专题 05 压轴必会：找规律精讲练
学校：__________ 班级：__________姓名：__________学号：__________
考点精讲
一 数字类变化规律。
1.分组规律 总数÷周期个数=周期数+余数 余几则是周期中的第几个，无余，最后
一个。
2.数列规律: 等差数列 差*n+(首数-差) 3,7,11,15…… 4n+(3-4)=4n-1
3.等比数列： 即相邻的两个项的比值相等（后÷前）。 2,4,8,16……2n
4.差比结合 2，8，26，80…… 3n-1
5.乘积 3×2 4×3 5×4 ……（2n+1）(n+1)
6.注意：负号 （-1）n或2(n+1)
7. 三个找规律，四个来验证：即把前三个写成相同的形式，写出规律，并用第四个来
验证规律。 巧：1可用任何数（0除外）的零次幂或n/n表示。5/5；（1/2）0 ；
8. 必背公式：等差求和公式 (（首数+尾数）×个数)/2；1+3+5+……+2n-1=n2；
9. 部分题目，奇偶分开（即当个数为奇数时与偶数时规律不同）。
【典例分析】
例1：有一列数a ，a ，a ，…，a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那
1 2 3 n
个数的倒数的差，若a ＝3，则a 为（ ）
1 2020
2 1
A．2020 B．3 C． D．−
3 2
【试题分析】根据每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差多列举几个数字，
找出规律即可．
【答案详解】解：a ＝3，
1
1 2
a ＝1− = ，
2 3 3
3 1
a ＝1− =− ，
3 2 2
a ＝1﹣（﹣2）＝3，
4
..．
从上面的规律可以看出每三个数一循环，
2020÷3＝673......1，∴a ＝a ＝3，
2020 1
故选：B．
例2． 观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28
＝256…观察后，用你所发现的规律写出223的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【试题分析】通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此
规律算出第23个算式的个位数字即可．
【答案详解】解：通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，
∵23÷4＝5......3，
∴第23个算式末尾数字和第3个算式的末尾数字一样为8，
即223的末位数字是8，
故选：C．
二、 图形类变化规律
1. 掐头（去尾）变规律。如例2.
2. 利用图形的特点，找出前3个(一般最多6个)，变成数字规律。
【典例分析】
如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第 n个图形
中圆的个数为（ ）
A．4n B．4n+1 C．3n+1 D．2n﹣1
【试题分析】观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的
个数为4+3＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝10；进而发现规律，即可得第n
个图形中圆的个数．
【答案详解】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆的个数为4；
第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；
第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；
…
试卷第2页，共25页则第n个图形中圆的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1．
故选：C．
实战训练
一、数字类规律
1．已知整数a ，a ，a ，……满足下列条件，a =0，a =−|a +1|，a =−|a +2|，
1 2 3 1 2 1 3 2
a =−|a +3|……，依次类推，则a 的值为 ．
4 3 2023
【答案】−1011
【详解】解：依题意：因为a =0，a =−|a +1|，a =−|a +2|
1 2 1 3 2
∴a =−1，a =−1，
2 3
因为a =−|a +3|，
4 3
所以a =−2，
4
因为a =−|a +4|，
5 4
所以a =−2，
5
依次类推a =−|a +n−1|，
n n−1
因为a =−|a +5|=−3，a =−|a +6|=−3，
6 5 7 6
n n
所以当n为偶数时，a =− ，而a =− ，
n 2 n+1 2
2022
故a =a =− =−1011．
2023 2022 2
故答案为：−1011
