B．
❑√2
2．下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
2√1
A．❑√12 B．❑√18 C．❑√9 D．❑
3
【答案】B
❑√2
【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与 是同类二次根式的选项，
2
即化简后被开方数均为2的二次根式即可．
【详解】解：A、❑√12=❑√4×3=2❑√3，被开方数为3，故A不符合题意；
B、❑√18=❑√9×2=3❑√2，被开方数为2，故B符合题意；
C、❑√9=3，是整式，不是二次根式，故C不符合题意；
√1 ❑√1 1 ❑√3
D、❑ = = = ，被开方数为3，故D不符合题意．
3 ❑√3 ❑√3 3
故选：B.
3．下列各式与❑√8可以合并的是（ ）
A．❑√12 B．❑√24 C．❑√50 D．❑√75
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同
类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的
数相同，先将❑√8化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可．
【详解】解：∵❑√8=2❑√2，
∴选项A：❑√12=2❑√3，
选项B：❑√24=2❑√6，
选项C：❑√50=5❑√2，
选项D：❑√75=5❑√3，
∴只有选项C化简后根号内为2，与❑√8化简后的被开方数相同，可以合并；
故选C．
4．若最简二次根式❑√m−1与❑√8可以合并，则❑√2m−1的值是（ ）
A．❑√5 B．❑√2 C．❑√7 D．❑√3
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键．
两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将❑√8化为
最简形式，得到2❑√2，从而确定被开方数为2．【详解】∵❑√8=❑√4×2=2❑√2 ，且❑√m−1与❑√8可以合并，
∴ ❑√m−1与2❑√2是同类二次根式，
∴ m−1=2，
∴m=3，
∴ ❑√2×3−1=❑√6−1=❑√5，
故选：A．
5．已知最简二次根式❑√3a−4与另一个二次根式合并后的结果为❑√20，则a的值为
．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类
二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解．
先将❑√20化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知❑√3a−4与❑√20的最简
形式是同类二次根式，进而建立等式求解a．
【详解】解：❑√20=2❑√5．
∵最简二次根式❑√3a−4能与另一个二次根式合并得到2❑√5，
∴❑√3a−4是❑√5的同类二次根式，且❑√3a−4是最简二次根式，因此有：
3a−4=5
3a=9
a=3．
故答案为：3．
【题型2 二次根式的加减运算】
1．计算：3❑√2+❑√3−(5❑√2−2❑√3)
【答案】−2❑√2+3❑√3
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
先去括号，然后合并同类二次根式，即可得出答案．
【详解】解：原式=3❑√2+❑√3−5❑√2+2❑√3=−2❑√2+3❑√3．
2．计算：
√3
(1)❑√12−4❑ +❑√18．
4
(2)❑√8+2❑√3−(❑√27−❑√2)．(3)❑√50+❑√45−❑√18+4❑√2．
(4)❑√12+❑√24+❑√36+❑√48．
【答案】(1)3❑√2
(2)3❑√2−❑√3
(3)6❑√2+3❑√5
(4)6❑√3+2❑√6+6
【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式；
（3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式；
（4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式．
❑√3
【详解】（1）解：原式=2❑√3−4× +3❑√2
2
=2❑√3−2❑√3+3❑√2
=3❑√2．
（2）解：原式=2❑√2+2❑√3−3❑√3+❑√2
=(2❑√2+❑√2)+(2❑√3−3❑√3)
=3❑√2−❑√3．
（3）解：原式=5❑√2+3❑√5−3❑√2+4❑√2
=(5❑√2−3❑√2+4❑√2)+3❑√5
=6❑√2+3❑√5．
（4）解：原式=2❑√3+2❑√6+6+4❑√3
=(2❑√3+4❑√3)+2❑√6+6
=6❑√3+2❑√6+6．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再
准确合并同类二次根式．
3．计算下列各式：
(1)2❑√3−3❑√12+5❑√27；
( √ 1 )
(2)❑√8+❑√0.5− ❑√0.2−❑ ．
32【答案】(1)11❑√3
105❑√2−8❑√5
(2)
40
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答．
（2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答．
【详解】（1）解：2❑√3−3❑√12+5❑√27
=2❑√3−3×2❑√3+5×3❑√3
=2❑√3−6❑√3+15❑√3
=11❑√3；
( √ 1 )
（2）解： ❑√8+❑√0.5− ❑√0.2−❑
32
❑√2 (❑√5 ❑√2)
=2❑√2+ − −
2 5 8
❑√2 ❑√5 ❑√2
=2❑√2+ − +
2 5 8
21❑√2 ❑√5
= −
8 5
105❑√2−8❑√5
= ．
40
4.计算下列各式：
(1)❑√48+2❑√3−❑√75；
1 √3 √1
(2) ❑√3+❑ −6❑ ；
2 4 3
(3)2❑√8−5❑√32−3❑√5；
√ 1
(4)❑√40−2❑ +❑√90．
10
【答案】(1)❑√3
