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专题04 倍长中线模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（基本模型）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，
DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．
【答案】4
【详解】∵ DC⊥BC，∴ ∠BCD= ，
∵ ∠ACB= ，∴ ∠ACD= ，
如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD，
在 ΔADH 与 ΔBCD 中， ，
∴ ΔADH ΔBCD(SAS)，
∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴点A到CD的距离为4，
≅
故答案为：4．
例2．（综合应用）（1）如图1，AD是 ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接
△CE．
①证明 ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
△
（2）如图2，在 ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于
点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
△
【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析
【详解】（1）①∵AD是 ABC的中线，∴CD＝BD，
△
在 ABD与△ECD中， ，∴ ABD≌△ECD（SAS）
△ △
②1＜x＜4， 理由如下：∵ ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，
∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．
△
由△ACE三边关系得： ，
又∵AC＝3，∴ ，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中， ，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，∴ ．
在 EDF与△EDG中， ，
△
∴ EDF≌△EDG．∴EF＝EG．
在 BEG中，BE+BG＞EG，
△
即BE+CF＞EF．
△
例3．（培优应用）已知 中，
（1）如图1，点E为 的中点，连 并延长到点F，使 ，则 与 的数量
关系是________．
（2）如图2，若 ，点E为边 一点，过点C作 的垂线交 的延长线于点
D，连接 ，若 ，求证： ．
（3）如图3，点D在 内部，且满足 ， ，点M在 的延长线
上，连 交 的延长线于点N，若点N为 的中点，求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【详解】证明：（1）由题意可得：
在 和 中
∴
∴
（2）过点A引 交 于点F，如下图：
由题意可得： ，且
则
又∵
∴ 平分 ，
∴
∴在 和 中
∴
∴
在 和 中
∴
∴
（3）证明：过点 作 交 的延长线于点 ， ，在 上取一点 ，
使得 ，连接 ，如下图：∵ ，∴
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴
∵ ，∴
∴ ，∴
∵ ，∴
∵ ，∴
∵ ，∴
又∵ ，∴ ，∴
∴ ，∴ ，∴
∵ ，∴
【变式训练1】如图， 中， ，E是 的中点，求证： ．
【答案】见解析
【详解】证明：延长 到F，使 ，连结 ，
∵E是 中点，∴ ，∴在 和 中， ，
∴ （ ），∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ．
【变式训练2】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上中线BD取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得
△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，
∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；② ；（3）MN=2BD，理由见解析
【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵ ，∴ 即 ，
又∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）MN=2BD，理由如下：
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．
【课后作业】
1．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC
＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．【答案】100°
【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝24°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，
∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
2．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作
EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的
式子表示）【答案】180°﹣α．
【详解】解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
3．如图，在锐角 中， ，点 ， 分别是边 ， 上一动点，连接 交
直线 于点 ．
(1)如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到
线段 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ．在点 ， 运动过程中，猜想线段
， ， 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【解析】（1）解：如图1，在射线 上取一点 ，使得 ，
∵ ，BC＝BC，∴ （SAS），∴ ，∴
，∴ ，∴
，∵ ，∴ ，∴ ；
（2） ，证明：∵ ， ，∴△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°，又∵ ，∴ （SAS），∴
，∴ ，
∴ ，倍长 至 ，连接 ，PQ，∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM，∴ （SAS），∴ ，
∠QFN＝∠CMN，由旋转的性质得AC＝CM，∴ ，在CF上截取FP＝FB，
连接BP，∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∴∠BPF＝60°，
，∴ ，∵∠QFN＝∠CMN，
∴FQ//CM，∴ ，∴ ，又∵ ， ∴
（SAS），∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，∴ 为正三角形，∴
，即 ．
4．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值
范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中
∴△ABD ECD（SAS）
∴AB＝ ．
≅△
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴ ＜AE＜ ．
又∵AE＝2AD．
∴ ＜AD＜ ．
【探索应用】如图②，AB CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，
求DF的长为 ．（直接写答案）
【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为
BE的中点，求证：AP⊥DP．【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析
【详解】观察发现
解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC，
在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，
∴2＜AE＜12．
又∵AE=2AD，
∴1＜AD＜6，
故答案为：EC，2，12，1，6；
探索应用
解：如图2，延长AE，CD交于H，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，
∴△ABE≌△HCE（AAS），
∴AB=CH=25，∴DH=CH-CD=17，
∵∠DFE=∠BAE，
∴∠H=∠DFE，
∴DF=DH=17，
故答案为：17；
应用拓展
证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，
在△BPA与△EPF中， ，
∴△BPA≌△EPF（SAS），
∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，
∵AC=BC，∴AC=FE，
在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，∴∠ACD=∠FED，
在△ACD与△FED中，
，
∴△ACD≌△FED（SAS），∴AD=FD，
∵AP=FP，∴AP⊥DP．
5．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC
于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）
【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【详解】解：（1）如图1，∵AM⊥BM，
∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，∴△AMC≌△BMD（SAS），∴AC＝BD＝17．
（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，
∴△BFM≌△AHM（AAS），∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt EMF≌Rt EMH（HL），
∵∠△FEH＝90°，△∴∠FEM＝∠HEM＝ ∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，∴∠3＝2∠1+∠2．
6．已知：等腰 和等腰 中， ， ， ．（1）如图1，延长 交 于点 ，若 ，则 的度数为 ；
（2）如图2，连接 、 ，延长 交 于点 ，若 ，求证：点 为
中点；
（3）如图3，连接 、 ，点 是 的中点，连接 ，交 于点 ， ，
，直接写出 的面积．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【详解】（1）设 交 于 ，如图1，
是等腰 和 是等腰
即
故答案为
（2）如图2，过点 作 的垂线交 的延长线于 ,是等腰 和 是等腰
又
又
即 是 的中点
（3）延长 至 ，使得 ，连接 ，设 交 于点 ，如图
即
是等腰 和 是等腰在 与 中，
（SAS）
，
点是 的中点
，
（SAS）
（SAS）
，
即
，
