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期末重难点真题特训之压轴满分题型（96题28个考点）
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、解一元二次方程的方法
1．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）一元二次方程 的两个实数根中较大的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关
键．
【详解】解： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴较大的根是 ，
故选： ．
2．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）为了解方程 ，我们可以将 看作一
个整体，然后设 ，那么原方程可化为 ，解得 ，
当 时， ，∴ ，∴ ；
当 时， ，∴ ，∴ ；故原方程的解为 ．
以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方
程 的解为 ．
【答案】 ， ， ．
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键．
设 ，把方程转为 ，求出 ，再代入 ，求出 的值．
【详解】解： ，
，
设 ，原方程可化为： ，
解得： ， ，
当 时， ，
， ，
当 时， ，
，
原方程的解为： ， ， ．
3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗
庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽
（公元 世纪）和公元 世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程 即
时的做法为例加以说明．
【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为 ， 且面积为 的矩形构造成图 形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到 ．从而得到一个正数
解 ．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为 的正方形和 个边长分别为 ， 的矩
形构造出图 的形状（面积为 ）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方
形的面积，得到 ，从而得到一个整数解 ．
（1）图 中，小正方形的边长为____，将图 中补充完整（补充的部分用阴影表示）；
【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程 ．
请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第
二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）
请分别根据所画图形，求出方程 的一个正数解．
（注：需要写出必要的推算过程）
【拓展应用】（3）一般地，形如 的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的
一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解．
【答案】（1）2，作图见解析；
（2）①作图见解析；②5
（3）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，
（1）根据边长之间的关系可得小正方形的边长，再根据题意补充完整即可；
（2）画出图形，根据面积相等列出方程，再求出解即可；（3）根据题意画出图形，标注长度，再根据面积相等列出方程，求出解即可.
【详解】图1小正方形的边长为： ；
故答案为：2；
补充完整，如图所示；
（2）①如图所示，
②用四个边长分别为 ，且面积为 的矩形构造大正方形，用来那个中方式表示出大正方
形的面积，得到
整理，得 ，
解得 ；
，
即 ，
解得 ；
（3），如图所示，用四个边长分别为 ，且面积为 的矩形构造大正方形，用两种方式表示
出大正方形的面积，得到
可知 ，解得 ．
压轴满分题二、配方法的应用
1．（2024九年级·安徽·专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：
与 ，称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次
方程”．现有关于x的一元二次方程： 与 是“同族二次方程”．
那么代数式 取的最大值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再
利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性
质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解： 与 是“同族二次方程”，
，
，解得： ，
，
代数式 取的最大值是 ，
故选：A．2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于有理数a，b，定义 的含义为：当 时，
；当 时， ．若 ，则 的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
根据 ，得出 与40的大小关系，从而确定m，n的值即可得
出 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重
要应用，例如：试求二次三项式 最小值．
解： ，
， ，
，即 的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知 ，求 的最大（或最小）值．(2)比较代数式 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了用配方法解决问题．
首先把 配方得到 ，根据平方的非负性可知 ，所以可
知 有最大值且最大值是 ；
首先把两个代数式相减得到 ，去括号和并同类项可得原式 ，配
方可得原式 ，根据平方的非负性可知 ，从而可得 ．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
有最大值，最大值是 ；
（2）解： ，
理由如下：，
，
，
，
，
．
压轴满分题三、一元二次方程的根与系数的关系
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知两个非零实数 ， ，按规则 进行运算，运算的结
果记为 ，称此为一次操作；再从 ， ， 中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为 ；再从 ，
， ， 中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为 ……依次进行下去，以下结论正确的个数
为（ ）
①若 ， 为方程 的两个根，则 ；
②若 ，则 ；
③对于整数 ， ，若 为奇数，在操作过程中，得到的 一定为偶数：
④若 ，要使得 成立，则 至少为4．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，数字类规律探索，正确
理解题意是解题的关键．
由一元二次方程根与系数的关系得到 ，代入即可求出 ，即可判断①；若 ，
代入得到 ，求解即可判断②；若 为奇数，则 为一奇一偶，不妨设 为奇数， 为偶数，
代入计算即可判断③；要使得 成立，求次数最少，则 中尽量选最大的两个数，依次计算即
可判断④．
【详解】解：①∵ ， 为方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①错误；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍）或 ，
故②正确；
③若 为奇数，则 为一奇一偶，不妨设 为奇数， 为偶数，
则 为偶数，
则为一个奇数，2个偶数，任选两个数则为一奇一偶或两个偶数，
而两个偶数得到 也必为偶数，故得到的 一定为偶数，
故③正确；
④若 ，
则 ，
，
，
，
∴ 至少为4，
故④正确．
故选：C．
2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）设 ， 是关于 的一元二次方程： 的
两实根，当 时， 的值为
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系和根的判别式，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可
得： ， ， ，再将 利用完全平方公式变形即可求解．
【详解】解： ， 是关于 的一元二次方程： 的两实根，
， ， ，
，
，
，
，，
，
，
，
或 （舍去），
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程 与 （ ， ）称为一对“密友方
程”，例如：方程 的“密友方程”是 ．
(1)写出一元二次方程 的“密友方程”是________．
(2)已知一元二次方程 的两根为 ， ，它的“密友方程”的两根为 ， ，则
________， ________．根据以上结论，猜想 的两根 、 ，与其“密友方程”
的两根 ， 之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
(3)已知关于x的方程 的两根是 ， ，可应用（2）中的结论，解关于x的
方程 ．
【答案】(1)
(2) ， ；关系为： ， ，证明见解析
(3) ，
【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可；
（2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解；（3）根据题意可得 的两根，进而得到 ，进而求解；
【详解】（1）解：一元二次方程 ，
， ， ，
其“密友方程”是 ；
（2）解：该一元一次方程 的“密友方程”是 ；
解得： ， ；
关系为： ，
或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数．
证明： 的两根为 、 ，
设 ，则 ，整理的
，即方程 两根为 、
原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数．
即 ， ；
故答案为： ， ； ，
（3）解：已知关于 的方程 的两根是 ， ，
的两根为 ，
方程 即为 ，两根设为 、
，， ．
压轴满分题四、一元二次方程的应用（营销、数字、传播）问题
1．（24-25九年级上·广东中山·期中）某卫生部门为了控制某流行病的传染，对该传染病进行研究后发现，
若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患该病．
(1)请问：每轮一人传染了多少人？
(2)若按这样的传染速度，第三轮有多少人患了该病？
【答案】(1)每轮一人传染了10人
(2)第三轮有1331人患了该病
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设每轮一人传染的人数为x人，根据两轮传染后共有121人患该病，列出方程进行求解即可；
（2）根据（1）中计算的结果即可解决问题．
【详解】（1）解：设每轮一人传染的人数为x人，
则 ，
解得x =10， 舍去)，
1
答：每轮一人传染了10人．
（2）由 知，
人)，
所以第三轮有1331人患了该病．
2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）“乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．
在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的
热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人．
(1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率；
(2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100
台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000
元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数．
【答案】(1)我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为 ；
(2)购买的这种乒乓球台的台数为200台．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为x，利用在奥运会结束后的两个月参加健身运动的人数=
在奥运会结束后的首月参加乒乓球运动的人数 该市参加乒乓球运动人数的年均增长率 ，可列出关于
x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设购买m套这种健身器材，求出购买100套这种健身器材所需费用，由该值等于24万元，利用总价
=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合每套售价不得少于1000元，即
可确定结论．
【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为 ．
（2）解：设购买的这种乒乓球台的台数为m台，
由题意得： ，
整理得： ，.