(2)−❑√3
(3)−16❑√2−3❑√5
24❑√10
(4)
5【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的
关键．
（1）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
（2）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
（3）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
（4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算．
【详解】（1）解：❑√48+2❑√3−❑√75
=4❑√3+2❑√3−5❑√3
=❑√3．
1 √3 √1
（2）解： ❑√3+❑ −6❑
2 4 3
1 1
= ❑√3+ ❑√3−2❑√3
2 2
=−❑√3．
（3）解：2❑√8−5❑√32−3❑√5
=4❑√2−20❑√2−3❑√5
=−16❑√2−3❑√5．
√ 1
（4）解：❑√40−2❑ +❑√90
10
❑√10
=2❑√10−2× +3❑√10
10
❑√10
=2❑√10− +3❑√10
5
24❑√10
= ．
5
5．计算：
(1)❑√3−4❑√3+❑√27．
( √2) (√1 )
(2) ❑√24−❑√0.5+2❑ − ❑ −❑√6 ．
3 8
√1 (1 )
(3)|2❑√2−3)+6❑ − ❑√32+3 ．
2 2
【答案】(1)011 3
(2) ❑√6− ❑√2
3 4
(3)−❑√2
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握先将二次根式化为最简形式，再合并
同类二次根式是解题的关键．
（1）先将27化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）把所有二次根式化为最简形式，去括号后合并同类二次根式；
（3）先化简绝对值，再将二次根式化为最简，去括号后合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式=❑√3−4❑√3+3❑√3
=0．
1 2 1
（2）解：原式=2❑√6− ❑√2+ ❑√6− ❑√2+❑√6
2 3 4
11 3
= ❑√6− ❑√2．
3 4
（3）解：原式=3−2❑√2+3❑√2−2❑√2−3
=−❑√2．
6．计算：
(1)❑√3(❑√8−❑√12)；
(2)√38+|−❑√3)+(❑√3−1) 2．
【答案】(1)2❑√6−6
(2)6−❑√3
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，
对于（1），根据乘法分配律，二次根式的乘法法则计算；
对于（2），根据√38=2,|−❑√3)=❑√3，再根据完全平方公式计算，然后根据二次根式
的加减法计算即可．
【详解】（1）解：❑√3×(❑√8−❑√12) =❑√24−❑√36 =2❑√6−6；
（2）解：√38+|−❑√3)+(❑√3−1) 2
=2+❑√3+(❑√3) 2 −2❑√3+1=2+❑√3+3−2❑√3+1
=6−❑√3．
【题型3 二次根式的混合运算】
1．计算：(❑√3−1) 2 −❑√5×❑
√24
÷
❑√18
5 ❑√3
【答案】2−2❑√3
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题
的关键．
首先计算完全平方公式和二次根式的乘除，然后合并即可．
【详解】解得：(❑√3−1) 2 −❑√5×❑
√24
÷
❑√18
5 ❑√3
=3−2❑√3+1−❑√24÷❑√6
=3−2❑√3+1−❑√4
=3−2❑√3+1−2
=2−2❑√3．
√1
2．计算：❑√18÷❑√6−❑√12+❑√24×❑ ．
6
【答案】2−❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的性质化简，然后计算加减即可．
√1
【详解】解：❑√18÷❑√6−❑√12+❑√24×❑
6
√ 1
=❑√18÷6−❑√12+❑24×
6
=❑√3−❑√12+❑√4
=❑√3−2❑√3+2
=2−❑√3．
3．计算：
(1)(❑√8−❑√3)×❑√12(2)(❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2)−(❑√6) 2
【答案】(1)4❑√6−6
(2)−5
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先计算乘法，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：(❑√8−❑√3)×❑√12
=❑√96−❑√36
=4❑√6−6
（2）解：(❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2)−(❑√6) 2
=3−2−6
=−5
4．计算：
(1)(3❑√2+❑√5) 2 −(❑√5+❑√11)(❑√11−❑√5)；
√1
(2)❑√27−❑ ×❑√6+❑√45÷❑√5．
2
【答案】(1)17−6❑√10
(2)2❑√3+3
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可．
【详解】（1）解：(3❑√2+❑√5) 2 −(❑√5+❑√11)(❑√11−❑√5)
=18+6❑√10+5−[(❑√11) 2 −(❑√5) 2)
=23+6❑√10−(11−5)
=23+6❑√10−6
=17+6❑√10；
√1
（2）解：❑√27−❑ ×❑√6+❑√45÷❑√5
2√1
=3❑√3−❑ ×6+❑√45÷5
2
=3❑√3−❑√3+❑√9
=2❑√3+3．
5．计算：
√3
(1)❑√12×❑ −❑√10÷❑√5+❑√8
2
(2)(❑√5−❑√3)(❑√5+❑√3)−(❑√2−1) 2
【答案】(1)4❑√2
(2)2❑√2−1
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算.