2．有一列数，按照一定规律排列成1，−3，9，−27，81，……．其中第6，第7，第
8三个数的和是 ．
【答案】−1701
【详解】解：∵1=1，
−3=1×(−3)=(−3) 1，9=(−3)×(−3)=(−3) 2，
−27=9×(−3)=(−3) 3，
81=−27×(−3)=(−3) 4，
……．
∴这列数的排列规律是：第n（n为非负整数）个数为(−3) n−1，
∴第6个数为：(−3) 6−1=(−3) 5=−243，
第7个数为：(−3) 7−1=(−3) 6=729，
第8个数为：(−3) 8−1=(−3) 7=−2187，
∴第6，第7，第8三个数的和是：−243+729+(−2187)=−1701，
故答案为：−1701．
3．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性：
1=1；3=1+2；6=1+2+3；10=1+2+3+4；……若把第一个三角形数记为a ，第
1
二个三角形数记为a ，…，第n个三角形数记为a ，请计算a −a = ．
2 n 25 9
【答案】280
【详解】解：根据题意可知：a =1，
1
a =1+2=3，
2
…，
∴a =1+2+3+…+n，
n
∴a −a =1+2+3+…+25−(1+2+3+…+9)
25 9
(1+25)×25 (1+9)×9
= −
2 2
=280．
故答案为：280．
4．已知整数a ，a ，a ，a ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足下列条件∶a =0，a =−|a +1|，
1 2 3 4 1 2 1
a =−|a +2|，a =−|a +3|，⋅⋅⋅，a =−|a +n|(n为正整数)依此类推，则a 的
3 2 4 3 n+1 n 2023
值为 ．
【答案】−1011
试卷第4页，共25页【详解】a =0，
1
a =−|a +1|=−|0+1|=−1，
2 1
a =−|a +2|=−|−1+2|=−1，
3 2
a =−|a +3|=−|−1+3|=−2，
4 3
a =−|a +4|=−|−2+4|=−2，
5 4
a =−|a +5|=−|−2+5|=−3，
6 5
a =−|a +6|=−|−3+6|=−3，
7 6
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
由上可得，从第二个数开始，每两个为一组，依次出现−1，−1，−2，−2，−3，
−3，⋅⋅⋅，并且偶数个数的结果是这个数除以2的结果的相反数，奇数个数的结果与
前面偶数个数的结果相同．
因为(2023−1)÷2=1011，
所以a =−1011．
2023
故答案为：−1011．
5．已知(x−5) 2+|y+3|=0，则(x+ y) 2021的末尾数字是 ．
【答案】2
【详解】解：∵(x−5) 2+|y+3|=0，(x−5) 2≥0，|y+3|≥0，
∴(x−5) 2=0，|y+3|=0，
∴x−5=0，y+3=0，
∴x=5，y=−3，
∴(x+ y) 2021=(−3+5) 2021=22021，
∵21=2，末尾数字为2；
22=4，末尾数字为4；
23=8，末尾数字为8；
24=16，末尾数字为6；
25=32，末尾数字为2；
26=64，末尾数字为4；…
∴2n的末尾数字是2，4，8，6循环出现，
∵2021÷4=505…1，
∴22021的末尾数字与21相同，即为2，
故答案为：2．
6．把1、2、…、2000这2000个自然数任意排列为a ，a ，…，a ，使得
1 2 2000
|a −a |+|a −a |+…+|a −a |的和最大，则这个最大值为（ ）
1 2 3 4 1999 2000
A．2002000 B．2001999 C．1999999 D．1000000
【答案】D
【详解】解：先把1、2、…、20这20个自然数任意排列为a ，a ，…，a ，
1 2 20
得|a −a |+|a −a |+…+|a −a |的和最大，
1 2 3 4 19 20
(20−1)+(19−2)+(18−3)+…+(12−11)
=19+17+15+…+3+1
=20×5
=100．
发现规律：
把1、2、…、2000这2000个自然数任意排列为a ，a ，…，a ，
1 2 2000
|a −a |+|a −a |+…+|a −a |的和最大为：
1 2 3 2 1999 2000
(1+3+5+7+…+1999)
=2000×500
=1000000．
故选：D．
b2 b5 b8 b11
7．一组按规律排列的式子：− ， ，− ， ,…(ab≠0)那么第n个式子是
a a2 a3 a4
（ ）
b3n−1 b3n+1 b3n−1 bn+3
A．− B．(−1) n C．(−1) n D．
a an an (−a) n
【答案】C
【详解】解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…其规律为3n−1，