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：购买的这种乒乓球台的台数为200台．
3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的
方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
1 1
7 8 9 11 13
0 2
1 1 1
14 16 18 20
5 7 9
2 2 2
21 23 25 27
2 4 6
28 2 30 39 1
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明
理由．
【答案】(1)10
(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见详解
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设最小数是x，则最大数是 ，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论；
（2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是
， ， ，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由 在最后一列，可
得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
【详解】（1）解：设最小数是x，则最大数是 ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）
答：最小数是10；
（2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是 ，
， ，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
压轴满分题五、一元二次方程的应用（图形、动态几何、行程）问题
1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够
长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的宽为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)16米或20米
(2)羊圈的面积不能达到 ．理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的应用：
（1）羊圈的宽为x米，则羊圈的长为 米，根据面积为 列一元二次方程，解方程即可；
（2）当面积为 时： ，利用根的判别式判断该方程有没有实数根，即可求解．
【详解】（1）解：设羊圈的宽为x米，当面积为 时：
，
整理得 ，
解得 ， ，
即羊圈的宽为16米或20米时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：羊圈的面积不能达到 ．理由如下：设羊圈的宽为x米，当面积为 时：
，
整理得 ，
，
该方程没有实数根，
羊圈的面积不能达到 ．
2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒
增加 ．
(1)设 （单位： ）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和 数量关系见下表：
t（秒） 0 1 2 3 …
（米/秒） 0 2 a b …
由题意可知： ______， ______；
(2)若斜面A的坡面 长为 ，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N，
①求钢球在此运动中滚动的时间；
②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少 ．若斜面B的坡面
足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程 ，
， 是开始时速度， 是t秒时的速度）
【答案】(1)4；6
(2)①4秒；②20米
【分析】本题主要查了一元二次方程的应用：
（1）根据速度每秒增加 ，完成表格，即可求解；
（2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为 米/秒，据题意列
方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为：4；6
（2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，
则到N处时钢球速度为 米/秒，据题意列方程为：
，解得： ，
∵ ，
∴ ，
答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒；
②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，
由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，
∴ ，
解得： ，
则 （米）
答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚．
3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在长方形 中， ，点P从点A开始
沿边 向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿 向终点C以 的速度移动，
如果P，Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ______ （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说
明理由．【答案】(1)
(2) 或
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，
根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间先求出 的长，进而可以求得 得长；
（2）根据（1）所求利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）求出长方形 的面积，当五边形 的面积等于 时，可求出 的面积，进而根
据三角形面积公式建立方程由此求得 值即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得： ， ；
∴当 或 时， 的长度等于 ；
（3）解：存在 使得五边形 的面积等于 ．理由如下：
长方形 的面积是： ，
∵要使得五边形 的面积等于 ，
∴ 的面积为 ，∴ ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）
∴当 时，五边形 的面积等于 ，
∴存在 使得五边形 的面积等于 ．
压轴满分题六、二次函数求参压轴计算
1．（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为
（ ）
A．2或 B． C．0或1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如 （a，b，c为常数， ）的函数叫做
二次函数．根据自变量的次数等于2且系数不等于0列式计算即可．
【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ 且 ，
解得 ．
故选B．
2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若关于x的函数 是二次函数，且其有最大值，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质与定义求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数 是二次函数，且其有最大值，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知
识点．形如 的函数叫做二次函数，其中 叫做二次项、 叫做一次项系数、 是常
数项．
根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1） 是二次函数，二次项系数是 、一次项系数是2、常数项是 ；
（2） 是二次函数，二次项系数是 、一次项系数是0、常数项是 ；
（3） 是二次函数，二次项系数是 、一次项系数是1、常数项是0；
（4）∵
∴不是二次函数．
压轴满分题七、二次函数的图象和性质
1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）A．顶点坐标为 B．对称轴是直线
C．开口方向向上 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得
抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴ 时， 随 的增大而增大．
故A、B、C说法正确，D说法错误．
故选：D．
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点
P为和谐点．例如点 …都是和谐点，请写出二次函数 的图象上所有和谐点的坐标是
．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和谐点的定义，设点 在二次函数 的图象上，
把 代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：由题意，设点 在二次函数 的图象上，
则： ，解得： 或 ，∴ 的图象上所有和谐点的坐标是 ；
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知抛物线 ．
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)完成下表：
x … 1 3 5 …
_____ _____
y … ______ ______ ______ …
_ _
(3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线
(2) ， ，0， ，
(3)作图见详解
【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，
代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键．
（1）根据二次函数 的顶点坐标为 ，对称轴直线为 ，即可求解；
（2）把自变量的值代入计算即可求解函数值；
（3）根据表格信息，描点、连线即可求解．
【详解】（1）解：抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
（2）解：把自变量的值代入求解，x … 1 3 5 …
y … 0 …
故答案为： ， ，0， ， ；
（3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下，
压轴满分题八、二次函数图象综合判断
1．（24-25九年级上·山东济南·期中）一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象的综合，掌握二次函数的性质是本题的关键．
根据一次函数的图象、二次函数的图象逐项分析即可解答．
【详解】解：当 时，一次函数 的y随x的增大而增大，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上；二次函数 开口方向向上，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上，且对称轴为 ；
即C选项符合题意，A选项不符合题意；
当 时，一次函数 的y随x的增大而减小，与y轴的交点在y轴负半轴的正半轴上；二次函数
开口方向向下，与y轴的交点在y轴正半轴的负半轴上，且对称轴为 ，即B、D都
选项不符合题意．
故选：C．
2．（2024·四川德阳·二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一定不经过
象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到
， ，据此可得一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴ ，
∵对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线 过定点M，与抛物线 交于A、
B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线 交y轴于点N．求点M的坐标和直线 的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形
结合的思想解决问题是关键．根据 ，确定定点M的坐标为 ，再代入 中可求
一次函数解析式．
【详解】解： ，
当 ， ，
定点M的坐标为 ，
把 代入直线 中，
即 ，
解得： ，
直线MN的解析式为： ．
压轴满分题九、待定系数法求二次函数解析式
1．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形 的顶点坐标分别为 ， ， ．
抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，将此抛物线在正方形 内(含边界)的部分记为图象G．若直线
与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为 ，再求出抛物线与正方形边
长另一个交点为 ，再根据直线 过定点 ，结合函数图象解题即可．
【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为 ，
，
∵正方形 的顶点坐标分别为 ， ， ，
∴ ，
∵抛物线经过点D，顶点坐标为(1,0)，
∴设抛物线解析式为 ，
把 代入得到 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，当 时，解得 ，
∴ ，
∵直线 ，
∴直线 过定点 ，
当 时 ，
∴直线 与 必有两个交点，
∵将此抛物线在正方形 内(含边界)的部分记为图象G，直线 与图象G有唯一交
点，
∴当 时，抛物线过 ， ，即 ，解得 ，
当 时，抛物线过 ， ，即 ，解得 ，
综上所述， 或 ，
故选：A．
2．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点
，点 和点 ，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．
（1）二次函数的解析式为 ；
（2）当自变量x 时，两函数的函数值都随x增大而减小；
（3）当自变量x 时，一次函数值大于二次函数值．【答案】 或
【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，及函数性质，是基础题型．
（1）可设二次函数解析式为 ，分别把点 和点 代入解析式求解系数即
可．
（2）求出二次函数的对称轴，观察图象即可得出结果．
（3）图象法进行求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，可设二次函数解析式为 ，把点 和点 代
入解析式得：
，解得：
∴二次函数解析式为 ．
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴对称轴为直线 ，
观察图象可知：当 时，两函数的函数值都随x增大而减小．故答案为： ；
（3）一次函数值大于二次函数值即一次函数图象在二次函数上方，根据图象知：x范围为： 或 ．
故答案为： 或
3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线 经过点 两点，与y
轴交于点C，点M是直线 上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作与y轴平行的直线，分别交
x轴、抛物线于点 ．
(1)分别求出抛物线与直线 的函数表达式；
(2)当点 中的一个点为其他两个点所连线段的中点时，求点 的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为 ；直线 的表达式为
(2)点 的坐标为 或 或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）将点 代入抛物线可求出抛物线的解析式，从而可得求出点 的坐标，再利用待定系