（1）先计算二次根式的乘除运算，再计算加减运算即可.
（2）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可.
√3
【详解】（1）解：❑√12×❑ −❑√10÷❑√5+❑√8
2
=❑√18−❑√2+❑√8
=3❑√2−❑√2+2❑√2
=4❑√2.
（2）解：(❑√5−❑√3)(❑√5+❑√3)−(❑√2−1) 2
=5−3−(2+1−2❑√2)
=2−3+2❑√2
=2❑√2−1.
6．计算：
√1
(1)❑√8−4❑ +❑√2；
2
(2)(❑√7+❑√3) 2 −(❑√7+❑√3)(❑√7−❑√3)．
【答案】(1)❑√2
(2)6+2❑√21
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得；（2）先利用乘法公式计算，再计算加减法即可得．
❑√2
【详解】（1）解：原式=2❑√2−4× +❑√2
2
=2❑√2−2❑√2+❑√2
=❑√2．
（2）解：原式=7+2❑√21+3−(7−3)
=10+2❑√21−4
=6+2❑√21．
1 1
7．已知X= ；Y = ，求：X+Y的值
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【答案】2❑√3
【分析】本题主要考查二次根式混合运算，分母有理数化，根据二次根式的运算法则
计算即可．
1 1
【详解】解：X+Y = +
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
= +
(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
❑√3−❑√2+❑√3+❑√2
=
(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
2❑√3
=
(❑√3) 2 −(❑√2) 2
2❑√3
=
3−2
=2❑√3．
6 6
8．已知x= ,y= ．
❑√7−1 ❑√7+1
1 1
(1)计算x+ y=________；xy=________； + =________．
x y
(2)求x2−4xy+ y2的值．
❑√7
【答案】(1)2❑√7;6;
3
(2)−8【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的
关键．
（1）先分母有理化可得x=❑√7+1，y=❑√7−1，再代入计算即可求解；
（2）由（1）得：x+ y=2❑√7，xy=6，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即
可求解．
6 6(❑√7+1)
【详解】（1）解：∵x= = =❑√7+1，
❑√7−1 7−1
6 6(❑√7−1)
y= = =❑√7−1，
❑√7+1 7−1
∴x+ y=❑√7+1+❑√7−1=2❑√7，
xy=(❑√7+1)×(❑√7−1)=7−1=6，
1 1 ❑√7−1 ❑√7+1 2❑√7 ❑√7
+ = + = = ，
x y 6 6 6 3
❑√7
故答案为：2❑√7，6， ；
3
（2）解：由（1）得：x+ y=2❑√7，xy=6，
∴x2−4xy+ y2=(x+ y) 2−6xy=(2❑√7) 2 −6×6=28−36=−8．
【题型4 分母有理化】
1 1×(❑√5−❑√4) ❑√5−❑√4
1．阅读下列解题过程： = = =❑√5−❑√4，
❑√5+❑√4 (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4) (❑√5) 2 −(❑√4) 2
1 1×(❑√6−❑√5) ❑√6−❑√5
= = =❑√6−❑√5，请回答下列问题：
❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5) (❑√6) 2 −(❑√5) 2
1
(1)观察上面的解答过程，请写出 = _____；
❑√n+1+❑√n
(2)利用上面的解法，请化简：
1 1 1 1 1
+ + +……+ +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【答案】(1)❑√n+1−❑√n(2)9
【分析】本题考查了分母有理化的规律，熟练掌握根式的分母有理化的化简方法是解
题的关键．
（1）观察解题过程，发现分母有理化的规律，进行化简求解即可；
（2）仿照题干中的解题过程得到的规律化简序列，再将每个分数按照规律化简计算即
可．
【详解】（1）解：根据题意得，根据分母有理化的方法，分子、分母同时乘以
❑√n+1−❑√n得：
1 ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n
= = =❑√n+1−❑√n，
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n) (❑√n+1) 2 −(❑√n) 2
故答案为：❑√n+1−❑√n；
1
（2）解：由（1）知，对于每个正整数k，都有 =❑√k+1−❑√k，
❑√k+1+❑√k
