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专题 04 轴对称图形、线段的垂直平分线、坐标与图形轴对变换
之七大题型
轴对称图形的识别
例题：（2023下·云南红河·八年级统考期末）以下会徽是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A. 是轴对称图形；
B.不是轴对称图形；
C.不是轴对称图形；
D.不是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，熟记轴对称图形的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）下列图形中，是轴对称图形的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此
选项不符合题意；
B、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题
意；
C、图形不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题
意；
D、图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
2．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）下列旗子中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；进行解答即可．
【详解】解：B、C、D都是轴对称图形，A不是轴对称图形，故A符合题意；
故选择：A．
【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分对折后
可完全重合．折叠问题
例题：（2023下·湖北咸宁·七年级统考期末）如图1，在长方形 中，E点在 上，并且
，分别以 为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中 ，则 的
大小为 度．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】由折叠的性质得 ，根据长方形的性质求出
，从而求出 的度数，即 ，于是有
，从而求出 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求出 的
大小．
【详解】解：如图，
由折叠的性质得 ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，角的计算，熟知折叠前后两个图形全等是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，将一张长方形纸片，分别沿着 对折，使点
落在点 ，点 落在点 ．若点 不在同一直线上， ，则
．
【答案】 /96度
【分析】根据折叠的性质，得到 ，再利用平角的定义进行求解即可．
【详解】解：根据题意，可得 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）长方形纸片 ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ，将 对折，点 落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点 落在
直线 上的点 处，得折痕 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由折叠的性质得， ， ，由 可求出
，进而可求出 的度数；
（2）由折叠的性质得， ， ，可求出 ，结合
可求出 ，进而可求出 的度数．
【详解】（1）由折叠的性质得， ， ，
，
，
，
（2）由折叠的性质得， ， ，
∴ ，
平分 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质
例题：（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）如图，在 中， 的垂直平分
线 交 于点E，D为线段 的中点， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据 垂直平分 ，得出 ，根据已知 ，得出 ，根
据等腰三角形的性质即可得出 ，可求 ，得出 ，根据三角形外角的性质和
等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵D为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B；【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟
练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南商丘·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，直线DE
垂直平分 ，垂足为点E，交 于点D，则 的周长为 ．
【答案】11
【分析】根据据垂直平分线的性质得 ，进而可把△ABD周长转化为 求解．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ ．
∴ 的周长
．
故答案为：11．
【点睛】本题考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为
的和即可．
2．（2023下·甘肃张掖·八年级校考期末）如图，在 中，点E是 边上的一点，连接 ，
垂直平分 ，垂足为F，交 于点D．连接 ．
(1)若 的周长为19， 的周长为7，求 的长．
(2)若 ， ，求 的度数．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明 ， ，结合 的周长为19， 的周长为7，可得
，从而可得答案；
（2）先求解 ，证明 ，再利用全等三角形的性质
可得答案．
【详解】（1）解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ 的周长为19， 的周长为7，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理
的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
线段垂直平分线的判定
例题：（2023上·广西河池·八年级统考期末）如图，在 中，边 ， 的垂直平分线交于点
．(1)求证： ；
(2)求证：点 在线段 的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案；
（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵边 、 的垂直平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）证明：∵边 ， 的垂直平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
点 在 的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个
端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【变式训练】
1．（2023上·天津红桥·八年级统考期末）已知 是 的角平分线， ，
垂足分别是E，F．(1)如图①，若 ，求证： ；
(2)如图②，连接 ，求证： 垂直平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先利用角平分线的性质得到 ，再证明 即可证明
；
（2）由（1）得点 在 的垂直平分线上．再证明 得到 ，则点 在
的垂直平分线上．即可证明 垂直平分 ．
【详解】（1）
证明：∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
（2）证明：由（1）知，点 在 的垂直平分线上．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∴点 在 的垂直平分线上．
∴ 垂直平分 ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，熟知利
用 证明三角形全等是解题的关键．
2．（2023上·陕西安康·八年级统考期末）如图，点 是等边 外一点， ，
，点 ， 分别在 ， 上，连接 、 、 、 ．
(1)求证： 是 的垂直平分线；
(2)若 平分 ， ，求 的周长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；
（2）如图，过D作 于M，结合已知易证 即 ，同理可得 ，
易证 得 ，同理可得 ，然后转换求周长即可．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
∴A在 的垂直平分线上，
又 ，
∴D在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线；
（2）如图，过D作 于M，
，又 是等边三角形，
同理可得
平分 ，
平分 ，
在 与 中
同理可得
.