数法可求出直线 的函数表达式；
（2）先分别求出点 的坐标，再分三种情况：①点 为中点；②点 为中点；③点 为中点，利用
中点公式建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，解得 ，
则抛物线的表达式为 ．
令 ，则 ，
即 ，
设直线 的表达式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
则直线 的表达式为 ．
（2）解： 点 的横坐标为 ，过点 作与 轴平行的直线，分别交 轴、抛物线于点 ，
，
①若点 为中点，则 ，
解得 或 （此时三点重合，不符合题，舍去），
∴ ，
；
②若点 为中点，则 ，
解得 或 （此时三点重合，不符合题，舍去），
∴ ，；
③若点 为中点，则 ，
解得 或 （此时三点重合，不符合题，舍去），
∴ ，
；
综上，若点 中的一个点为其他两个点所连线段的中点时，点 的坐标为 或 或 ．
压轴满分题十、二次函数与方程、不等式应用
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）抛物线 的部分图象如图所示，与 轴的一
个交点坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；
④方程 有两个不相等的实数根；⑤若点 在该抛物线上，则 ．
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题
意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、不等式间的关系逐一判断即可．【详解】解：∵抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ，
∴与 轴的交点到对称轴距离为 ，
∴该抛物线与x轴的另一个交点为 ，
补图如下：
∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵对称轴在y轴的右侧，a、b异号，
∴ ，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确，
抛物线的对称轴是直线 即 ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵该抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴当 时， ，故③正确；
∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为(1,4)，
∴直线 与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确；
∵当 时，该函数取得最大值，此时 ，
∵点 在该抛物线上，则 ，故⑤正确；
综上所述：正确的个数有5个．故选：D．
2．（北京市密云区2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷）如图，在平面直角坐标系 中，抛
物线 经过 两点，下列四个结论中：①抛物线与 轴的交点是 ；
②抛物线的对称轴是直线 ；③ ；④ ，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查二次函数图象与性质；根据二次函数的解析式，可知抛物线过定点 ，结合点 和点
的位置即可解决问题．
【详解】解： 抛物线 ，
抛物线的对称轴是直线x=1，故②正确；
由 可知抛物线 过原点，
抛物线的对称轴是直线x=1，
抛物线与 轴的交点是 ， , ，故①正确；
抛物线 经过 ， ，
抛物线开口向上，
，故③错误；
到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
，故④正确．故答案为：①②④．
3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在正方形 中， ．点 从点 出发，以速度
的速度沿折线 运动，同时点 从点 出发，以速度 的速度沿线段 运动，连接
、 ．当 到达点 时， 、 两点同时停止运动．设点 运动的时间为 ， ， 的
面积为 ．
(1)请直接写出 与 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数 的函数图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，若函数 的图象与直线 有两个交点，则 的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)图见解析，当 时， 随x的增大而增大（答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查动点函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的
关键．
（1）分两种情况，当 时，点P在 上，当 时，点P在 上，根据三角形面积公式分别列式即可；
（2）根据（1）中所得解析式描点连线可得函数图象，根据图象增减性写出一条性质即可；
（3）找出临界点：当直线 经过点 时，当直线 与 的图象相切时，分别求出b的
值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
当 时，点P在 上，
，
当 时，点P在 上， ，
，
综上可得： ；
（2）解：根据（1）中解析式列表得：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 0 3 6 9 8 5 0
描点连线，可得 的函数图象如下图所示：
由图可知，当 时， 随x的增大而增大，当 时， 随x的增大而减小；（3）解：如图，
当直线 经过点 时， ，
解得 ；
联立 与 ，得 ，
即 ，
当直线 与 的图象相切时， 只有一个根，
，
解得 ，
结合图形可知，当 时，函数 的图象与直线 有两个交点．
故答案为： ．
压轴满分题十一、二次函数综合压轴题（周长、面积、角度）
1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴相交于点A(−2,0)和点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 、 的值；
(2)若点 是抛物线 段上的一点，当 的面积最大时求出点 的坐标，并求出 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)当 时， ，此时
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出 ，得到 ；方法1：连接 ，设点 ，分别求出
，再根据 求出 ，据此可得答案；方法
2：作 于 ，交 于点 ，求出直线 的解析式为： ，则 ，
，进而得到 ，据此可得答案．
【详解】（1）解；解：把点A(−2,0)和点 代入 ，
得 ，
解得 ，；（2）解：由（1）可知抛物线解析式为 ，
当 时， ，
，
，
方法一：如图1，
连接 ，
设点 ，
，
，
∵ ，
当 时， 最大 ，此时 ；
方法二：如图2，作 于 ，交 于点 ，
设 解析式为：
， ，
∴ ，
解得
直线 的解析式为： ，
，
，
，
∵ ，
当 时， ，此时 ；
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，
点坐标为 ，与 轴交于点 ．(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合题，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，根据条件得到 是等腰直角三
角形，则 ，设 ，则 ，再列方程解题即可．
【详解】（1）将 ， 代入 ，得
解得
二次函数的表达式为 ；
（2）对于 ，令 ，得 ，
解得 ， ，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
如解图，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
， ，
，
解得 （舍去）或 ，
，
．
3．（23-24九年级上·上海·自主招生）如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于
A和B点，交y轴于C点， ，(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点A点横坐标是m， 的面积是S，求S关于m的函数解析式；
(3)已知 的面积是 ，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其
解析式；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1过点B作 轴于点H，由 ， 可得 ，可
求得 ；设反比例函数的解析式为： ，将 代入即可求解；
（2）由题意得 ，可求出直线 的解析式为： 得出 ，根据
即可求解；
（3）由题意得 ，设过A和B点的抛物线的解析式为： ，可推出
；设抛物线与x轴的交点分别为 ，若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长
度等于3，则 ，即 ；结合根与系数的关系可得 ，判断此
一元二次方程有无实数根即可求解；
【详解】（1）解：过点B作 轴于点H，如图所示：∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
设反比例函数的解析式为：
∴ ，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：∵点A横坐标是m，且点在反比例函数 的图象上，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，∴ ，
∴
（3）解：由 解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
设过A和B点的抛物线的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
设抛物线与x轴的交点分别为 ，
若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度等于3，则 ，
∴ ，即 ，
由 得： ，∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度不能等于3
【点睛】本题考查了函数综合问题，涉及了反比例函数、一次函数、二次函数的解析式求解，一元二次方
程根的判别式、根与系数的关系等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础．
压轴满分题十二、二次函数综合压轴题（特殊三角形、特殊四边形、相似三角形）
1．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线 经过点 、 ，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧．
若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且 是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【答案】(1) ，顶点P的坐标是
(2) ；
【分析】（1）把点 和点 的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可；
（2） 先求直线 的解析式，设Q点的坐标是 ，再根据抛物线平称的规律求解即可；
抛物线与y轴的交点是D（0， ），分两种情况： 或 ，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）由题意得： ，
∴ ，抛物线的解析式为 ，
，顶点P的坐标是 ．
（2）①设直线 的解析式是 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式是 ，
设Q点的坐标是 ，其中 ，此时抛物线的解析式是 ，
∵点B平移后得到的点C在x轴上，
∴抛物线向上平移了3个单位，
∴ ，即 ，
∴此时抛物线的解析式是 ，即 ．
②抛物线 ，与y轴的交点是D（0， ），
如果 ，即 轴不合题意，
如果 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 轴，则 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
解得 （不合题意，舍去）或 ，
∴ ，
此时抛物线的解析式是 ，即 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数
与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键．
2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系 中，将抛物线 平移，使平移后
的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线 交于点N，
且 ．
(1)求平移后抛物线的表达式；
(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；
(3)抛物线 上的点A平移后的对应点是点B， ，垂足为点C，如果 是等腰三角形，
求点A的坐标．
【答案】(1) ；(2)是正方形，理由见解析；
(3) 、 、 、 ．
【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为： ，得到点M、N的坐标，进而求解；
（2）由题意得到O(0,0)， ， ， ，证明四边形 是平行四边形，由
，得到四边形 是矩形，由 ，即可得出结论；
（3）当 时，列出等式即可求解；当 或 时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为： ，
则点M的坐标为： ，
当 时， ，即点 ，
则 ，
解得： （舍去）或 ，
则平移后的抛物线表达式为： ；
（2）解：四边形 是正方形，
根据题意可得O(0,0)， ， ， ，
记 与 交于点G，则 ，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形；（3）解：设 ， ， ，
可得 ， ， ，
① ， ，即 ，
解得 ， （舍去0），
；
② ， ，
解得 ， ，
或 ；
③ ， ，
解得 ，
；
综上，点A的坐标是 、 、 、 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，
分类求解是解题的关键．
3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线 （ 、 、 是常数， ），若
，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系 ，抛物线 是黄金抛物线，与
轴交于点 ，顶点为 ．(1)求此黄金抛物线的表达式及 点坐标；
(2)点 在这个黄金抛物线上．
①点 在这个黄金抛物线的对称轴上，求 的正弦值．
②在射线 上是否存在点 ，使以点 、 、 所组成的三角形与 相似，且相似比不为1．若存
在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)① ，②存在，
【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出 值，进而求出顶点 的坐标即可；
（2）①将点 代入解析式，求出 的值，求出对称轴，得到 的值，进而求出 的长，勾
股定理逆定理，得到 ，利用正弦的定义，求解即可；
②分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，
是解题的关键．
【详解】（1）解： 抛物线 是黄金抛物线，
，所求抛物线的表达式为 ，
配方得： ，
点 的坐标为 ；
（2）①由（1）得：抛物线 的对称轴是直线 ，
点 的坐标为 ，
点 在这个黄金抛物线 上，
，
，
点 的坐标为 ，
，
，
，
，
，
．
②存在
过点 作 ，垂足为抛物线 与 轴交于点 ，
点 的坐标为(0,4)，
点 的坐标为 ，
，
，
点 的坐标为 ，
，
，
，
，
要使以点 、 、 所组成的三角形与 相似，有两种情况
第一种： ，
又 ， ，
∴ 与 全等，相似比为1，不合题意，舍去；
第二种： ，
∵ ，
，
，
，
， ，，
点 在射线 上，
点 的坐标为 ．
压轴满分题十三、二次函数应用（拱桥、投球、喷水）问题
1．（23-24九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，
拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系 的原点 是桥
拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点， 轴在水面截线上； 是警戒线，拱顶到 的距离为1.8
米．
(1)求桥拱截线所在抛物线的表达式；
(2)求达到警戒线 位置时水面的宽度．
【答案】(1) ；
(2)达到警戒线 位置时水面的宽度为12米．
【分析】（1）由题意可得，抛物线与 轴的交点为 ， ，顶点坐标为 ，设抛物线解析式
为 ，再将 代入求解即可；
（2）将 代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，抛物线与 轴的交点为 ， ，顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为将 代入可得 ，解得 ，
即
（2）解：由题意可得， 、 两点的纵坐标为 ，
将 代入 ，可得 ，
化简可得 ，
解得： ，
即 ，
则 米，
答：达到警戒线 位置时水面的宽度为12米．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式．
2．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是 ，
小丁站在距篮圈中心水平距离 处的点 跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过
程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离
地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
(1)第一次训练时，篮球的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离 /m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度 /m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
①在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求 与 满足的函数解
析式；
③已知篮网长 ，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”
“三不沾”）(2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达
到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m
【答案】(1)①见解析②3.6米； ③擦网而过
(2)2.075
【分析】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式．
（1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象；
②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为 ，然后由待定系数法求出函数解析式；
③当 时求出y的值与3.05比较即可；
（2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把
代入解析式求出m即可．
【详解】（1）解：①描点，连线，作出函数图象，
②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米，
由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为 ，
∴设抛物线解析式为 ，
把 代入解析式得： ，
解得 ，
∴y与x满足的函数解析式为 ；③当 时， ，
又
而 ，
∴小石第一次投篮练习擦网而过；
故答案为：擦网而过；
（2）解：根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为 ，
∵第二次篮球运行的抛物线经过 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 米，
答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高2.075米．
故答案为：2.075．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在
水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分． 若记
水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米． 下表中记录了d与h的五组数据：
d
0 1 2 3 4
（米）
h
0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（米）
根据上述信息，解决以下问题：
(1)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则 ________；
(2)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通
过． 如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖
直距离均不小于0.5米． 已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（保留一位小数）．
【答案】(1)
(2)2.1米，理由见解析
【分析】（1）根据表格中的数据求出抛物线对称轴即可得到答案；
（2）求出抛物线解析式为 ，设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：
，此时对称轴不变，根据由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值大于 ，
则 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，建立坐标系，
∵当 时， ， 时， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵当 时， ，
∴水柱最高点距离湖面的高度为 ，即 ，
故答案为： ；
（2）解：设 ，
将 代入 得： ，
解得 ，
∴h与d函数表达式为 ；设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为： ，此时对称轴不变，
由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值大于 ，
∴ ，
解得 ，
∴水管高度至少向上调节 米，
由表中数据可知水管高 米，
∴ （米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．
【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键
在于掌握由二次函数的图像建立二次函数模型．
压轴满分题十四、二次函数应用（销售、增长、图形）问题
1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省 总值约为10000亿元，第三季度的
总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省 总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的 总值能否突破12000亿元？并说明理
由．
【答案】(1)5%
(2)能突破，理由见解析
【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的 总值 第二季度、第三
季度我省GDP总值的增长率 ，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用预计2023年第一季度我省的 总值=2022年第三季度我省的 总值 每季度我省
总值的增长率 ，可求出预计2023年第一季度我省的 总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结
论．
【详解】（1）设第二季度、第三季度我省 总值的增长率为 ，根据题意得
，解得 ， （不合题意，舍去），
答：第二季度、第三季度我省 总值的增长率为5%；
（2）到2023年第一季度，我省的 总值能突破12000亿元，
理由：2023年第一季度我省 总值为 （亿元） （亿元），
∴到2023年第一季度，我省的 总值能突破12000亿元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）某种新产品进价是 元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的
日销售量（件）始终存在下表中的数量关系．
每件售价（元）
每日销售量（件）
(1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系；
(2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到 ；
(3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？
【答案】(1)售价每上涨1元，日销售量就减少l件
(2)定价为 或 元
(3)定价 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的
应用是解题的关键．
（1）由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件；
（2）设每件产品涨价 元，则销售价为 元，日销售量为 件，依题意得，
，计算求出满足要求的解即可；
（3）设每日盈利 元，每件产品涨价 元，依题意得， ，
由 ，可得当 时，盈利最大，然后求定价即可．
【详解】（1）解：由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件；
（2）解：设每件产品涨价 元，则销售价为 元，日销售量为 件，依题意得， ，
解得， ， ，
∴每件产品涨价 或 元，即定价为 或 元时，每日盈利可达到 ；
（3）解：设每日盈利 元，每件产品涨价 元，
依题意得， ，
∵ ，
∴当 时，盈利最大，
∴每件商品定价为 元时，每日盈利可达到最大值 元．
3．（23-24九年级·湖北·假期作业）如图，矩形 中， ， ，点P从A开始沿
边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分
别是从A，B同时出发，求经过几秒时，
(1) 的面积等于8平方厘米？
(2)五边形 的面积最小？最小值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒；
(2)3秒时，五边形 的面积最小，最小值是63平方厘米．
【分析】（1）设运动时间为t，则 ， ，再由面积公式建立方程求解即可；
（2）由（1）可得： 要使 的面积有最大值，则要使 取最大值，
则此时 ，面积为9， 则此时五边形 的面积最小，从而可得答案．【详解】（1）解：设运动时间为t，则 ， ，
则 ，
解得： 或 ．
经过2秒或4秒时， 的面积等于8平方厘米．
（2）解： 由（1）可得： ；
要使 的面积有最大值，则要使 取最大值，则此时 ，面积为9，
则此时五边形 的面积最小，最小值为 ．
【点睛】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程以及二次
函数的性质是解本题的关键．
压轴满分题十五、根据旋转的性质求解
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将三角形 绕点O顺时针旋转，得到三角形 （点C落
在三角形 外），若 ， ，则最小旋转角度是（ ）
A． B．30° C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，正确得出 的度数是解题的关键．
先根据角的和差求得 的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕着点O顺时针旋转得到 ，
∴最小的旋转角为 ．
故选： C．2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图， 为正方形 内一点， ， ， ，
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ．延长 交 于点 ，连接 ， 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方
形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得， ，可
得出四边形 为正方形，可得 5．在 中，由勾股定理得，
，则 ．在 中，由勾股定理得，
，进而可得答案．
【详解】解：由旋转得 ，
四边形 为矩形，
四边形 为正方形，
在 中，由勾股定理得， ，
在 中，由勾股定理得， ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）如图， 绕着顶点 逆时针旋转到 ， ，
， ，求 的度数．【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，由旋转可得 ，
，即得 ，再根据平行线的性质得到 ，又由三角形
内角和定理可得 ，最后根据角的和差关系计算即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转可得 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
压轴满分题十六、坐标与旋转规律压轴题
1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，正方形 的中心与坐标原点O重合，将顶点 绕点
逆时针旋转 得点 ，再将 绕点B逆时针旋转 得点 ，再将 绕点C逆时针旋转 得点
，再将 绕点D逆时针旋转 得点 ，再将 绕点A逆时针旋转 得点 ⋯依此类推，则点
的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转图形找到规律4个一循环再在同一条线上，且根据等腰直角三角形性质可得斜边长逐渐
增加 ，即可得到点的坐标关系，即可得到答案
【详解】解：过点 作 轴于E，过点 作 轴于F，过点 作 轴于G，过点 作
轴于H，过点 作 轴于K，
∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ，
∵ 轴， 轴， 轴， 轴， 轴，
∴新得到的三角形都是等腰直角三角形，可得 ， ， ， ， ， ，
故选B
【点睛】本题考查图形规律，正方形的性质，旋转的性质，直角等腰三角形的性质，解题的关键是根据题
意作出辅助线找到规律．
2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的
中心与原点 重合， 轴，交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋
转结束时，点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，
再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可．
【详解】解：∵正六边形 边长为2，中心与原点O重合， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为 ，
第2次旋转结束时，点A的坐标为 ，
第3次旋转结束时，点A的坐标为 ，
第4次旋转结束时，点A的坐标为 ，
∴4次一个循环，
∵ ，
∴第101次旋转结束时，点A的坐标为 ．
故答案为： ．3．（23-24九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，矩形 如图所示放置，点 在x轴上，
点 的坐标为（2，1）．将此矩形绕点 逆时针旋转90°，得到矩形 ．
（1）求过点 、 、 的抛物线的解析式；
（2）将矩形 沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．
【答案】（1） （2，0）、 （0，2）、 （－1，0）; ；（2）
【分析】（1）先根据图象和题意求得点 、 、 的坐标，再利用待定系数法代入抛物线一般式
求得解析式；
（2）设线段BC与抛物线的交点为P（m，1），将点P（m，1）代入抛物线解析式可得关于m的一元二
次方程，解方程即可求解.