1 1 1 1 1
则 + + +……+ +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
=(❑√2−❑√1)+(❑√3−❑√2)+(❑√4−❑√3)+⋯+(❑√99−❑√98)+(❑√100−❑√99)
=❑√100−❑√1
=10−1
=9．
2．先阅读，再解答．由(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)=(❑√5) 2 −(❑√3) 2=2可以看出，两个含有二次
根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二
次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
1 ❑√3−❑√2
= =❑√3−❑√2，请完成下列问题：
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
3
(1)❑√2−1的有理化因式是______；化简 = ______；
3−❑√6
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋯+ = ______；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
(3)比较❑√2023−❑√2022与❑√2024−❑√2023的大小，并说明理由．【答案】(1)❑√2+1，3+❑√6
(2)9
(3)❑√2023−❑√2022>❑√2024−❑√2023，理由见解析
【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化
因式是解题的关键．
（1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可；
（2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可；
（3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可．
【详解】（1）解：(❑√2−1)(❑√2+1)=(❑√2) 2 −12=2−1=1，
则❑√2−1的有理化因式是❑√2+1，
3 3(3+❑√6) 3(3+❑√6) 3(3+❑√6)
= = = =3+❑√6，
3−❑√6 (3−❑√6)(3+❑√6) 9−6 3
故答案为：❑√2+1，3+❑√6；
1
（2）解：根据题意得：对于任意的正整数n，有 =❑√n+1−❑√n，
❑√n+1+❑√n
1 1 1 1
则 + + +⋯+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99
=(❑√2−❑√1)+(❑√3−❑√2)+(❑√4−❑√3)+⋯+(❑√100−❑√99)
=❑√100−1
=10−1
=9
故答案为：9；
（3）解：设a=❑√2023−❑√2022、b=❑√2024−❑√2023，
(❑√2023−❑√2022)(❑√2023+❑√2022) 1
则a=❑√2023−❑√2022= = ，
❑√2023+❑√2022 ❑√2023+❑√2022
(❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023) 1
b=❑√2024−❑√2023= = ，
❑√2024+❑√2023 ❑√2024+❑√2023
由于❑√2024+❑√2023>❑√2022+❑√2023，
1 1
则 > ，即a>b，
❑√2023+❑√2022 ❑√2024+❑√2023因此❑√2023−❑√2022>❑√2024−❑√2023．
【题型5 已知字母的值，化简求值】
√a √b
1．已知a+b=2，ab=1，则化简❑ +❑ 的值是（ ）
b a
A．1 B．❑√2 C．2 D．2❑√2
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
√a √b a+b
将表达式 ❑ +❑ 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值．
b a ❑√ab
【详解】解：由a+b=2，ab=1，可知a>0，b>0，
√a √b ❑√a ❑√b a+b
则❑ +❑ = + = ，
b a ❑√b ❑√a ❑√ab
又∵a+b=2，ab=1，
2
∴原式= =2．
❑√1
故选：C．
❑√3−1
2．已知：a= ，则−2a2+8a+2024的值为 ．
❑√3+1
【答案】
2026
【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并
灵活运用是解答的关键．
首先将 a 分母有理化，得到 a=2−❑√3，然后计算 (a−2) 2，展开得到a2−4a的值，再
代入表达式 −2a2+8a+2024，即可求解．
❑√3−1 (❑√3−1) 2 3−2❑√3+1 4−2❑√3
【详解】解：∵a= = = = =2−❑√3，