分母为a，其指数为1，2，3，4，…其规律为n，
分数符号为−，+，−，+，⋯，其规律为(−1) n，
试卷第6页，共25页b3n−1
所以第n个式子(−1) n ．
an
故选：C．
8．观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为a ，记第
1
二个数为a ，…，记第n个数为a .通过计算a −a ，a −a ，a −a ，…发现它们有
2 n 2 1 3 2 4 3
一定的规律，由此规律推算a 的值应为（ ）
100
A．5152 B．5051 C．4951 D．4852
【答案】D
【详解】根据题意，得
a −a =1−1=0（1）
2 1
a −a =2−1=1（2）
3 2
a −a =4−2=2（3）
4 3
a −a =7−4=3（4）
5 4
a −a =11−7=4（5）
6 5
……
∴a −a =98（99）
100 99
∴（1）+（2）+…+（99）=a −a +a −a +⋯+a −a =0+1+2+⋯+98
2 1 3 2 100 99
即a −a =0+1+2+⋯+98
100 1
0+98
∴a =0+1+2+3+...+98+1= ×99+1=4852
100 2
故选：D
1 1 1
9．一列数a ,a ,a ,⋯,a 其中a =−1，a = ，a = ，…，a = ，
1 2 3 n 1 2 1−a 3 1−a n 1−a
1 2 n−1
则a +a +a +⋯+a 的值为（ ）
1 2 3 2023
A．1011 B．1010 C．2022 D．2023
【答案】B
【详解】解：∵a =−1，
1
1 1 1
∴a = = = ，
2 1−a 1−(−1) 2
1
1 1
a = = =2
3 1−a 1 ，
2 1−
2
1 1
a = = =−1，
4 1−a 1−2
3
…1 1 3
∴这列数以−1， ，2这三个数不断循环出现，−1+ +2= ，
2 2 2
∵2023÷3=674……1，
∴a +a +a +……+a
1 2 3 2023
1
=−1+ +2+……+（−1）
2
3
= ×674−1
2
=1010．
故选：B．
二、图形类规律
10．如图是用◆形棋子摆成的图形，第1个图形需要8颗◆形棋子，第2个图形需要
10颗◆形棋子，第3个图形需要12颗◆形棋子，…，按照这样的规律摆下去，第n个
图形需要66颗◆形棋子，则n的值为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】B
【详解】解：由题意知，第1个图形需要8颗◆形棋子，8=2+4+2；
第2个图形需要10颗◆形棋子，10=2+5+3；
第3个图形需要12颗◆形棋子，12=2+6+4；…，
∴可推导一般性规律为：第n个图形需要◆形棋子的颗数为：
2+(n+3)+(n+1)=2n+6；
∵第n个图形需要66颗◆形棋子，
∴2n+6=66，解得n=30，
故选：B．
11．观察下图中用火柴棒摆的三角形图案，图共用3根火柴棒，图共用9根火柴棒，
图共用18根火柴棒，按这种方式摆下去，图需要的总火柴棒数是（ ）
试卷第8页，共25页A．63 B．108 C．74 D．84
【答案】D
1×(1+1)
【详解】解：图需要的总火柴棒的根数是3=3×1=3× ，
2
2×(2+1)
图需要的总火柴棒的根数是9=3×3=3× ，
2
3×(3+1)
图需要的总火柴棒的根数是18=3×6=3× ，
2
⋮
7×(7+1)
图需要的总火柴棒的根数是3× =84，
2
故选：D．
12．为庆祝“六⋅一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）．
A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n
【答案】A
【详解】由图形可知，第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8；
第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14；
第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20；
…；
第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n，
故选：A．
13．如图是用棋子摆成的图案，则第4个图中有 枚棋子，第6个图中有
枚棋子，由规律可得，第n个图中有 枚棋子．
【答案】 22 44 n2+n+2
【详解】根据图形可得，最左边一条竖线加右边一个正方形，
第n个图中有n+2+n2=n2+n+2枚棋子，
故第4个图中有42+4+2=22枚棋子，第6个图中有62+6+2=44枚棋子；故答案为：22；44；n2+n+2．
14．根据图示规律，第7个图形共有（ ）个正方形？
A．49 B．85 C．126 D．140
【答案】D
【详解】解：根据已知图形可发现以规律：