【详解】解：（1）∵四边形OABC和四边形 都是矩形，
∴OA＝OB， ,
∵B（2，1）
∴A（2,0）
∵矩形 是矩形OABC旋转90°得到的
∴矩形 ≌矩形OABC
∴ ，
故 ，
设抛物线解析式为 ，将点 、 、 的坐标代入得：解得：
故抛物线解析式为：
（2）设线段BC与抛物线的交点为P（m，1）
将点P（m，1）代入抛物线解析式可得： 即
解得 （负数舍去）
故矩形 沿x轴正方向平移 个单位使点C落在抛物线上.
【点睛】本题主要考查图形的旋转、二次函数图象及其性质、二次函数解析式、矩形的性质，解题的关键
是熟练掌握所学知识.
压轴满分题十七、旋转综合压轴题
1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上的点，且
．将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知， ， ；由 和四边形 是正方形，
可得 ，从而得出 ，利用 得出 ，即可求解；
（2）由 得 ，正方形 的边长为 ，从而求出 ，根据求出 的长，设 ，则 ，在 中，由
勾股定理得：
，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
则 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟
练掌握相关的定理及性质．
2．（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形 和正方形 按照图
方式摆放，点 ， ， 在同一条直线上，点 在CD上．(1)操作与发现
如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转 ．
①当 时，求 ， ， 的度数；
②正方形 旋转过程中，你发现 与 的有何数量关系？ 与 的有何数量关系？
请直接写出你发现的结论，不需要证明．
(2)类比探究
如图3，将正方形 绕点 顺时针旋转 ．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说
明理由．
【答案】(1)① ； ；②
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算；
（1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解；
②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解：①∵ ，四边形 是正方形，
∴ ，
；
②∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊
的四边形，如图1，在四边形 中， , ，我们把这种四边形称为“等补四边
形”．如何求“等补四边形”的面积呢？探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形” 绕点A顺时针旋转 ，
可以形成一个直角梯形（如图3）．若 ， ,则“等补四边形”的面积为
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形” ，若 ，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转 ，再将得
到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若 ， ,则“等补
四边形” 的面积为 ．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道 ， 的长度，就可以求它的面积．那么，
如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形” ，连接 ，将 以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使
与 重合，得到 ，点C的对应点为点 ．
①由旋转得： ，因为 ，所以 ， 即点 ，B，C在同一直
线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即 ．
②如图7，在 中，作 于点H，若 ， ，试求出“等补四边形” 的面
积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；② ，理由见解析【分析】（1）通过旋转变换可得四边形面积等于直角梯形面积的一半，结合题意求直角梯形的面积即可
求解；
（2）通过旋转变换可得四边形面积等于等边三角形的面积的 ，根据等边三角形的性质可求得
， ，根据 角的直角三角形的性质可得 ，根据勾股定理求得等边三角形的高，
求出等边三角形的面积，即可求解；
（3）①根据旋转的性质即可求解；
②通过旋转变换可得四边形面积等于等腰三角形面积，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：由题意“等补四边形” 的面积 ．
故答案为：9．
（2）解：过点 作 交于点 ，如图：
根据题意可得 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
则 ，
故“等补四边形” 的面积 ．
故答案为： ．
（3）解：①由旋转的性质可知， ，
故答案为： ．②：由旋转的性质可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“等补四边形” 的面积 的面积 ．
【点睛】本题考查了旋转变换，直角梯形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，含 角的直角三
角形的性质，三角形的面积公式等，解题的关键是利用旋转变换把求不规则图形的面积转化为求规则图形
的面积．
压轴满分题十八、中心对称
1．（24-25九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系 中，点 关于原点对称的点的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据 关于原点对称的点的坐标为 求解，即可解
题．
【详解】解： 点 关于原点对称的点的坐标为 ，
故选：B．
2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，
发现它关于点 中心对称．若点 ， ， ，……， ，
都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是
．【答案】
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出 ，
进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，即可求解．
【详解】解：∵这 个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 即 ，
∵ ，
当 时， ，即 ，
∵ 关于点 中心对称的点为 ，
即当 时， ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·全国·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1）， 的顶点均在格
点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：(1)作出 绕点A逆时针旋转 的 ，再作出 关于原点O成中心对称的 ．
(2)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(3)求 的面积．
【答案】(1)画图见解析，
(2) ，
(3)
【分析】此题考查了旋转变换，作中心对称图形，坐标与图形面积，掌握旋转和中心对称图形的性质是解
题的关键．
（ ）根据旋转的性质和中心对称图形的性质分别确定旋转后的对应点，再作图即可；
（ ）直接利用（ ）中所画图形写出坐标即可；
（3）利用长方形面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； 即为所求；（2）解：由（ ）图可得， ， ．
（3）解： 的面积为 ．
压轴满分题十九、圆的周长和面积问题
1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在 中， ， ， ， 的
面积为 ，点M，N分别在 、线段 上运动，则 长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点O作 ，交 于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时， 长度的最小即
为线段 的长度，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出 ，再由等面积法确定，由圆的面积得出 ，结合图形即可得出结果．
【详解】解：过点O作 ，交 于点P，当点M与点P重合，点N与点C重合时， 长度的最
小即为线段 的长度，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ 的面积为 ，设半径为r，
∴
，
，
即 长度的最小值为❑√3，
故选：C．
【点睛】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，圆
的面积等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑
道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长
m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达
同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）．【答案】 6.28 6.28
【分析】利用各跑道直线跑道相等，每条跑道宽1m，两个半圆相加得一个整圆列出式子对比即可．
【详解】解：设直线部分长为l米
1号：
2号：
3号：
4号：
2号比1号长：
4号起点比2号起点前移：
故答案为：6.28，6.28
【点睛】本题考查了列代数式，圆的周长公式，整式的加减等知识点，熟练掌握是解题的关键．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美
观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：
方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为
直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的 ，他做了
1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了 ，结
果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
【答案】(1) 米
(2)不能省材料，理由见解析
(3)甲得到280元，乙得到320元
【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题．
（1）根据圆的周长公式： ，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可；
（2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比
较即可；
（3）根据甲每天能完成工程的 可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求
出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数．
【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米，
∴两个小圆花坛的直径为 （米），
∴修两个花坛的周长为 （米）．
故答案为： 米
（2）解：不能省材料，理由如下：
根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为：
（米），（米），
它们的周长之和为 （米）
∴方案B与方案A修的花坛的周长相等，
∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料．
（3）解：整项工程为 （米），
甲原来每天可以修 （米），
甲总共修了 （米），
甲得到的工资为 （元）；
乙总共修了 （米），
乙得到的工资为 （元），
答：甲得到280元，乙得到320元．
压轴满分题二十、垂径定理的实际应用
1．（2024·广西南宁·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一
寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木
材，锯口深1寸( 寸)，锯道长1尺 尺 寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根
据所学知识计算：圆形木材的直径 是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为 寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论．
【详解】解： ，
（寸） ．
设圆的半径为 寸，则 寸，寸，
，
，
解得： ．
圆柱形木材的直径 是 （寸）．
故选：C
2．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，
圆心为O，跨度 （弧所对的弦）的长为8米，拱高 （弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的
半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆 ，支撑杆 的高
度为 米．
【答案】 5 1
【分析】本题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，解题关键是矩形判定定理和垂径定理
的应用．
根据垂径定理的推论得到圆心 在 的延长线上，设 的半径为 米，则 米．由垂径定理
得到 米．由勾股定理得 ，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；过
点作 于 点，连 ，先求出 ，证明四边形 为矩形，则 ．
，求出 ．根据四边形 为矩形即可得到答案．
【详解】解： 垂直 ，点C是弧 中点，
圆心 在 的延长线上．
设 的半径为 米，则 米．
，
（米 ．
，即 ，
解得 ．
过 点作 于 点，连接 ．
米，
（米 ．
，
四边形 为矩形，
， ，
（米 ．
米，
米．
米．
故答案为：5；1．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 称跨度，桥面最高
点到 的距离 称拱高，当 和 确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已
知这座桥的跨度 米，拱高 米．
(1)如图1，若设计成抛物线型，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，求此函数表
达式；
(2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，
判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．【答案】(1)
(2)12.5米
(3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见
解析
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为 ，将点 代入，求出 的值，即可确定函
数的解析式；
（2）设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ，在 中， ，解得 ，
即可求该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）①若设计成抛物线型时，当 时， ，由 米 米，可知货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，设 米，过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，
连接 ，在 中， ，求出 米，可得 米，再由2.5米 米，即可
判断货船能顺利通过该桥．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
，
设抛物线的解析式为 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
即 ；
（2）解：设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ，
，，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）解：①若设计成抛物线型时，当 时， ，
米 米，
货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，
设 米，
过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，连接 ，
米，
在 中， ，
，
米，
米，
米，
米 米，
货船能顺利通过该桥．
【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，
垂径定理，勾股定理是解题的关键．
压轴满分题二十一、利用弧、弦、圆心角的关系求解与求证
1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知 和 是 的两条等弦， ， ，垂足分别为点 ， ， ， 的延长线交于点 ，连接 ．则下列说法：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．连接 ， ，由 可得 ，再证明
和 即可判断相关结论.