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12 2
∴a−2=−❑√3，
∴(a−2) 2=3，
∴a2−4a+4=3，∴a2−4a=−1，
∴−2a2+8a=2，
−2a2+8a+2024=2+2024=2026．
故答案为 ：2026．
3．设a=❑√7+❑√6，b=❑√7−❑√6，则a2025b2026的值是 ．
【答案】❑√7−❑√6
【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现a和b互为倒数，即a⋅b=1，从而
将原式化简为b．
【详解】解：由a=❑√7+❑√6，b=❑√7−❑√6，
计算a⋅b=(❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6)=7−6=1，
1
所以b= ．
a
则a2025 ⋅b2026=a2025 ⋅
(1) 2026
=a2025 ⋅
1
=
1
=b．
a a2026 a
因此a2025 ⋅b2026=b=❑√7−❑√6．
故答案为：❑√7−❑√6．
❑√2−1 ❑√2+1
4．已知x= ，y= ，求x2y+x y2的值．
2 2
❑√2
【答案】
4
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已
知求出x+ y和xy的值，然后利用因式分解进行计算即可解答．
❑√2−1 ❑√2+1
【详解】解：∵x= ，y= ，
2 2
1
∴x+ y=❑√2，xy= ，
4
❑√2
∴x2y+x y2=xy(x+ y)= ．
4
【题型6 已知条件式，化简求值]
1．已知a=3+❑√2，b=3−❑√2，求代数式a2−ab+b2的值．【答案】15
【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算a−b=2❑√2，
ab=7，再把原式化为(a−b) 2+ab，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a=3+❑√2，b=3−❑√2，
∴a−b=2❑√2，ab=(3+❑√2)(3−❑√2)=9−2=7，
∴a2−ab+b2=(a−b) 2+ab=(2❑√2) 2+7=8+7=15．
2．已知a=❑√11+4，b=❑√11−4，求下列代数式的值.
(1)a2−b2；
(2)a2+b2+ab.
【答案】(1)16❑√11
(2)49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成(a+b)(a−b)，再根据二次根式的运算法则计算即
可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成(a+b) 2−ab，再根据二次根式的运算法则计算
即可求解．
【详解】（1）解：∵a=❑√11+4，b=❑√11−4，
∴a+b=❑√11+4+❑√11−4=2❑√11，a+b=❑√11+4−❑√11+4=8，
则a2−b2=(a+b)(a−b)=2❑√11×8=16❑√11．
（2）解：∵a=❑√11+4，b=❑√11−4，
∴a+b=❑√11+4+❑√11−4=2❑√11，ab=(❑√11+4)(❑√11−4)=−5，
则a2+b2+ab=(a+b) 2−ab=(2❑√11) 2+5=49．
3．已知x=❑√3+2，求代数式x2−4x+3的值．
【答案】2
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可．
【详解】解：∵x=❑√3+2，∴x2−4x+3
=x2−4x+4−1
=(x−2) 2−1
=(❑√3+2−2) 2 −1
=3−1
=2．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
4．已知x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，求下列各式的值：
(1)x2−y2
(2)x2+ y2
【答案】(1)4❑√6
(2)10
【分析】（1）先求解x+ y,x−y, 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算
即可；
（2）先求解(x+ y) 2,xy, 再利用完全平方公式进行变形求值即可.
【详解】（1）解：∵ x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，
∴x+ y=❑√3+❑√2+❑√3−❑√2=2❑√3,
x−y=❑√3+❑√2−❑√3+❑√2=2❑√2,
∴x2−y2=(x+ y)(x−y)=2❑√3×2❑√2=4❑√6.
（2）∵ x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，
∴x+ y=❑√3+❑√2+❑√3−❑√2=2❑√3,
xy=(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1,
∴x2+ y2=(x+ y) 2−2xy
=(2❑√3) 2 −2×1=12−2=10.