图形编 1×1的正方形个 2×2的正方形个 3×3的正方形个 4×4的正方形个
号 数 数 数 数
1 0 0 0
4 1 0 0
9 4 1 0
16 9 4 1
由此可发现：第n个图形共有正方形n2+(n−1) 2+⋯+32+22+1个．
∴第7个图形共有72+62+52+42+32+22+12=140个，
故选：D．
15．观察下列一组图形，其中图形中共有5颗黑点，图形中共有10颗黑点，图形中共
有16颗黑点，图形中共有23颗黑点，按此规律，图形⑨中黑点的颗数是（ ）
A．69 B．62 C．101 D．74
【答案】C
【详解】图形中共有5颗黑点，即：5=2+3
图形中共有10颗黑点，即：10=2+3+5
图形中共有17颗黑点，即：17=2+3+5+7
图形中共有26颗黑点，即：26=2+3+5+7+9
试卷第10页，共25页所以按照此规律，
图形n中黑点的颗数是2+3+5+7+9+……+(2n−1)+(2n+1)
所以图形⑨中黑点的颗数是2+3+5+7+9+11+13+15+17+19=101
故选：C
16．第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小
棒…，则第10个图案需要 根小棒．
【答案】51
【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有11=6+5根小棒，
第3个图案中有16=6+5+5根小棒，
……
∴第n个图案中小棒的根数为：6+5(n−1)=5n+1，
∴第10个图案中小棒的根数为：5×10+1=51，
故答案为：51．
17．下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆
第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要
枚棋子．
【答案】6n−1
【详解】解：由图可知：
第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子；
第2个这样的“小屋子”需要5+6=11枚棋子；
第3个这样的“小屋子”需要5+6×2=17枚棋子；
第4个这样的“小屋子”需要5+6×3=23枚棋子；
⋯
∴第n个这样的“小屋子”需要5+6×(n−1)=6n−1（枚）棋子；
故答案为：6n−1．18．如图所示，将形状、大小完全相同的“．”和线段按照一定规律摆成下列图形，
第1幅图形中“．“的个数为a ，第2幅图形中“．”的个数为a ，第3幅图形中
1 2
1 1 1 1
“．”的个数为a ……以此类排， + + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 的值为 ．
3 a a a a
1 2 3 22
781
【答案】
1104
【详解】解：观察图形，得
第1幅图形中有“．”的个数为3个，即a =3=1×3
1
第2幅图形中有“．”的个数为8个，即a =8=2×4
2
第3幅图形中有“．”的个数为15个，即a =15=3×5
3
…
第n（n为正整数）幅图形中有“．”的个数为n(n+2)个，即a =n(n+2)；
n
1 1 1 1
∴ + + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
a a a a
1 2 3 22
1 1 1 1
= + + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
1×3 2×4 3×5 22×24
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ −
2 3 2 4 3 5 22 24
1( 1 1 1 )
= 1+ − −
2 2 23 24
1 781
= ×
2 552
781
= ．
1104
781
故答案为： ．
1104
19．用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的
火柴棒的根数为 ．
试卷第12页，共25页3n2+3n
【答案】
2
【详解】解：第1个图案有1个三角形，
第2个图案有1+2个三角形，
第3个图案有1+2+3个三角形，
…，
依此类推，第n个图案有：1+2+3+…+n个三角形，
n(n+1)
∵1+2+3+…+n= ，
2
n(n+1) 3n2+3n
∴第n个图案所用的火柴棒的根数为3× = ．
2 2
3n2+3n
故答案为： ．
2
20．等边△ABC在数轴上如图放置，点A，C对应的数分别为0和−1，若△ABC绕顶
点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点B所对应的数为1，翻转第2次
后，点C所对应的数为2，则翻转第2022次后，则数2022对应的点为 ．
【答案】A
【详解】解：翻转第1次后，点B所对应的数为1，
翻转第2次后，点C所对应的数为2
