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专题06 《平面直角坐标系》解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《平面直角坐标系》中“点到坐标轴的距离”、“角平分线上点
的特征”、“平行于x轴、y轴的直线特征”、“面积的求法”、“找规律”选择、填空
重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：点到坐标轴的距离
方法点拨：设点（x，y），点到x轴的距离是|y|，点到y轴的距离是|x|
1．己知点P(3a-15，2-a)．
（1）若点 到 轴的距离是 ，试求出 的值；
（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的
坐标；
（3）若点 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点 的坐标．
【答案】（1）a＝ 或a＝ ；（2）点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）；（3）
点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）．
【分析】（1）由题意可得 ＝ ，解方程即得结果；
（2）先由（1）题的结果求出点P的坐标，再根据点的坐标平移规律：上加下减，左减右
加解答即可；
（3）由点 位于第三象限可得关于a的不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围，然
后根据点P的横、纵坐标都是整数即可确定a的值，进而可得答案．
【详解】解：（1）因为点P（3a－15，2－a），且点 到 轴的距离是 ，
所以 ＝ ，解得：a＝ 或a＝ ；
（2）当a＝ 时，点P（ ， ），所以点Q的坐标为（ ， ）；
当a＝ 时，点P（ ， ），所以点Q的坐标为（ ， ）；
所以点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
（3）因为点P（3a－15，2－a）位于第三象限，所以 ，解得：2＜a＜5．
因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝3或4；
当a＝3时，点P（ ， ）；
当a＝4时，点P（ ， ）．
所以点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元
一次不等式组的解法等知识，属于基本题目，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题
的关键．2．已知第三象限的点P（x，y）满足 ， ．
（1）求点P的坐标；
（2）①点P到x轴的距离为_______；
②把点P向右平移m个单位后得到P，则点P 到x轴的距离为______．
1 1
【答案】（1）P（－5，－3）；（2）① 3 ；② 3
【分析】（1）求出x、y的值，并根据点P在第三象限内，得出点P的坐标；
（2）①点P到x轴的距离即点P纵坐标绝对值的大小；
②先得出点P 的坐标，然后得出点P 到x轴的距离．
1 1
【详解】解：（1）∵ ，
∴x=±5．
∵ ，
∴y=±3．
∵点P(x，y）在第三象限，
∴x=－5，y=－3．
∴P(－5，－3)．
（2）①∵P(－5，－3)
∴点P到x轴的距离为：
②将点P向右平移m个单位后，点P(m－5，－3)
1
点P 到x轴的距离为：
1
【点睛】本题考查坐标点的平移和与坐标轴的距离，需要注意，坐标点与坐标轴的距离一
定为非负数．
3．已知坐标平面内的三个点 、 、 .
(1)比较 点到 轴的距离与 点到 轴距离的大小;
(2)平移 至 ,当点 和点 重合时,求点 的坐标;
(3)平移 至 ,需要至少向下平移超过 单位,并且至少向左平移 个
单位,才能使 位于第三象限.
【答案】(1) 点到 轴的距离等于 点到 轴距离; （2） ;（3）3 ，3
【分析】（1）根据横坐标为点到y轴的距离；纵坐标为点到x轴的距离即可比较大小；
（2）由点A 和点B重合时，需将△ABC向右移2个单位，向下移2个单位，据此求解可
1得；
（3）根据点A的纵坐标得出向下平移的距离，由点B的横坐标得出向左平移的距离．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ 点到 轴的距离为3
∵ ， 点到 轴距离为3
∴ 点到 轴的距离等于 点到 轴距离
（2）点 和点 重合时，需将 向右移2个单位，向下移2个单位，
∴点 的对应点 的坐标是
（3）平移△ABO至△AB O，需要至少向下平移超过3单位，并且至少向左平移3个单
2 2 2
位，才能△AB O 使位于第三象限．
2 2 2
故答案为3，3．
【点睛】本题主要考查点的意义与图形的变换-平移，注意：点到x轴的距离等于该点纵坐
标的绝对值；点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值；平面直角坐标系中点的坐标的平
移规律．
4．已知点 到两个坐标轴的距离相等,将点P向左平移 个单位后得到的点到
两个坐标轴的距离仍相等,求点P的坐标.
【答案】 或
【分析】根据点P到两坐标轴的距离相等以及将点P向左平移 个单位后得到的点到两
个坐标轴的距离仍相等,列出方程组，然后求解得到 的值，即可求出点P的坐标.
【详解】点 到两个坐标轴的距离相等,
则
将点P向左平移 个单位后得到的点的坐标为： ，即 ，
该点到坐标轴的距离仍相等,
则
联立方程 解得： (舍)，或 或 (舍)，或 .
当 时，
当 时，【点睛】考查点的坐标，掌握到两坐标轴的距离相等的点的坐标特征列出方程组是解题的
关键.