【点睛】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平
方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键
【题型7 比较二次根式的大小】1．比较大小：❑√7 2❑√2（填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了比较二次根式的大小．
通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小．
【详解】解：(❑√7) 2=7，(2❑√2) 2=4×2=8，由于7<8，
所以❑√7<2❑√2．
故答案为：<．
2．比较大小：−2❑√3 −❑√15（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理−2❑√3=❑√−12，根据❑√15>❑√12，
得−❑√12>−❑√15，则−2❑√3>−❑√15，即可作答．
【详解】解：依题意，−2❑√3=−❑√22×3=−❑√12，
∵15>12，
∴❑√15>❑√12，
∴−❑√12>−❑√15，
即−2❑√3>−❑√15，
故答案为：>．
8 ❑√5−1
3．比较大小 ．
13 2
【答案】<
8 1 29
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，可求出 + = ，再求出
13 2 26
8 1 ❑√5
292=841<(13❑√5) 2=845，进而得到 + < ，据此可得答案．
13 2 2
8 1 29
【详解】解： + = ，
13 2 26
∵292=841<(13❑√5) 2=845，
29 13❑√5
∴ < ，
26 26
8 1 ❑√5
∴ + < ，
13 2 2故答案为：<．
❑√19−2 2
4．课堂上，数学老师出了一道题：比较 与 的大小．小明的解法如下：
3 3
❑√19−2 2 ❑√19−2−2 ❑√19−4
解： − = = ．
3 3 3 3
因为19>16，所以❑√19>4，所以❑√19−4>0，
❑√19−4 ❑√19−2 2
所以 >0，所以 > ．
3 3 3
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小：
(1)1−❑√5和1−❑√3；
6−❑√7 3
(2) 和 ．
5 5
【答案】(1)1−❑√5<1−❑√3
6−❑√7 3
(2) >
5 5
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的
关键．
（1）先求出1−❑√5−(1−❑√3)=❑√3−❑√5，然后根据❑√3−❑√5<0，即可得出答案；
6−❑√7 3 3−❑√7
（2）先求出 − = ，然后根据3−❑√7>0即可得出答案．
5 5 5
【详解】（1）解：1−❑√5−(1−❑√3)
=1−❑√5−1+❑√3
=❑√3−❑√5．
∵❑√3<❑√5，
∴❑√3−❑√5<0，
∴1−❑√5<1−❑√3．
6−❑√7 3
（2）解： −
5 5
6−❑√7−3
=
5
3−❑√7
= ．
5
∵❑√7<3，∴3−❑√7>0，
3−❑√7
∴ >0，
5
6−❑√7 3
∴ > ．
5 5
5．先观察解题过程，再解决问题．
比较❑√3−❑√2与❑√2−1的大小．
解：∵(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)=1，(❑√2−1)(❑√2+1)=1，
1 1
∴❑√3−❑√2= ，❑√2−1= ．
❑√3+❑√2 ❑√2+1
又∵❑√3+❑√2>❑√2+1，
∴❑√3−❑√2<❑√2−1．
试用以上方法，比较❑√4−❑√3与❑√3−❑√2的大小．
【答案】❑√4−❑√3<❑√3−❑√2
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化
为分子为1的数，是解题的关键．
根据示例中的方法，把❑√4−❑√3与❑√3−❑√2化为分子为1的数，再比较大小即可．
【详解】解：(❑√4−❑√3)(❑√4+❑√3)=1，(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)=1，
1 1
∴❑√4−❑√3= ，❑√3−❑√2= ，
❑√4+❑√3 ❑√3+❑√2
又∵❑√4+❑√3>❑√3+❑√2，
1 1
∴ ＜ ，即：❑√4−❑√3<❑√3−❑√2．
❑√4+❑√3 ❑√3+❑√2
【题型8 二次根式的应用】
1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是
v=16❑√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：
m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得d=40m，f =0.9，则肇事
汽车行驶的速度约为（ ）
A．16km/h B．32km/h C．48km/h D．96km/h
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的d=40m和f =0.9代入经验公式v=16❑√df计算即可．
【详解】解：∵d=40，f =0.9，
∴df =40×0.9=36，
∴❑√df =❑√36=6，
∴v=16×6=96km/h．
故肇事汽车行驶的速度约为96km/h，
故选：D．
2．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为15cm2和24cm2的两个小正方形，剩余部分的
面积是（ ）
A．6❑√10cm2 B．9❑√10cm2 C．12❑√10cm2 D．20❑√10cm2
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据
已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．
根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据
面积的和差，可得答案．