翻转第3次后，点A所对应的数为3
翻转第4次后，点B所对应的数为4
经过观察得出：每3次翻转为一个循环，
∵2022÷3=674，
∴数2022对应的点即为第3次对应的点：A．
故答案为：A．
21．在同一平面内有2023条直线，分别记为l 、l 、l 、l 、…、l ，若l ⊥l ，
1 2 3 4 2023 1 2
l ∥l ，l ⊥l ，l ∥l ，…，则按此规律l 与l 的位置关系是
2 3 3 4 4 5 1 2023
【答案】垂直【详解】l 与l 的位置关系是：垂直．
1 2023
理由：∵l ⊥l ，l ∥l ，
1 2 2 3
∴l ⊥l ，
1 3
∵l ⊥l ，
3 4
∴l ∥l ，
1 4
∵l ∥l ，
4 5
∴l ∥l ，
1 5
∵l ⊥l ，
5 6
∴l ⊥l ，
1 6
∵l ∥l ，
6 7
∴l ⊥l ，
1 7
∴可得规律为：l ⊥l ，l ⊥l ，l ∥l ，l ∥l ，l ⊥l l，l ⊥l ，……
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7
所以可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，
∵(2023−1)÷4＝505…2
∴l ⊥l ．
1 2023
故答案为垂直．
22．下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的．观察图形．回答下列
问题：
(1)按上述规律排列，第幅图中，图形的周长为______﹔
(2)按上述规律排列，第n幅图中．图形的周长为______；
(3)按上述规律排列，是否存在第n幅图形的周长为60，请说明理由．
【答案】(1)26
(2)4n+6
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）∵第1幅图形的周长为：3×2+4=10，
第2幅图形的周长为：5×2+4=14，
第3幅图形的周长为：7×2+4=18，
第4幅图形的周长为：9×2+4=22
∴第5幅图形的周长为：11×2+4=26；
故答案为26；
（2）由（1）的求解可得第n幅图形的周长为∶
试卷第14页，共25页2(2n+1)+4 =4n+6，
故答案为4n+6；
（3）不存在，
若某幅图形的周长为60，则：4n+6=60．
27
解得n= ；
2
27
因为n为正整数，所以n= 不符合题意．
2
三、图形类规律的灵活运用。
23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不
与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作^P，
PO
即 ^P= ，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA，所以^P=1．
PA
1
(1)如图，点P ，P ，P 为数轴上三个点，点P 表示的数是− ，点P 与P 关于原点
1 2 3 1 4 2 1
对称（即P O=P O）．
1 2
^P =______；
2
比较^P ，^P ，^P 的大小（用“＜”连接）；
1 2 3
1
(2)数轴上的点M满足OM= OA，求M；
4
(3)数轴上的点P表示有理数p，已知^P<50且^P为整数，则所有满足条件的p的倒数之
和为______．
1
【答案】(1) ；^P <^P <^P
3 1 2 3
1 1
(2)− 或
4 4
(3)98
1
【详解】（1）解：∵点P 表示的数是− ，点P 与P 关于原点对称（即P O=P O
1 4 2 1 1 2
），1
∴P O=P O= ，
1 2 4
1
∴点P 表示的数为 ，
2 4
1 3
∴P A=1− = ，
2 4 4
P O 1
∴ ^P = 2 = ，
2 P A 3
2
1
故答案为： ；
3
1
P O 4 1
由题意得 ^P = 1 = = ，
1 P A 1 5
1 1+
4
∵1
1，
3 P A
3
1
又∵ ^P = ，
2 3
∴^P <^P <^P ；
1 2 3
（2）解： ∵点A表示的数为1，
∴OA=1，
1
∵OM= OA，
4
1
∴OM= ，
4
1 1
∴点M表示的数为− 或 ；
4 4
（3）解：∵ ^P<50且^P为整数，
PO
∴
^P=
是整数，
PA
PO
当 ^P= =1时，即点P为OA的中点，
PA
1
∴p= ，
2
试卷第16页，共25页PO
当 ^P= =2，点P在OA之间时，则p=2(1−p)
PA
2
∴p= ，
3
当点P在点A右边时，则p=2(p−1)，
∴p=2，
PO 2
∴^P= =2，p的值为 或2；
PA 3
PO 3 3
同理当^P= =3，p的值为 或 ；
PA 4 2
PO 4 4
当^P= =4，p的值为 或 ；
PA 5 3
…
PO n n
∴当^P= =n（n为大于1的整数），p的值为 或 ；
PA n+1 n−1
