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专题05 平方根和立方根的求值问题（解析版）
第一部分 典例剖析+针对练习
类型一 利用开方求值
典例1 （2022春•青羊区校级月考）求下列各式的值：
（1）±√169；
（2）−√64；
√ 49
（3） ；
144
（4） ．
√(−4) 2
思路引领：根据开方运算，可得平方根、算术平方根．
解：（1）±√169=±13；
（2）−√64=−8；
√ 49 7
（3） = ；
144 12
（4） 4．
√(−4) 2=
总结提升：本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．
典例2 求下列各式的值：
（1）√364；
（2）√30.001；
（3） ；
√3 (−2) 3
（4）−√3−1000．
思路引领：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解：（1）√364=√3 4×4×4
＝4；
（2）√30.001=√3 0.1×0.1×0.1
＝0.1；
（3）
√3 (−2) 3=√3 (−2)×(−2)×(−2)
＝﹣2；（4）
−√3−1000=−√3 (−10)×(−10)×(−10)
＝﹣（﹣10）
＝10．
总结提升：本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
针对训练：
1．（2022春•灵宝市期中）求下列各式的值：
（1）√364；
（2）−√9；
（3）±√0.49；
（4）√3−1．
思路引领：分别根据立方根，算术平方根，平方根的定义求出即可．
解：（1）原式＝4；
（2）原式＝﹣3；
（3）原式＝±0.7；
（4）原式＝﹣1．
总结提升：本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，能熟记定义是解此题的关键．
类型二 利用开方求未知数的值
典例3 （2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）169x2＝100；
（2）（x+1）2＝81．
思路引领：（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；
（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．
解：（1）169x2＝100，
100
x2= ，
169
√100
x=± ，
169
10
∴x=± ；
13
（2）（x+1）2＝81，
x+1=±√81，x+1＝±9，
x＝8或﹣10．
总结提升：本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
典例4（2022秋•南京期末）求下列各式中x的值：
1
（1） （x+2）3＝﹣9
3
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．
思路引领：根据立方根的定义即可求解．
（2）两边都乘以3得，
（x+2）3＝﹣27，
由立方根的定义可得，
x+2＝﹣3，
解得x＝﹣5．
（2）（2x﹣1）3﹣27＝0，
（2x﹣1）3＝27，
2x﹣1＝3，
2x＝4，
x＝2．
总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
针对训练
1．（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：
（1）48﹣3（x﹣2）2＝0．
（2）27（x+1）3+1＝0．
思路引领：（1）根据平方根的定义即可求解；
（2）根据立方根的定义即可求解．
解：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0，
﹣3（x﹣2）2＝﹣48，
（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
x＝6或﹣2；
（2）27（x+1）3+1＝0，27（x+1）3＝﹣1，
1
（x+1）3=− ，
27
1
x+1=− ，
3
4
x=− ．
3
总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
类型三 利用开方的定义解题
典例5 （2022秋•宁德期末）已知：2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，求a﹣b的值．
思路引领：首先根据算术平方根和立方根的定义可得：2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，两式相减可得结论．
解：∵2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，
∴2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，
②﹣①得：2a﹣2b＝﹣8，
∴a﹣b＝﹣4．
总结提升：此题主要考查了立方根的含义和求法，算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
典例6（2022秋•永年区期中）已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
思路引领：（1）先求出a的值，再根据4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；
（2）先求出a+b的值，再求出其算术平方根即可．
解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，
∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；
∴4a+2b﹣1可化为19+2b，
∵4a+2b﹣1的立方根是3，
∴19+2b＝27，解得b＝4．
（2）∵a＝5，b＝4，
∴a+b＝5+4＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