【详解】解：∵两个空白小正方形的面积是15cm2、24cm2，
∴两个空白小正方形的边长是❑√15cm、2❑√6cm，
∴大正方形的边长是(❑√15+2❑√6)cm，
∴大正方形的面积是(❑√15+2❑√6) 2=(39+12❑√10)cm2，
∴阴影部分的面积是39+12❑√10−15−24=12❑√10(cm2)．
故选：C．
3．如图，将一个半径为3❑√2的圆环铁丝展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为❑√8π，
则矩形的宽是（ ）A．❑√8π B．❑√2π C．2❑√3π D．3❑√2π
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
根据题意得出圆的周长，再根据矩形公式进而求得矩形的宽．
【详解】解：根据题意得：矩形的周长等于圆的周长，
∴矩形的周长为3❑√2×2×π=6❑√2π，
∵矩形的长为❑√8π，
1
∴矩形的宽是 ×6❑√2π−❑√8π=❑√2π．
2
故选：B
4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长
√ 1[ (a2+b2+c2 ))
分别为a，b，c，则其中三角形的面积S=❑ a2b2− ．此公式与古希
4 2
a+b+c
腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p= ，那么其三角形的面积
2
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公
式”．若a=5，b=6，c=7，则此三角形面积为（ ）
A．6❑√6 B．9❑√6 C．6❑√3 D．9❑√3
【答案】A
【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．本题考查了二次根式
的应用，考查学生的计算能力，掌握❑√ab=❑√a⋅❑√b(a≥0,b≥0)是解题的关键．
【详解】解：∵a=5，b=6，c=7，
a+b+c 5+6+7
∴p= = =9，
2 2
则三角形的面积S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√9(9−5)(9−6)(9−7)
=6❑√6．
故选：A
5．如图，李明家有一块矩形空地ABCD，已知BC=❑√108m，AB=❑√27m．现要在空地
中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为
(❑√19+1)m，宽为(❑√19−1)m．
(1)求矩形空地ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)已知李明家种植的草莓售价为7元/kg，且每平方米产草莓15kg．若李明家将所收
获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】(1)18❑√3(m)
(2)销售收入为3780元
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的
关键．
（1）根据长方形周长计算公式求解即可；
（2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，长方形空地ABCD的周长为：
2(BC+AB)=2(❑√108+❑√27)=2(6❑√3+3❑√3)=18❑√3(m)．
（2）解：由题意，得S =BC⋅AB=❑√108×❑√27=54(m2)，
矩形ABCD
S =(❑√19+1)(❑√19−1)=19−1=18(m2)，
水池
∴S =54−18=36(m2)，
种植草莓
∴36×15×7=3780（元）．
答：销售收入为3780元．【题型9 复合二次根式的化简】
1．阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设a+b❑√2=(m+n❑√2) 2 （其中a、b、m、n均为整数），则有
a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小李同学就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，用含m、n的式子分别表
示a、b，得：a=______，b=______；
(2)若a+4❑√3=(m+n❑√3) 2 ,且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：❑√25+4❑√6．
【答案】(1)m2+3n2,2mn
(2)13或7
(3)2❑√6+1
【分析】（1）利用完全平方公式将(m+n❑√3) 2展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3）25+4❑√6=25+2❑√24=12+2❑√24+(❑√24) 2=(❑√24+1) 2，据此即可求解．
【详解】（1）解：(m+n❑√3) 2=m2+3n2+2mn❑√3
∵a+b❑√3=(m+n❑√3) 2
∴a=m2+3n2,b=2mn．
故答案为：m2+3n2,2mn．
（2）解：∵a+4❑√3=(m+n❑√3) 2 ,
∴b=4，
由（1）中结论可知：2mn=4，∴mn=2，
∵m、n均为正整数，
∴m=1,n=2或m=2,n=1，
当m=1,n=2时，a=m2+3n2=13；
当m=2,n=1时，a=m2+3n2=7；
∴a的值为13或7．
（3）解：25+4❑√6=25+2❑√24=12+2❑√24+(❑√24) 2=(❑√24+1) 2，
∴❑√25+4❑√6=❑√(❑√24+1) 2=❑√24+1=2❑√6+1．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
2．观察下面的运算，完成计算：
❑√5−2❑√6=❑√3−2❑√6+2=❑√ (❑√3) 2 −2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2=❑√ (❑√3−❑√2) 2
=|❑√3−❑√2)=❑√3−❑√2
(1)❑√3−2❑√2
(2)❑√3+4❑√4+2❑√3．