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
3 1 4 2 5 3 50 48
2+ + + + + + +⋯+ +
2 2 3 3 4 4 49 49
(3 1) (4 2) (5 3) (50 48)
=2+ + + + + + +⋯+ +
2 2 3 3 4 4 49 49
=2+2×48
=98，
故答案为：98．
24．将一列有理数−1 , 2 , −3 , 4 , −5 , 6，……，如图所示有序排列．根据图中的
排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位
置是有理数___________，2022应排在A、B、C、D、E中___________的位置．正确
的选项是（ ）
A．−29，A B．30，D C．−29，B D．−31，A
【答案】A
【详解】解：∵每个峰需要5个数，
∴5×5=25，
25+1+3=29，∴“峰6”中C位置的数的是−29，
∵(2022−1)÷5=404……1，
∴2022应排在A、B、C、D、E中A的位置，
故选：A．
25．在数学兴趣活动中，小容为了求2+22+23+…+2n−1+2n的值，写出下列解题过程．
解：设S=2+22+23+…+2n−1+2n
两边同乘以2得：
2S=22+23+…+2n−1+2n+2n+1
由−得：S=2n+1−2
(1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：2+22+23+…+2100=________；
1 1 1 1 1
(2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算： + + + +⋯+ ；
2 22 23 24 2n
(3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解
决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快
1 1 1 1 1
速得出
+ + + +⋯+
结果．
2 22 23 24 2n
如图1，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分．
请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？
1 1 1 1 1
请你说明小容是如何利用分割的图形来计算
+ + + +⋯+
？
2 22 23 24 2n
1 1 1 1 1
请你再设计一个几何图形来求
+ + + +⋯+
的值，并简单说明你的设计思
2 22 23 24 2n
路．
【答案】(1)2101−2
1
(2)S=1−
2n
1
(3)见解析；见解析；1− ，见解析
2n
【详解】（1）解：由题干得：2+22+23+…+2n−1+2n=2n+1−2，
试卷第18页，共25页将n=100代入2+22+23+…+2n−1+2n=2n+1−2得：2+22+23+…+299+2100=2101−2，
故答案为：2101−2；
（2）方法一：
1 1 1 1 1
解：设
S= + + + +⋯+
2 22 23 24 2n
两边同乘2得：
1 1 1 1
2S=1+ + + +⋯+
2 22 23 2n−1
1
由−得： S=1− ；
2n
1 1 1 1 1
方法二：解：设
S= + + + +⋯+
2 22 23 24 2n
1
两边同乘 得：
2
1 1 1 1 1 1
S= + + + +⋯+
2 22 23 24 25 2n+1
1 1 1
由−得： S= −
2 2 2n+1
1
S=1−
．
2n
1
（3）答：小容将面积为1的正方形平均分成两部分，部分Ⅰ的面积为S = ；部分Ⅱ
1 2
1 1
是部分Ⅰ面积的一半， S = ；部分Ⅲ是部分Ⅱ面积的一半， S = ，…，以
Ⅱ 22 Ⅲ 23
1 1
此类推，第n次分出部分， S = ，剩余阴影部分的面积也是 ；
n 2n 2n
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ 可以看做各个部分的面积和，即为 S −S =1− ；
2 22 23 24 2n 正方形 阴影 2n
设计图形如图：
方法一：
如图，将面积为1的正方形沿对角线一分为二，面积变为原来的一半，再将剩余部分面
1
积一分为二，再将剩余面积一分为二，以此类推，阴影面积为 ，可以得到：
2n
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ =1−
；
2 22 23 24 2n 2n方法二：
如图，将面积为1的正方形沿中间一分为二，面积变为原来的一半，再将剩余部分沿正
1
中间面积一分为二，再将剩余沿正中间面积一分为二，以此类推，阴影面积为 ，
2n
可以得到：
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ =1−