【详解】解：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，∴ ， ，故④正确；
∵ ，
∴ ，故③正确.
综上，四个选项都正确，
故选：D．
2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是 的中点，点P
是直径 上一动点，若 的直径为2，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，由三角形两边之和大于第三边即
可得出此时 最小，连接 ，根据点 是半圆上一个三等分点、点 是 的中点，即可得
出 ，再利用勾股定理即可求出 的值，此题得解．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角
形的三边关系确定 取最小值时点 的位置是解题的关键．
【详解】解：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
此时 最小，连接 ，如图所示．
点 和点 关于 对称，
．
点 是半圆上一个三等分点，点 是 的中点，
， ，．
，
．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知， 内接于 ， 为 的直径，点D为优弧
的中点．
(1)如图1，连接 ，求证： ；
(2)如图2，过点D作 ，垂足为E．若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长 交 于F，根据圆心角定理的推论及线段垂直平分线的判定定理可得 ，
即 ；
（2）连接 并延长交 于F，易得 ，进而可得 ，再证明 ，
根据全等三角形的性质得到 ，然后在 中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，延长 交 于F，连接BD，CD， ，
∵点D为优弧 的中点，
∴ ，，
∴点D在线段 的垂直平分线上，
，
∴点O在线段 的垂直平分线上，
是线段 的垂直平分线，
，即 ；
（2）解：连接 并延长交 于F，
设 的半径为x，
∵点D为优弧 的中点， ， ，
∴ ，
由（1）得， ，
∴ ，
，
，
， ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
的半径为 ．【点睛】本题主要考查圆心角定理的推论、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理
等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
压轴满分题二十二、圆周角
1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接 ，由 是 的直径可得
，再利用圆周角定理可得 ，最后利用三角形内角和定理即可得出 的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
是 的直径，
，
又 ，
．
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化
学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅，如图，在其圆形边缘上的点 处安装了一台监视
器，它的监控角度是 ，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是 度，由此
可得出答案，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为： ，
∵ ，
∴最少需要 台，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，以 的一边 为直径的 与其它两边 的
交点分别为 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 的半径为 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）连接 ，由圆周角定理可得 ，由弧弦圆心角的关系可
得 ，即得 ，进而由余角性质可得 ，即可求证；
（ ）由等腰三角形的性质可得 ， ，利用勾股定理可得 ，
根据三角形面积可得 ，进而由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是
解题的关键．
压轴满分题二十三、点和圆的位置关系1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知P是 外一点，Q是 上的动点，线段 的中点为
M，连接 ，若 的半径为4， ，则线段 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
设 与 交于点N，连接 ，如图，由题意可知ON＝ OP，从而可知MN为△POQ的中位线，
由三角形中位线的性质可知 ；当点M、O、N在一条直线上时， 有最小值，接下
来依据 求解即可．
【详解】解：设 与 交于点N，连接 ，如图，
∵ ， ，
∴N是 的中点．
∵M是 的中点，N是 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上．
∵当点M在 上时， 最小，
∴线段 的最小值为 ．
故选：A．2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图， 是等边 的外接圆，点D是 上一动点（不与
A、C重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④当 时，
，其中一定正确的结论有 ．（填写结论序号）
【答案】 /
【分析】①本题③主③要①考查了圆周角定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得
， ，再由圆周角得到 ，故①正确；根据点
D是 上一动点，可得 不一定等于 ，故②错误；当 最长时， 为 的直径，可得
，再由圆周角定理得到 ，可得 ，可得 ，故③正确，
取 中点 ，可得 ，得到 ，推出 ，由
，得到 ，判断④错误．
【详解】解：∵等边 ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
∵点D是 上一动点，
∴ 不一定等于 ，
∴ 不一定成立，故②错误；
当 最长时， 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；取 中点 ，连接 ， ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④错误；
综上可知，正确的有①③．
故答案为：①③．
3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点 到直线 的距离为5，以点 为圆心，
为半径画圆．探究、归纳：
(1)当 ________________时， 上有且只有一个点到直线 距离等于3；
(2)当 ________________时， 上有且只有三个点到直线 距离等于3；
(3)随着 的变化， 上到直线 的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的 的值或取值范围
（不必写出计算过程）．
【答案】(1)2
(2)8
(3)当 ，无距离等于3的点，当 ，有且只有一个距离为3的点，当 ，有且只有两个距离为
3的点，当 ，有三个，当 ，有四个【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）根据垂线段最短，则要使 上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂
线段与圆的那个交点，此时圆的半径是 ；
（2）根据点O到直线l的距离为5，要使 上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的
两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是 ；
（3）结合上述两种特殊情况分 、 、 、 、 五种情况即可解答．
【详解】（1）解：如图： 上有且只有一个点到直线 距离等于3，即 ．
故答案为：2．
（2）解：如图： 上有且只有三个点到直线 距离等于3，即 ．
故答案为8．
（3）（3）当 时， 上没有点到直线l的距离等于3，
当 时， 上有且只有1个点到直线l的距离等于3，
当 时， 上有且只有2个点到直线l的距离等于3，
当 时， 上有且只有3个点到直线l的距离等于3，
当 时， 上有且只有4个点到直线l的距离等于3．
压轴满分题二十四、直线和圆的位置关系
1．（2024·陕西西安·一模）在 中， ， ， ．若 与 相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质，
根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到 和 的长度，再根据 与 相离可知半径小于点C
到 的距离，即可进行求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
∴ ，
∵
∴ ，解得： ，
∴
设点C到 的距离为h，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵若 与 相离，
∴
故选：C．
2．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系 中，对于直线 ： ，给出如下定义：若直线 与某个
圆相交，点 的坐标为 ，若 的半径为 ，直线 关于 的“圆截距”的最小值为 ，则
的值为 ．【答案】
【分析】如图所示，设直线 与 交于 ，过点 作 于 ，连接 ，先证明当点 与点
重合时， 最小，即此时 最小，再由 求出 ，可得 ，解得 ．
【详解】解：如图所示，设直线 与 交于 ，过点 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴当 最小时， 最大.