【答案】(1)❑√2−1
(2)❑√3+2
【分析】（1）被开方数3−2❑√2=1−2❑√2+2=(1−❑√2) 2，据此即可开方；
（2）首先化简❑√4+2❑√3，然后代入原式利用相同的方法化简即可．
【详解】（1）解：原式=❑√1−2❑√2+2
=❑√12−2❑√2+(❑√2) 2
=❑√ (1−❑√2) 2
=❑√2−1；
（2）❑√4+2❑√3
=❑√3+2❑√3+1
=❑√ (❑√3+1) 2=❑√3+1
则原式=❑√3+4(❑√3+1)
=❑√4❑√3+7
=❑√2❑√12+7
=❑√3+2❑√4⋅❑√3+4
=❑√ (❑√3) 2+2❑√4⋅❑√3+(❑√4) 2
=❑√ (❑√3+2) 2
=❑√3+2
【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关
键．
3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现
有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么
❑√a2±2ab+b2=|a±b)，如何将双重二次根式❑√5±2❑√6化简．我们可以把5±2❑√6转
化为(❑√3) 2 ±2❑√6+(❑√2) 2=(❑√3±❑√2) 2 完全平方的形式，因此双重二次根式
❑√5±2❑√6=❑√(❑√3±❑√2) 2=❑√3±❑√2得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y
′= { y(x≥0) )
则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变
−y (x<0)
点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：
（1）点(❑√2,−❑√3)的“横负纵变点”为 ，点(−3❑√3,−2)的“横负纵变点”为
；
（2）化简：❑√7+2❑√10【答案】（1）(❑√2，-❑√3)，(-3❑√3，2)；（2）❑√2+❑√5；
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
（2）模仿例题解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题目意思，y′= { y(x≥0) )
−y (x<0)
∵❑√2≥0和−3❑√3≤0,
点(❑√2,−❑√3)的“横负纵变点”为(❑√2,−❑√3)，
点(−3❑√3,−2)的“横负纵变点”为(−3❑√3,2)，
故答案为：(❑√2,−❑√3)，(−3❑√3,2)；
（2）∵2+5=7,2×5=10,
∴❑√7+2❑√10=❑√(❑√2+❑√5) 2=❑√2+❑√5；
【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，
属于中考常考题型．
1．下列二次根式与❑√3是同类二次根式的是（ ）
A．❑√2 B．❑√6 C．❑√9 D．❑√12
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，
判断其被开方数是否与❑√3相同，只有D选项化简后为2❑√3，符合题意．
同类二次根式需化简后比较被开方数，❑√12化简为2❑√3，与❑√3被开方数相同．
【详解】解：∵❑√12=❑√4×3=❑√4×❑√3=2❑√3，
∴❑√12与❑√3的被开方数均为3，
故❑√12与❑√3是同类二次根式．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）A．❑√2+❑√3=❑√5 B．2❑√2−❑√2=2 C．❑√2×❑√3=❑√6 D．❑√12÷❑√2=2❑√3
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求解判
断即可．
【详解】解：A、❑√2和❑√3不是同类二次根式，不能合并，故原式计算错误，不符合题
意；
B、2❑√2−❑√2=❑√2，故原式计算错误，不符合题意；
C、❑√2×❑√3=❑√6，故原式计算正确，符合题意；
D、❑√12÷❑√2=❑√6，故原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．5❑√7+2❑√7= ；❑√20−❑√45= ．
【答案】 7❑√7 −❑√5
【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再
计算.
【详解】解：5❑√7+2❑√7=7❑√7，
❑√20−❑√45=2❑√5−3❑√5=−❑√5.
故答案为 7❑√7；−❑√5.
4．计算：|1−❑√2)−❑√18+(❑√3+1)(❑√3−1)．
【答案】1−2❑√2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简绝对值、化简二次根式、运用平方差公式计算，再计算加减法即可．
【详解】解：原式=❑√2−1−3❑√2+3−1=1−2❑√2．
5．已知a=2+❑√3，b=2−❑√3，分别求下列代数式的值：
(1)a2−b2；
(2)a2−3ab+b2．
【答案】(1)8❑√3
(2)11
【分析】（1）由已知可得a+b=4，a−b=2❑√3，再利用平方差公式计算即可；
（2）由已知可得a−b=2❑√3，ab=1，再把原式转化为(a−b) 2−ab，进而代入计算
即可求解；本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这
些知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵a=2+❑√3，b=2−❑√3，
∴a+b=2+❑√3+2−❑√3=4，a−b=2+❑√3−(2−❑√3)=2❑√3，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2❑√3=8❑√3；
（2）解：∵a=2+❑√3，b=2−❑√3，
∴a−b=2+❑√3−(2−❑√3)=2❑√3，ab=(2+❑√3)(2−❑√3)=4−3=1，
∴a2−3ab+b2
=(a−b) 2−ab
=(2❑√3) 2 −1
=12−1
=11．