；
2 22 23 24 2n 2n
方法三：
如图，将面积为1的三角形沿中间一分为二，面积变为原来的一半，再将剩余部分沿中
1
间面积一分为二，再将剩余部分沿中间面积一分为二，以此类推，阴影面积为 ，
2n
可以得到：
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ =1−
；
2 22 23 24 2n 2n
方法四：
如图，将面积为1的三角形沿中间一分为二，面积变为原来的一半，再将剩余部分沿中
1
间面积一分为二，再将剩余部分沿中间面积一分为二，以此类推，阴影面积为 ，
2n
试卷第20页，共25页可以得到：
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ =1−
；
2 22 23 24 2n 2n
方法五：
如图，将面积为1的圆沿中间一分为二，面积变为原来的一半，再将剩余部分沿中间面
1
积一分为二，再将剩余部分沿中间面积一分为二，以此类推，阴影面积为 ，可以
2n
得到：
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ =1−
；
2 22 23 24 2n 2n
方法六：
如图，将长度为1的线段沿中间一分为二，长度变为原来的一半，再将剩余部分沿中间
长度一分为二，再将剩余部分沿中间长度一分为二，以此类推，最后一小段的长度为
1
，可以得到：
2n
1 1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ =1−
；
2 22 23 24 2n 2n
26．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对
边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；
第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划
分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系
和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达
式的结果．
3 ( 1 1 1 1 )
× 1+ + + +⋯+ （直接写出答案即可）
4 4 42 43 4n
【答案】(1)21
(2)(4n+1)
(3)不能，理由见解析
1
(4)1−
4n+1
【详解】（1）解：∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13
个正方形，
∴第n次可得(4n+1)个正方形，
∴第5次可得4×5+1=21，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第n次可得(4n+1)个正方形，
故答案为：(4n+1)；
（3）不能，理由：由4n+1=2022，解得n=505.25，n不是整数，
所以不能将正方形ABCD划分成2022个正方形的图形．
（4）由题意
3 ( 1 1 1 1 ) 1 n+1 1
× 1+ + + +⋯+ =S −( ) ⋅S =1− ．
4 4 42 43 4n 正方形ABCD 4 正方形ABCD 4n+1
试卷第22页，共25页四、数字类规律的灵活运用。
27．有一系列等式：
第1个：52−12=8×3；
第2个：92−52=8×7；
第3个：132−92=8×11；
第4个：172−132=8×15；
……
(1)请写成第5个等式：
(2)请写出第n个等式：
(3)依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+…+8×99．
【答案】(1)212−172=8×19
(2)(4n+1) 2−(4n−3) 2=8(4n−1)
(3)10200
【详解】（1）解：∵第1个等式：52−12=8×3，即
(4×1+1) 2−(4×1−3) 2=8×(4×1−1)，
第2个等式：92−52=8×7，即(4×2+1) 2−(4×2−3) 2=8×(4×2−1)，
第3个等式：132−92=8×11，即(4×3+1) 2−(4×3−3) 2=8×(4×3−1)，
第4个等式：172−132=8×15，即(4×4+1) 2−(4×4−3) 2=8×(4×4−1)，
∴第5个等式为：(4×5+1) 2−(4×5−3) 2=8×(4×5−1)，即212−172=8×19；
（2）解：由（1）中的规律可得：
第n个等式为：(4n+1) 2−(4n−3) 2=8(4n−1)；
（3）解：令4n−1=99，
解得：n=25，
∴8×99=(4×25+1) 2−(4×25−3) 2=1012−972，
∴8×3+8×7+8×11+…+8×99
=52−12+92−52+132−92+…+1012−972
=1012−12=10201−1
=10200．