∵ ，
∴当点 与点 重合时， 最大，∵直线 关于 的“圆截距”的最小值为 ，即 ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理
解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
3．（23-24九年级上·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系 中的两个图形 与 ，给出如下定义： 为
图形 上任意一点， 为图形 上任意一点，如果 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图
形 间的“和睦距离”，记作 ，若图形 有公共点，则 ．
(1)如图（1）， ， ，⊙ 的半径为2，则 ， ；
(2)如图（2），已知ΔABC的一边 在 轴上， 在 上，且 ， ， ．
① 是ΔABC内一点，若 、 分别且⊙ 于E、F，且 ，判断 与⊙ 的位置
关系，并求出 点的坐标；
②若以 为半径，①中的 为圆心的⊙ ，有 ， ，直接写出 的取值范围
．【答案】（1）2， ；（2）① 是⊙ 的切线， ；② 或
．
【分析】（1）根据图形M，N间的“和睦距离”的定义结合已知条件求解即可．
（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．首先证明∠CBO＝30 ，再证明DH＝DE即可证明
是⊙ 的切线，再求出OE,DE的长即可求出点D的坐标．
②根据 ， 得到不等式组解决问题即可．
【详解】（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，
∴d（C，⊙C）＝2，
d（O，⊙C）＝AC−2＝ ，
故答案为2； ；
（2）①连接 ，作 于 .设 ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是⊙ 的切线，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是⊙ 的切线．
∵ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
②∵
∴B（0， ）
∴BD=
由 ， ， 得
解得 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了图形M，N间的“和睦距离”，解直角三角形的应用，切线的判定和
性质，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．压轴满分题二十五、圆的综合应用压轴题
1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图， 的直径 交 于P，P是 的中
点．
(1)求 的长；
(2)过点 作 ，垂足为 ，求证：直线 是 的切线．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【分析】（1）连接 ，由直径可得 ，进而得出 ，再结合线段中点，即可求出 的
长；
（2）连接 ，由垂直平分线的性质，得到 ，进而得出 ，结合垂线的定义，得
出 ，由等边对等角的性质，得到 ，从而得出 ，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
是直径，
，
，
，
，
P是 的中点，
；
（2）证明：如图，连接 ，
，P是 的中点，垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 是半径，
直线 是 的切线．
【点睛】本题考查了圆周角，勾股定理，垂直平分线的判定风信子，等腰三角形的判定和性质，圆的切线
的判定定理，掌握圆的相关性质是解题关键．
2．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）已知顶点为M（1， ）的抛物线 经过点C（0，
4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
(1)求抛物线的解析式；(2)若P（ ， ），Q（ ， ）是抛物线上的两点，当 ， 时，均有 ，求m的
取值范围；
(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心
为I，试求CI的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)CI的最小值为
【分析】（1）利用顶点式求抛物线的解析式；
（2）由已知并结合函数图象可得： ，求解即可；
（3）连接DI，AI，OI，根据内心定义得到∠DIA=135°，证明 ，得到
∠OIA=∠DIA=135°，确定I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，求出N（2，－2），连
接NC得到 ，当C、I、N三点共线时，CI最小，即可求出CI的最小值．
【详解】（1）设抛物线的解析式为 ，
将C（0，4）代入，得 ．
∴ ，
∴ 抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）知，函数的对称轴为：x=1，则x=5和x=－3关于对称轴对称，故其函数值相等，又
， 时，均有 ，
结合函数图象可得： ，解得： ；
（3）连接DI，AI，OI，
∵I为△ADG的内心，所以∠DIA=135°，∠DAI=∠OAI，
又∵IA=IA，DA=OA，
∴ ，
∴∠OIA=∠DIA=135°，
∴I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，
又A（4，0），OA=4，
∴在等腰Rt△AON中， ，
∴ N（2，－2）， ，
连接NC，
∴ ，
∴当C、I、N三点共线时，CI最小，
∴CI的最小值为 ．
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，待定系数法求抛物线的解析式，三角形内心的理解，三点共线问
题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）[感知]如图①， 为等边 的外接圆． 为 的直径，线
段 与 交于点E，探究线段 的数量关系．
小明同学的做法是：过点C作 的垂线交 延长线于点F，连接 ．易证 ．进而得出
， ．则线段 的数量关系是：
______．
[探究]如图②，等腰三角形 中． ， 为 的外接圆，D为弧 上一点， 于
E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由．[应用]如图③， 是 的外接圆， 是直径， ．点D在 上，且点D与点C位于线段
两侧，过点C作线段 的垂线，交线段 于点E，若点E为 的三等分点，则 的值为______．
【答案】[感知] ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用]
【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性
质，等边三角形的判定和性质：
[感知] 过点C作 的垂线交 延长线于点F，连接 ，证明 ， ，即可
求解；
[探究] 过点C作 的垂线交 延长线于点G，连接 ，证明 ， ，即可
求解；
[应用] 过点C作 的垂线交 延长线于点H，可证明四边形 是矩形，再由四边形 是
的内接四边形，可证明 ，可证得 ，从而得到 ， ，可证
明四边形 是正方形，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：[感知]过点C作 的垂线交 延长线于点F，连接 ，
∵ 为等边 的外接圆，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
[探究] 上述结论成立，证明如下：
如图，过点C作 的垂线交 延长线于点G，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
[应用]如图，过点C作 的垂线交 延长线于点H，
∵ 是直径， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵点E为 的三等分点，点D与点C位于线段 两侧，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
压轴满分题二十六、正多边形和圆的综合应用
1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图，正 内接于半径为1的圆，则阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查的是正多边形与圆、等边三角形的性质和直角三角形的性质，掌握正多边形中心的性质、
等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键．连接 、 ，延长 交 于点D，根据题意可知：O为 的中心， ， ，
从而求出 ，然后根据 所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出 和 ，然后根
据垂径定理求出 ，最后根据 即可求出结论．
【详解】解：连接 、 ，延长 交 于点D，
∵正 内接于半径是1的圆，
∴O为 的中心， ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
，
∴ ， ，
∴
故选：A．
2．（24-25九年级上·福建福州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆
术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图， 的半径为1，如用 的内接正十二边形面积来近似
估计圆的面积，则可得 的近似值为3．若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得 的近似值为 ．（参考数据： ， ，结果精确到0.1）
【答案】2.8
【分析】此题重点考查正多边形和圆、勾股定理、近似数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
设正八边形 是 的内接正八边形， 的半径为1，连接 ，作 于点 ，
则 ，所以 ，由 ，求得 ，则 ，
所以 ，则 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，正八边形 是 的内接正八边形， 的半径为1，连接 ，作
于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2.8．3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为 的
扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．
若正多边形为正三角形，扇形的圆心角 时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形 的
边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m；
(1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角 时，
①如图3，求正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的长度；
②如图4，正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；
(2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角 为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部
分的总长度仍为定值m．
【答案】(1)① ；② ，见解析
(2) 度
【分析】（1）①根据正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的长度为 的长作答即可；
②如图1，连接 ，证明 ，则 ， ，
然后作答即可；
（2）如图2，连接 ，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）①解：由题意知， ，
∴正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的长度为 ；
②解：正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的长度为 ，证明如下；
如图1，连接 ，∵ 为正方形 的中心，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的边被扇形纸板覆盖部分的长度为 ；
（2）解：如图2，连接 ，
∵正五边形 ，
∴ ，
∴当扇形纸板的圆心角 为 时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练
掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
压轴满分题二十七、弧长和扇形面积
1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在 中， ，以 为直径的 与 分别交于点 ，
连接 ， ，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接 ， ，证明
，可得 ，求解 ，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即点E是 的中点，
∵点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家的非物质文化遗产之一．
如示意图， 分别与 相切于点C、D，延长 交于点P．若 ， 的直径为
，则 的长为 ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题主要考查弧长的计算公式、切线的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
连接 ，求出圆心角 的度数，然后根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 分别与 相切于点C，D，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．3．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一
平面上．如图， 表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边 在水平线l上， 为等边三角形， ，
与 分别交于P，Q两点．点C，D是 上两点， ，过O作 于点E，交 于点
F，交 于点M．已知 ， ， ．
(1)求 的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积；
（1）连接 ，先证明 ，再由垂径定理得到 ，然后设 的半径 ，在
中，利用勾股定理得到 ，列方程计算即可；
（2）由 ，求出等边三角形 的边长，再分别求出 ， ，最后根据
计算即可．
【详解】（1）解∶∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，如图，连接 ，
设 的半径 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径为 ；
（2）解∶∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
，
，
．压轴满分题二十八、概率
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞镖落
在原盘内各点的机会相等．则飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查几何概率，正多边形与圆，求出阴影部分正方形的面积是关键．设 ，则圆的直
径为 ，求出阴影部分正方形的面积，再结合概率公式求解，即可解题．
【详解】解：记阴影部分正方形为 ，
连接 ， 交于点 ，
， ，
设 ，则圆的直径为 ，
， ，
正方形 的面积为 ，
正方形 的面积为 ，
飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为 ，
故选：C．2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的
钉子， 、 、 … 、 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口 处投放
一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右
两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内，则圆球落入③号槽内的概率为 ．
【答案】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据题意画出该过程的树状图，写出所有可能的情况，
即可求圆球落入③号槽内的概率．
【详解】解：根据题意，画出如下树形图，
共有8种等可能情况，其中落入③号槽的有3种，
P（落入③号槽） ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了
解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果
分为四个等级， 等：优秀； 等：良好； 等：及格； 等：不及格），并将结果汇成了如图 所示