总结提升：本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题
的关键．
典例7（2022春•东莞市期中）已知实数x、y满足√2x−3 y−1+|x−2y+2|=0．（1）求x+y的值．
8
（2）求x+ y的平方根．
5
√ 8
（3）求 3x− y的立方根．
5
思路引领：（1）根据非负数的性质列出方程求出x、y的值；
8
（2）求出x+ y的值，根据平方根的概念解答即可；
5
√ 8
（3）求出 3x− y的值，根据立方根的概念解答即可．
5
解：（1）由题意得，2x﹣3y﹣1＝0，x﹣2y+2＝0，
解得x＝8，y＝5，
∴x+y＝8+5＝13；
8 8
（2）x+ y=8+ ×5＝16，
5 5
16的平方根是±4；
√ 8 √ 8
（3） 3x− y= 3×8− ×5=√16=4，
5 5
4的立方根是√3 4．
总结提升：本题考查的是非负数的性质、平方根和立方根的概念，掌握几个非负数的和为0时，这几个
非负数都为0是解题的关键．
例8 已知 与 互为相反数，求2a+b的立方根．
分析：根据两个数互为相反数，可得它们的立方也互为相反数，据此列方程求出 a、b的关系，进而求出
2a+b的立方根即可
解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴2a+b的立方根是 ．
针对训练
1．（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．
思路引领：根据题意可求出a＝16，根据题意得2a﹣b+2＝27，再将a＝16代入可求出b＝7，代入代数
式进行计算即可．解：根据题意，可得1+3a＝49，
解得，a＝16，
∵2a﹣b+2的立方根是3，
∴2a﹣b+2＝27，
将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，
解得b＝7，
∴a﹣b＝9．
总结提升：本题考查了平方根，立方根，代数式求值，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．
2．（2021秋•宝塔区校级期末）一个正数的平方根分别是2a+5和2a﹣1，b﹣10的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
思路引领：（1）根据平方根的性质即可求出a、b的值；
（2）将a与b的值代入a+b中即可求出它的算术平方根．
解：（1）由题意可知：2a+5+2a﹣1＝0，
合并同类项得：4a+4＝0，
移项得：4a＝﹣4，
解得a＝﹣1．
由题意可知：b﹣10＝（﹣2）3＝﹣8，
解得：b＝2．
（2）∵a+b＝﹣1+2＝1，
∴a+b的算术平方根是1．
总结提升：本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，
本题属于基础题型．
3．（2022秋•商河县期中）已知﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一个平方根，求m+n的值．
思路引领：根据平方根与立方根的意义可得m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，从而可得m＝9，n＝7，然后代入
式子中进行计算即可解答．
解：∵﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一个平方根，
∴m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，
∴m＝9，n＝7，
∴m+n＝9+7＝16，
∴m+n的值为16．总结提升：本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．
4．（2022秋•锦江区校级月考）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，求a+2b的值．
（2）已知√3−x+y2﹣4y+4＝0，求y的平方根．
思路引领：（1）由题意可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，解出a，b的值再代入a+2b中即可求解；
（2）根据 y2﹣4y+4＝0可得出 0，解出x，y的值即可求解．
√3−x+ √3−x+(y−2) 2=
解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，
∴2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，
解得：a＝5，b＝58，
∴a+2b＝5+2×58＝121；
（2）∵√3−x+y2﹣4y+4＝0，
∴ 0，
√3−x+(y−2) 2=
∵ ，
√3−x≥0，(y−2) 2≥0
∴3﹣x＝0，y﹣2＝0，
∴x＝3，y＝2，
∴y的平方根是±√2．
总结提升：本题主要考查了平方根，立方根及平方和平方根的非负性，掌握平方根的定义，立方根的定
义及平方和平方根的非负性是解题的关键．
5．（2022秋•杭州期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．
（1）若a＜b，求a+b的值；
（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．
思路引领：（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c
的值，代入即可求出a+b的值；
（2）根据ab小于0，得到ab异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值．
解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．
∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，
∵a＜b，
∴a＝﹣5，b＝±2，
∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，