28．观察下列算式：
1×2×3 2×3×5 3×4×7 4×5×9
12= ；12+22= ；12+22+32= ；12+22+32+42=
；
6 6 6 6
……．
(n+12)(n+13)(2n+25) (n+10)(n+11)(2n+21)
用你所发现的规律，化简： − =
6 6
（n为正整数）．
【答案】2n2+46n+265
1×2×3 2×3×5 3×4×7
【详解】解：∵
12= ，12+22= ，12+22+32=
，
6 6 6
4×5×9
12+22+32+42= ……，
6
n(n+1)(2n+1)
∴ 12+22+32+…+n2= ，
6
(n+12)(n+13)(2n+25) (n+10)(n+11)(2n+21)
∴ −
6 6
(n+12)(n+13)[2(n+12)+1] (n+10)(n+11)[2(n+10)+1]
= −
6 6
=12+22+32+…+(n+12) 2−[12+22+32+…+(n+10) 2]
=12+22+32+…+(n+12) 2−12−22−32−…−(n+10) 2
=(n+12) 2+(n+11) 2
=n2+24n+144+n2+22n+121
=2n2+46n+265，
故答案为：2n2+46n+265．
29．阅读理解题．
我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作S ，那么有：
n
[1×(1+1)] 2
S =13=12= ；
1 2
[2×(1+2)] 2
S =13+23=(1+2) 2= ；
2 2
试卷第24页，共25页[3×(1+3)] 2
S =13+23+33=(1+2+3) 2=
3 2
⋯
观察上面式子的规律，完成下面各题．
(1)猜想出S = （用n表示）．
n
(2)依规律，直接求13+23+33+⋯+103的值为 ．
(3)依规律，23+43+63+⋯+203的值．
(4)依规律，求113+123+133+⋯+403的值．
[n(1+n)] 2
【答案】(1)
2
(2)552或3025
(3)24200
(4)669375
[n(1+n)] 2
【详解】（1）S =13+23+33+⋯+n3=(1+2+3+⋯+n) 2= ，
n 2
[n(1+n)] 2
故填： ；
2
[10(1+10)] 2
（2）13+23+33+⋯+103 = =552=3025
2
故答案为：552；
（3）23+43+63+⋯+203
=(2×1) 3+(2×2) 3+(2×3) 3+⋯+(2×10) 3
=8×(13+23+33+⋯+103
)
=8×3025
=24200
（4）113+123+133+⋯+403
=(1 3+23+33+⋯+403 )−(13+23+33+⋯+103 )
❑[40×(1+40)] 2
= −3025
2
=669375
30．观察下面算式，解答问题：
1+3=4=
(1+3) 2
=22 ；
2
1+3+5=9=
(1+5) 2
=32 ；
2
1+3+5+7+9=25=
(1+9) 2
=52 ……
2
(1)1+3+5+7+9+…+29的结果为______________；
(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+(2n−1)+(2n+1)的
值为_____________；
(3)请用上述规律计算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求写出详
细解答过程）．
【答案】(1)225
(2)(n+1) 2
(3)1023744
【详解】（1）解：1+3=4=
(1+3) 2
=22 ；
2
1+3+5=9=
(1+5) 2
=32 ；
2
1+3+5+7+9=25=
(1+9) 2
=52 ；
2
1+3+5=9=
(1+5) 2
=32 ；
2
1+3+5+7+9=25=
(1+9) 2
=52 ；
2
试卷第26页，共25页依次可得，1+3+5+7+9+…+29=
(1+29) 2
=152=225，
2
故答案为：225
（2）解：1+3=4=
(1+3) 2
=22 ；
2
1+3+5=9=
(1+5) 2
=32 ；
2
1+3+5+7+9=25=
(1+9) 2
=52 ；
2
1+3+5=9=
(1+5) 2
=32 ；
2
1+3+5+7+9=25=
(1+9) 2
=52 ；
2
⋯⋯
1+3+5+7+9+…+(2n−1)+(2n+1) =
(1+2n+1) 2
=(n+1) 2 ；
2
故答案为：(n+1) 2
（3）41+43+45+47+49+……+2021+2023
=(1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023)−(1+3+5+⋯+37+39)
(1+2023) 2 (1+39) 2
= −
2 2
=10122−202
=(1012−20)(1012+20)
=1032×992
=1023744