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题
的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．
求坐标轴内点关于x轴,y轴的对称点
例题：（2023上·云南红河·八年级统考期末）已知点 与点 关于x轴对称，则
的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C【分析】根据关于x轴的对称点的特点可得答案．
【详解】∵点 与点 关于x轴对称，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横
坐标不变，纵坐标互为相反数．
【变式训练】
1．（2023上·福建福州·八年级校联考期末）如果点 关于y轴的对称点的坐标为
，则 ， ．
【答案】 0 4
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得 ，
，再解即可．
【详解】解：∵点 关于y轴的对称点的坐标为 ，
∴ ， ，
解得： ，
故答案为：0，4．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 关
于 轴对称．
(1)若 ，求 的长；
(2)在直线 左侧有一点 面积为 ．若 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为
【分析】（1）根据关于 轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而得出点 的坐标，
进而得出 的长；（2）根据三角形面积公式表示出 的面积，然后根据 可得 ，代入求出 的
值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵点 关于 轴对称， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ；
（2）∵点 在第一象限，
∴ ，
∵直线 左侧有一点 面积为 ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
则 ，
解得， ，
∴ ，
∵点 的坐标为 ，
即 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系以及轴对称，熟练掌握平面直角坐标系结合方程的思想解题是
本题的关键．
在坐标轴内作关于x轴，y轴的对称图形
例题：（2023下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，已知 ， ， ．(1)作 关于x轴对称的 ；
(2)写出点 、 的坐标；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)7
【分析】（1） 关于x轴对称的点为 ，同理得 ， ，依次连接即可求
解．
（2）由（1）即可求解．
（3）利用长方形的面积减法三个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解： 关于x轴对称的点为 ，
同理可得： ， ，依次连接，
如图所示， 即为所求：（2）由（1）得： ， ．
（3） 的面积为：
【点睛】本题考查了作图——轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中， ．
(1)在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
(2)直接写出 的坐标；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ， ， ；
(3) ．
【分析】（1）根据题意找到 关于 轴的对称点 ， ， ，顺次连接即可，（2）根据坐标系写出 ， ， 的坐标即可；
（3）根据坐标与网格的特点用长方形减去三个三角形的面积求解即可．
【详解】（1）解： 如图所示：
；
（2）解：由图可知
， ， ；
（3）解： ．
【点睛】本题考查了画轴对称图形，关于 轴对称的点的坐标，坐标与图形，掌握轴对称的性质是
解题的关键．
2．（2023上·广西贵港·八年级校考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
．
(1)在平面直角坐标系中画出 ；(2)把 先关于 轴对称得到 ，再向下平移3个单位得到 ，则点 ， 的坐标
分别为 ______， ______；
(3) 是由 经过两次变换得到的，已知点 为 内的一点，则点 在
内的对应点 的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描出点，再连接 、 、 即可；
（2）根据轴对称的性质即可画出 关于 轴对称的图形 ，再根据平移的性质画出
，并写出 、 的坐标；
（3）根据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变；平移坐标变换规律是“左减右加，
上加下减”求解即可．
【详解】（1）解：如图所示： 即为所作；
（2）解：如图所示； 和 即为所作．∴ ， ，
故答案为： ， ；
（3）解：点 关于 轴对称点 ，
点 向下平移3单位的对应点 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换和平移变换，轴对称变换和平移变换的坐标变换规律，解决
本题的关键是掌握轴对称与平移的性质，轴对称变换和平移变换的坐标变换规律．
最短路径问题
例题：（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，
垂直平分 ，点P为直线 上的任一点，则 周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意知 ，故当点P与点D重合时， 的最小值等于 的长，根据
的长度即可得到 周长的最小值．【详解】解：连接 ，设 交 于D，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴当P和D重合时， 的值最小，最小值等于 的长，
∵ ，
∴ 周长的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】此考查了垂直平分线的性质、最短路径等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
1．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图， ，点M、N分别在射线 、 上，
， 的面积为12，P是直线 上的动点，点P关于 对称的点为 ，点P关于
对称的点为 ，当点P在直线 上运动时， 的面积最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，先利用三角形的面积公式求出 ，
再根据轴对称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，
然后利用三角形的面积公式可得 的面积为 ，可得当点 与点 重合时， 取得最小值， 的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，
，且 ，
，
点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ，
， ， ，
，
，
的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
的面积的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
2．（2023下·云南昭通·八年级校联考期末） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C
三点在格点上．(1)作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
(2)在y轴上求作点D，使得 值最小，请你直接写出D点坐标．
【答案】(1)见解析，点 的坐标是
(2)见解析，D点坐标是
【分析】（1）先根据轴对称性质得到对应点 、 、 ，再顺次连接可得 ，进而可得点
坐标；
（2）根据轴对称性质，作点A关于y轴的对称点 ，连接 与y轴交于点D，则此时 最
小，根据图形可得点D坐标．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求，点 的坐标是 ；
（2）解：如上图，作点A关于y轴的对称点 ，连接 与y轴交于点D，则此时 最小，
D点坐标是 .