即a+b的值为﹣3或﹣7；（2）∵abc＞0，c＝﹣2，
∴ab＜0，
∴a＝5，b＝﹣2 或 a＝﹣5，b＝2，
∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，
当 a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，
∴a﹣3b﹣2c＝15 或﹣7．
总结提升：本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a与b的值是
解本题的关键
第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•任丘市期末）求下列各式的值．
（1）−√30.216；
√4
（2）± ；
9
√ 512
（3）−3− ；
125
√ 1
（4） 5 ．
16
思路引领：（1）根据立方根的性质计算；
（2）根据平方根的性质计算；
（3）根据立方根的性质计算；
（4）根据算术平方根的性质计算．
解：（1） ；
−√30.216=−√3 0.63=−0.6
（2） √4 √ 2 2 2；
± =± ( ) =±
9 3 3
（3） − √ 3− 512 =− √ 3 (− 8 ) 3 =−(− 8 )= 8；
125 5 5 5
（4）√ 1 √81 √ 9 2 9．
5 = = ( ) =
16 16 4 4
总结提升：本题主要考查了平方根、立方根，熟练应用平方根、立方根的定义进行计算是解题关键．2．求x值：
（1）4x2＝121
（2）（x+2）2＝125
思路引领：两方程整理后，利用平方根定义计算即可求出解．
解：（1）方程整理得：x2＝ ，
开方得：x＝± ，
解得：x ＝ ，x ＝﹣ ；
1 2
（2）开方得：x+2＝±5 ，
解得：x ＝﹣2+5 ，x ＝﹣2﹣5 ．
1 2
3．求下列各式中x的值：
（1） ； （2） ； （3） ．
思路引领：本题直接根据立方根的定义解方程即可
（1）解： ；
（2）解：移项，合并得
解得
（3）解：
移项，合并得
4．求下列代数式的值
（1）如果a2＝4，b的算术平方根为3，求a+b的值．
（2）已知x是25的平方根，y是16的算术平方根，且x＜y，求x﹣y的值．
思路引领：（1）首先依据平方根和算术平方根的定义求出a、b，再代入计算即可求解；
（2）首先依据平方根和算术平方根的定义求出x、y，再代入计算即可求解．
解：（1）∵a2＝4，
∴a＝±2，
∵b的算术平方根为3，
∴b＝9，
∴a+b＝﹣2+9＝7或a+b＝2+9＝11．
（2）∵x是25的平方根，∴x＝±5，
∵y是16的算术平方根，
∴y＝4，
∵x＜y，
∴x＝﹣5，
∴x﹣y＝﹣5﹣4＝﹣9．
5．（2022秋•蒲江县校级期中）已知3a+2b+4的平方根为±√5，4是7a+1的立方根．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣3b+5的算术平方根．
思路引领：（1）根据平方根和立方根的定义即可求解；
（2）先将（1）中的a，b代入4a﹣3b+5中，再求它的算术平方根．
解：（1）∵3a+2b+4的平方根为±√5，4是7a+1的立方根，
∴3a+2b+4＝5，7a+1＝64，
解得：a＝9，b＝﹣13；
（2）将a＝9，b＝﹣13代入4a﹣3b+5中得：
4a﹣3b+5＝4×9﹣3×（﹣13）+5＝80，
∴80的算术平方根√80=4√5，
∴4a﹣3b+5的算术平方根4√5．
总结提升：本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是
解题的关键．
6．（2022春•台江区校级期中）已知：x的平方根是a+3与2a﹣15，且√2b−1=3
（1）求a，b的值：
（2）求x的值；
（3）求a+b﹣1的立方根．
思路引领：（1）根据一个正数的平方根有两个它们互为相反数，列出方程求得 a，根据算术平方根的
定义求得b；
（2）根据平方与平方根的互逆关系进行解答；
（3）根据立方根的定义进行计算．
解：（1）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，
∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，
解得a＝4，∵√2b−1=3，
∴b＝5；
（2）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，
∴x＝（a+3）2＝（4+3）2＝49；
（3）√3 a+b−1=√3 4+5−1=2．
总结提升：本题主要考查了平方根与立方根，算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键．
7．（2022春•东莞市期中）已知一个正数m的两个平方根分别是3a+2与a﹣10．
（1）求a的值；
（2）求m的立方根．
思路引领：（1）根据平方根的意义，可得3a+2+a﹣10＝0，然后进行计算即可解答；
（2）根据平方运算先求出m的值，再根据立方根的意义，即可解答．
解：（1）由题意得：
3a+2+a﹣10＝0，
解得：a＝2，
∴a的值为2；
（2）当a＝2时，m＝（3a+2）2＝（6+2）2＝64，
∴m的立方根是4．
总结提升：本题考查了立方根，平方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关键．
8．（2022春•天门校级月考）已知A=2a−√22a+5b是9的算术平方根，B=√3−3a−2b．
（1）求A，B的值；
（2）求A+2B的立方根．
思路引领：分别根据A=2a−√22a+5b是9的算术平方根，B=√3−3a−2b，求出a、b的值，再求出
A+2B的值，求出其立方根即可．
解：（1）∵A=2a−√22a+5b是9的算术平方根，
∴2a﹣2＝2，2a+5b＝9，
解得a＝2，b＝1，
∴A=√9=3，B=√3−6−2=√3−8=−2；
（2）∵A＝3，B＝﹣2，
∴A+2B＝3+2×（﹣2）＝﹣1，
A+2B的立方根为﹣1．
总结提升：本题考查的是立方根及算术平方根的定义，根据题意列出关于 a、b的方程，求出a、b的值是解答此题的关键．