5．在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A(0，3)，B(1，－3)，C(3，－5)，D(－
3，－5)，E(3，5)，F(5，7)，G(5，0).
(1)点A到原点O的距离是________；
(2)将点C沿x轴的负方向平移6个单位，它与点________重合；
(3)连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？
(4)点F到x轴、y轴的距离分别是多少？
【答案】（1）3；（2）D；（3）平行；（4）7，5
【分析】（1）根据A点坐标可得出A点在x轴上，即可得出A点到原点的距离；
（2）根据点的平移的性质得出平移后的位置；
（3）利用图形性质得出直线CE与坐标轴的位置关系；
（4）利用F点的横纵坐标得出点F分别到x、y轴的距离．
【详解】（1）如图所示：A点到原点的距离是3；
故答案为3；
（2）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点D重合；
故答案为D；
（3）如图所示：CE∥y轴或CE⊥x轴；
故答案为CE∥y轴或CE⊥x轴；
（4）点F到x轴的距离为7个单位，到y轴的距离为5个单位．
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解
题关键．6．已知点P（ ， ）位于第三象限，点Q（ ， ）位于第二象限且是由点P向
上平移一定单位长度得到的．
（1）若点P的纵坐标为 ，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，若Q点到x轴的距离为1，试求出符合条件的点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点M，使三角形MPQ的面积为10，若不存在，
请说明理由；若存在，请求出M点的坐标；
（4）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及线段PQ长度的取值范围．
【答案】（1） ；（2）Q（ ， ）；（3） （ ， ）， （ ， ）；（4）
； ； ； ． ．
【分析】（1）点P的纵坐标为-3，即1-a=-3，解可得a的值；
（2）点到x轴的距离为1，即点的纵坐标为1，据此求解即可；
（3）根据三角形面积公式列式求解即可；
（3）根据点P（2a-10，1-a）位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，列得不等式组，求
其整数解可得a的值以及线段PQ长度的取值范围．
【详解】解：（1）∵点P的纵坐标为 ．
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵Q点是由P点向上平移到二象限的点，
∴ ，
∵Q点到 轴的距离为1，
∴Q点的坐标为Q（ ， ）；
（3）∵PQ的长为： ，
设M点的坐标为（ ， ），
∵三角形MPQ的面积为10．
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ， ．
∴M点的坐标为： （ ， ）， （ ， ）；
（4）∵P点在第三象限，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 的值为： ； ； ； ．
∵PQ＝ ，而 的整数
∴ ．
【点睛】本题考查了图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移
中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
考点2：角平分线上点的特征
方法点拨：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，即点 P（x，y）在一、
三象限角平分线上，那么x=y；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相
反数，即点Q（a，b）在二、四象限角平分线上，那么a+b=0.
1．已知点P(m＋2，3)，Q(−5，n−1)，根据以下条件确定m、n的值
（1）P、Q两点在第一、三象限的角平分线上；
（2）PQ∥x轴，且P点与Q点的距离为3．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）根据平面直角坐标系中角平分线上点的特征，x和y的值相等，可列等式即
可求出答案；
（2）由PQ∥x轴，即点P和Q纵坐标有相等，列出等式即可求解即可计算出n的值，又P
与Q的距离为3．直线上到一点距离等于定长的点又2个，根据绝对值的意义可列等式，
化简即可计算出m的值．
【详解】解：（1）∵P、Q两点在第一、三象限角平分线上，
∴m+2=3，n 1= 5，
解得m=1，n= 4；（2）∵PQ∥x轴，
∴n 1=3，
∴n=4，
又∵PQ=3，
∴|m+2 （ 5）|=3，
解得m= 4或m= 10．
∴m= 4或 10，n=4．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征，利用点的特征列出相应的等量关系是
解决本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，已知点 ．
若点M在x轴上，求m的值；
若点M在第二象限内，求m的取值范围；
若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．
【答案】(1)m=-1.5；(2) ；（3）
【分析】 根据点在x轴上纵坐标为0求解．
根据点在第二象限横坐标小于0，纵坐标大于0求解．
根据第一、三象限的角平分线上的横坐标，纵坐标相等求解．
【详解】 点M在x轴上，
，
解得： ；
点M在第二象限内，
，
解得： ；
点M在第一、三象限的角平分线上，
，
解得： ．
【点睛】此题考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，
第一、三象限的角平分线上的点的特征．
3．在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，求a的值及点