【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称变换、利用轴对称性质求最短路径，熟练掌握轴对称的
性质是解答的关键．一、单选题
1．（2023上·河北邢台·八年级校考期末）点 关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可．
【详解】∵点 关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴点 关于 轴对称的点为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握直角坐标系中点关于 轴对称的点的
性质．
2．（2023下·江西抚州·七年级统考期末）下面图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
3．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）如图，在 中， 的垂直平分线 分别与 、
交于点D、E， 的垂直平分线 分别与 、 交于点F、G， ，若的面积为3，则 的面积是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ， ，由线段的垂直平分线的定义得到 ， ，根据三角形的面
积计算即可得到答案．
【详解】解：连接 ， ，
∵ 的垂直平分线 分别与 、 交于点D、E， 的垂直平分线 分别与 、 交
于点F、G，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线，三角形的面积公式，掌握线段的垂直平分线的定义以及
三角形的面积是解题的关键．
4．（2023下·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在 中， 平分 ，E，P分别是 ，上的动点，连接 ， ．若 ， ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．12
【答案】B
【分析】过点C作 交 于点P，过点P作 ，此时 最小，再利用
，求出 的长度，即为 的最小值．
【详解】解：过点C作 交 于点P，过点P作 ，
∵ 平分 ， ， ，
，
∴此时 最短，最短距离为 的长，
∵ ， ，
，
，
，
最小值为6．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质、角平分线的性质，三角形的面积．熟练掌握利用轴对称解决线段的和最小问题，是解题的关键．
5．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）如图①，已知长方形纸带 ， ， ，
，点E、F分别在边 、 上， ，如图②，将纸带先沿直线 折叠后，点
C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿 折叠一次，使点H落在线段 上点M的
位置，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠性质和平行可得 ，从而求得 ，即可求解．
【详解】解：由折叠可得： ，
，
．
，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·湖南常德·八年级统考期末）若点 关于 轴的对称点为点 ，则
.
【答案】【分析】根据轴对称的性质，点A和点 的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以求得a、b的值，
从而可得 的值．
【详解】解：∵点 关于 轴的对称点为点 ，
∴ ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质和有理数乘方的运算，解题的关键是先求得a、b的值．
7．（2023下·吉林长春·七年级校考期末）如图，在 中， 的垂直平分线分别交 于
D、E两点，若 ， 的周长是39，则 的周长为 ．
【答案】25
【分析】利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得 ，故
的周长为 ，即 的周长 ，即可解答．
【详解】解： 的垂直平分线分别交 于D、E两点，
， ，
的周长 ，
的周长是39，
，
即 的周长为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟知该性质是解题的关键．
8．（2023上·河南驻马店·八年级统考期末）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了
数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E
的坐标为 ，其关于y轴对称的点F坐标为 ，则 的值为 ．【答案】1
【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论．
【详解】解：∵ ， 关于y轴对称，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换
的性质，属于中考常考题型．
9．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）如图，在 中， ，
是边 上一点，将 沿 翻折后，点 恰好落在边 上的点 处，再将 沿
翻折，点 落在点 处．则 ．（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】先求得 ，再根据第一次折叠得 ， ，则
， ，然后由第二次折叠得 ，进而可求得，即可由 求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折后，点 恰好落在边 上的点 处，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折，点 落在点 处．
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．（2023下·四川雅安·七年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
，将 沿 折叠，使得点C恰好落在 边上的点E处，P为折痕 上一动点，
则 周长的最小值是 ．
【答案】12【分析】根据 周长等于 ， 为定值，得到当 的值最小时，三角形的