两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次抽样测试的学生人数是______人；
(2)图 扇形图中 等所在的扇形的圆心角的度数是______；
(3)我校九年级有 名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______人；
(4)已知得 等的同学有一位男生，体育老师想从 位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用
列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)选中的两人刚好是一男一女的概率为 ．
【分析】（ ）根据B级的人数除以 级所占的百分比，可得答案；
（ ）先求出 等级的人数，再求出 等级所占比例，根据圆周角乘以 等级所占的比例，可得扇形的圆
心角；
（ ）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以 级所占的比例，可得答案；
（ ）根据题意画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可；
本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统
计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．
【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数为 （人），
故答案为： ；
（2）解： 等级的人数为 （人），
∴ 等所在的扇形的圆心角的度数 ，
故答案为： ；
（3）解： （人），
故答案为： ；（4）解：画树状图为：
∴共有 种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为 ，
∴选中的两人刚好是一男一女的概率 ．
1．（24-25九年级上·四川成都·期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键．
把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可．
【详解】解： ，
．
故选A．
2．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转至 ，连接
，若 ， ，则线段 的长度为（ ）A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 于 ，由旋转性质得到 ，从而得到 是等腰三角形，结合等腰三
角形性质确定 是线段 的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到
，进而由全等性质得到 ，在 中，由勾股定理求解即可得到答
案．
【详解】解：过点 作 于 ，
∵将边 绕点 逆时针旋转至点 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ， ，
，
，
∴ ， ，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，
∵在 中， ， ，∴ ，
．
故选：D
【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性
质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运
用相关几何性质求解是解决问题的关键．
3．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，二次函数 的图象与 轴负半轴交于
，对称轴为直线 ，有以下结论，其中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若点 均在函数图象上，则
D．对于任意实数 ，都有
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键．该二次函
数的图象的对称轴为 ，则 ，由图象可知， ，即可判断A；根据图象可知，当
时， ，即可判断B；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大， 值越大，即可判断C，根据
时函数取得最小值，即可判断D，即可求解．
【详解】解：A、∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为 ，∴ ，
∴ ，
由图象可知， ，
∴ ，
∴ ，故A不正确；
B、根据图象可知，当 时， ，故B不正确；
C、∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大， 值越大，
又∵ ，
∴ ，故C不正确；
D、∵ 时函数取得最小值，
∴ ，
∴ ，故D正确
故选：D．
4．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知 是边长为3的等边三角形， 的半径为1， 是 上
一动点， ， 分别切 于点 ， ， 的另一条切线交 ， 于点 ， ，则 周长
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接 ， ，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得 ，根据垂线段最短可得，当 时， 最小，求出 最小值为 ，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时
，即可得出 ，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接 ， ，设 切 于G，
∵ ， 分别是 的切线，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 周长 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时，l最小，当 最大时，l最大；
根据垂线段最短可得，当 时， 最小，
∵ 是边长为3的等边三角形， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时 ，∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定
理和切线性质、勾股定理求得 ，以及当 时， 最小，点D与点B（或C）重合时，
AD最长是解题的关键．
5．（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）已知一元二次方程 有一个根为 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，熟练掌握相关运算方法是解本题的关键．
把 代入方程计算即可求出 的值．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得 ，
故答案为： ．
6．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，一段抛物线 ，记为 ， 它 与
轴交于点 ， ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点
；．．．．如此进行下去，得到一“波浪线”，若点 在此“波浪线”上，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，根据函数可求出 ，从而可求出 ， ，再根据整个函数图象每隔
个单位长度，函数值就相等，由 ，即可知 的值等于 时的纵坐标，从而
得出答案．
【详解】解：当 时， ，
解得： ， ，
∴ ，
由旋转的性质知 的解析式为： ， ，
的解析式为： ， ，
，
∴整个函数图象以 个单位长度为一个周期，函数值就相等，
∵ ，
∴ 的值等于 时的纵坐标，
∴ ，
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在 中， ， ，将 绕点C
逆时针旋转 得到 ，若点M是 边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点
，则线段 长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、垂线段最短，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先利用勾股
定理可得 ，再根据旋转的性质可得 ，利用勾股定理可得 ，从而可得当 时， 的长度最小，则 长度的最小，然后利用三角形的面积公式求出 的
最小值，由此即可得．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ，
∴ ，
由垂线段最短可知，当 时， 的长度最小，则 长度的最小，
∴此时 ，
∴ ，
则线段 长度的最小值是 ，
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图正三角形 的边长为1，将线段 绕点 逆时针旋转
至 ，形成第一个扇形；将线段 绕点 逆时针旋转 至 ，形成第二个扇形；将线段 绕
点 逆时针旋转 至 ，形成第三个扇形；将线段 绕点 逆时针旋转 至 ，形成第四个扇
形……设 为第 个扇形的弧 ，则 ．
【答案】【分析】本题考查了旋转的性质，涉及弧长公式 ，从图中可以找出规律，弧长的圆心角不变
都是 ，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，……依此下去，然后按照弧长公式
计算．数形结合，找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意，从图中可以找出规律：弧长的圆心角不变都是 ，变化的是半径，第一次是半径
1，第二次半径是2，第三次半径是3，……第 次半径是 ，
根据弧长公式得：
，
，
，
，
，
当 时， ，
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程 （其
中 ，a、b、c为常数）的两根分别为 ，我们有如下发现：①若 为整数，则这个一元二次方程
的判别式 一定为完全平方数；② 满足韦达定理：即 ；③韦达定理也有
逆定理，即如果两数 和 满足如下关系： ，那么这两个数 和 是方程
的两个根．例如：若实数a，b满足 ，那么a和b是方程
的两个根，请应用上述材料解决以下问题：(1)若实数 是关于x的一元二次方程 的两个根．
①当 时，则 ___________， ___________；
②若 均为整数且 ，求m的值；
(2)已知实数p，q满足 ，求 的值．
【答案】(1)① ， ；②13
(2)39
【分析】此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别
式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键．
（1）①利用根与系数的关系求解即可；
②根据所给材料可知 为完全平方数，结合 可求出 ；
（2）根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴当 时， ， ，
故答案为： ， ；
②∵ 为整数
∴上材料可知 为完全平方数
即 为完全平方数
∵ 是整数，且
∴只有当 时满足条件．
（2）解：∵ ，
，
又∵ ，
和 可以看成是方程 的两个根，
解方程 得， 或 ，
， 或 ， ，①当 ， ， 和 可以看作是方程 的两根，
此时 ，符合题意，
；
②当 ， ， 和 可以看作是方程 的两根，
此时 ，方程无解，不符合题意；
．
10．（24-25九年级上·重庆潼南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，
且交 轴于点 ， 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 于点 ，过点 作 轴的平行线交直线
于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）将 ， 两点坐标代入抛物线解析式，可得 ，解方程组即可求出 ，
的值，进而得到抛物线的表达式；
（2）由（1）可得，抛物线的表达式为： ，先求抛物线与 轴的交点坐标，即令 ，则
，解方程即可求得点 坐标，然后再求抛物线与 轴的交点坐标，令 求 的值，即可求得点 坐标，求出直线 的表达式，由 中的几何关系可求得 ，由 中的
几何关系可求得 ，设点 的坐标为 ，则点 ，于是可得 ，
进而可得 ，然后根据二次函数的图象与系数的关系及
的图象与性质，即可得出 的最大值及此时点 的坐标．
【详解】（1）解：将 ， 两点坐标代入抛物线解析式，可得：
，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为： ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
，
当 时， ，
设直线 的表达式为y=kx+b(k≠0)，
将A(−2,0)， 代入y=kx+b(k≠0)，得：，
解得： ，
直线 的表达式为： ，
， ，
，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设点 的坐标为： ，则点 ，
，
，
，故 有最大值，
当 时， 的最大值为： ，此时点 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与 轴的交点坐标，
因式分解法解一元二次方程，求抛物线与 轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，已知两点坐标
求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，两直线平行内错角相等，等角对等边，勾股定理，整式
的加减运算，去括号，合并同类项，将 化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
11．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图1，菱形 中， ，点E为对角线 上一动点，
连接 ．
(1) 与 的等量关系是______；
(2)如图2，将线段 绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线 上
①问： 与 有怎样的等量关系？并说明理由．
②当 时，如图3，延长 交 的延长线于G，求证： ．
【答案】(1) ；
(2)① ，理由见解析；②见解析．
【分析】对于（1），根据菱形的性质可知 ，再根据“边角边”证明
，可得答案；
对于（2），延长 交 于点G，可得 ，由（1）可知 ，再根据
旋转得 ，即可得 ，然后根据三角形外角的性质得
；
对于（3），根据题意可知四边形 是正方形，可得 ，由
（2）①可知 ， 再根据 ，可得 ，然后根据直角三角形的两个
锐角互余得 ，得出 ，进而得出 ，可知
是线段 的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得 ，再根据“斜边，直角边”
证明 ，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】（1）∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ；
故答案为： ；
（2）①延长 交 于点G，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
由（1）可知 ，
∴ ．
根据旋转得 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ；
②连接 ，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ 是正方形，
∴ ．
由（2）①可知 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，直
角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，
我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边
形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形 是等边半正六边形，那么 ，
， ，且 ．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形 是等边半正六边形．连接对角线 ，猜想 与 的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知 是正三角形， 是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)240
(2) ，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是
解题关键．
（1）六边形内角和为 ，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为 ；
（2）连接 ， ，通过已知条件可证 ，得到 ，，进一步证明证
出 ；
（3）作 、 、 的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则
就是正六边形了．
【详解】（1）解：∵六边形内角和为 ，且 ， ，
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为 ，
故答案为：240；
（2）解： ．
理由如下：连接 ， ．
六边形 是等边半正六边形．
， ．
．
．
在 与 中，
，
．
；（3）解：如图，六边形 即为所求（答案不唯一）．
作法一：
作法二： ．