周长最小，根据折叠得到点 ，点 关于 对称，进而得到 ，进而得到
当 三点共线时， 的值最小为 的长，得到 周长的最小值等于 ，进
行求解即可．
【详解】解：∵将 沿 折叠，使得点C恰好落在 边上的点E处，P为折痕 上一
动点，
∴点 ，点 关于 对称， ，
∴ ， ，
∵ 周长等于 ， 为定值，
∴当 的值最小时，三角形的周长最小，
∵ ，
∴当 三点共线时， 的值最小为 的长，
∴ 周长的最小值等于 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查折叠的性质．熟练掌握利用轴对称解决线段和最小问题，是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·河南洛阳·八年级统考期末）如图， 中， ， 是 的垂直平分线．
(1)若 ，求 的周长；
(2)若 的周长为 ， ，求 的长．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ，然后求出
的周长 ，代入数据进行计算即可得解；
（2）由（1）得出的结论可得出答案．
【详解】（1）解： 是 的垂直平分线，
，
的周长 ，
，
的周长 ；
（2）由（1）可知： 的周长 ，
的周长为 ，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关
键．
12．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点为
．
(1)作 关于y轴对称图形 ；
(2)若点P在x轴上，且 与 面积相等，则点P的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2) 或【分析】（1）直接利用轴对称的性质得出对应点位置，然后顺次连接即可解答；
（2）先求 的面积，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求：
．
（2）解： ，
设点P的坐标为 ，则
，解得： 或11，
∴点P的坐标 或 ．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）如图，一个四边形纸片 ， ， 是
上一点，沿 折叠纸片，使点 落在 边上的点 处．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)【分析】（1）由折叠得 ，因为 ，所以 ，则 ；
（2）由 ，得 ，则 ，所以
．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
沿 折叠纸片，点 落在 边上的点 处，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
的度数是 ．
【点睛】本题考查轴对称的性质、平行线的判定与性质、四边形的内角和等于 等知识，证明
是解题的关键．
14．（2023上·云南红河·八年级统考期末）在平面直角坐标系中， 的顶点坐标 ，， ．
(1)在图中作出 关于y轴对称的图形 ；
(2)在y轴上找一个点P，使得 的周长最小，在图中标出点P的位置；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质画出 ；
（2）根据轴对称的性质，连接 ，交 轴于点 ，点 即为所求；
（3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求．（2）
如图，点P为所求作的点．
（3）
【点睛】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图象，熟练掌
握轴对称的性质是解题的关键．
15．（2022上·贵州黔东南·八年级校联考期中）如图， 是 的角平分线， ，
，垂足分别是 ， 连接 ， 与 相交于点 ．
(1)求证： 是 的垂直平分线；
(2)若 ，四边形 的面积 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到 ，则证明 得到 ，然
后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；
（2）四边形对角线垂直，利用四边形的面积等于对角线乘积的一半解题．
【详解】（1）证明： 是 的角平分线，
，
， ，
，
，在 和 中，
，
≌ ，
，
垂直 ，且平分 ，
即 是 的垂直平分线；
（2）解： 垂直 ，
， ，
，
， ，
，
答： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解
题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等．
16．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）如图， 是一张三角形的纸片，点 、 分别是边
、 上的点 将 沿 折叠，点A落在点 的位置．
(1)如图①，当点 落在边 上时，若 ，求 的大小．(2)如图②，当点 落在 内部时，若 ， ，求 的大小．
(3)当点 落在 外部时，
如图③，若 ， ，则 ______ ；
如图④， 、 和 的数量关系为______．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)① ；② ．
【分析】（1）利用折叠的性质及三角形的内角和定理可求解；
（2）由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解 ，再利用三角形的内角和定理可求解；
（3）①由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解 ，再利用三角形的内角和定理可求
解 ，即可解答．②由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解 ，
再根据折叠性质得 ，再根据三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）由折叠可知： ，
，
；
（2）由折叠可知： ， ，
， ，
，
， ，
，
，
；
（3）如图 ，由折叠可知： ， ，， ，
，
， ，
，
，
，
故答案为： ；
如图 ，由折叠可知： ， ，
，
，
，
，
，
，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠与对称的性质，灵活运用折叠与对称的性质求解
角的关系是解题的关键．