的坐标？
【答案】a=1、（-1，-1）
【详解】试题分析：根据第三象限角平分线上点的特点解答即可．试题解析：解：∵点（1﹣2a，a﹣2）在第三象限的角平分线上，∴1﹣2a=a﹣2，解得：
a=1，故此点坐标为（﹣1，﹣1）．
4．在平面直角坐标系中有点M（m，2m+3）．
（1）若点M在x轴上，求m的值；
（2）若点M在第三象限内，求m的取值范围；
（3）点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值．
【答案】（1）m=﹣ ；（2）m＜﹣ ；（3）m=﹣1
【详解】试题分析：（1）根据点在x轴上纵坐标为0求解．
（2）根据点在第三象限横坐标，纵坐标都小于0求解．
（3）根据第二、四象限的角平分线上的横坐标，纵坐标互为相反数求解．
解：（1）∵M（m，2m+3）在x轴上，
∴2m+3=0，
∴m=﹣
（2）∵M（m，2m+3）在第三象限内，
∴ ，
∴m＜﹣ ．
（3）∵M（m，2m+3）在第二、四象限的角平分线上，
∴m+（2m+3）=0
∴m=﹣1．
考点：坐标与图形性质．
5．已知点P（2x，3x-1）是平面直角坐标系上的点．
（1）若点P在第一象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求x的值．
【答案】（1）1; （2）-3．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得第一象限角平分线上的点的
横坐标与纵坐标相等，然后列出方程求解即可；
（2）根据第三象限的点的横坐标与纵坐标都是负数，然后列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，2x=3x-1，
解得x=1；
（2）由题意得，-2x+[-（3x-1）]=16，
则-5x=15，
解得x=-3．
【点睛】本题考查坐标与图形性质．6．在平面直角坐标系中，已知点M（m-1,2m+3)
（1）若点M在y轴上，求m的值.
（2）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）若点在y轴上，则M的横坐标为0，即m-1=0；
（2）若点M在第一、三象限的角平分线上，则点M的横纵坐标相等，即m-1=2m+3．
【详解】解：（1）由题意得： ，解得： ．
（2）由题意得： ，解得： ．
【点睛】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键．
考点3：平行于x轴、y轴的直线特征
方法点拨：平行于x轴的直线，纵坐标相等，两点之间的距离为横坐标差的绝
对值；平行于y轴的直线，横坐标相等，两点之间的距离为纵坐标差的绝对值。
1．已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出a的值．
（1）点A在y轴上；
（2）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行；
（3）点A到两坐标轴的距离相等．
【答案】（1）（0， ）（2）（14，4）（3）（−16，−16）或（3.2，−3.2）
【分析】（1）根据y轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据平行于x轴直线上的点纵坐标相等，可得方程，解方程可得答案；
（3）根据点A到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案．
【详解】解：（1）依题意有3a+2＝0，
解得a＝ ，
2a﹣4＝2×（ ）﹣4＝ ．
故点A的坐标为（0， ）；
（2）依题意有2a−4＝4，
解得a＝4，
3a＋2＝3×4＋2＝14，
故点A的坐标为（14，4）；
（3）依题意有|3a＋2|＝|2a−4|，
则3a＋2＝2a−4或3a＋2＋2a−4＝0，
解得a＝−6或a＝0.4，
当a＝−6时，3a＋2＝3×（−6）＋2＝−16，
当a＝0.4时，3a＋2＝3×0.4＋2＝3.2，2a−4＝−3.2．故点A的坐标为（−16，−16）或（3.2，−3.2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零；平行于x轴直线上的点纵坐标
相等．
2．已知平面直角坐标系中一点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点A的坐标是（2，4），且直线PA与x轴平行．
【答案】（1）点P（0，- 3）；（2）点P（14，4）．
【分析】（1）让横坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解；
（2）让纵坐标为4求得m的值，代入点P的坐标即可求解．
【详解】解：（1）∵点P在y轴上
∴2m＋4＝0，
解得m＝−2，
所以P点的坐标为（0，−3）；
（2）∵点A的坐标是（2，4），且直线PA与x轴平行
∴m−1＝4，
解得m＝5．所以P点的坐标为（14，4）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，正确分析各点坐标特点是解题关键．
3．已知点 ，试分别根据下列条件，求出 的值并写出点 的坐标．
（1）点 在 轴上；
（2）点 与点 关于 轴对称；
（3）经过点 ， 的直线，与 轴平行；
（4）点 到两坐标轴的距离相等．
【答案】（1） ， 点的坐标是 ；（2） ， 点的坐标是 ；（3）
， 点的坐标是 ；（4）当点 在一，三象限夹角平分线上时， ， 点
的坐标是 ，当点 在二，四象限夹角平分线上时， ， 点的坐标是
．
【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数、纵坐标相同，可得方程，解方程可
得答案；
（3）根据平行于x轴直线上的点纵坐标相等，可得方程，解方程可得答案；
（4）根据点A到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案．【详解】解：（1）点 在 轴上，则
解得a＝2，
，
故 点的坐标是
（2）根据题意得， ，
解得
点的坐标是
（3）因为 ∥ 轴，所以
解得a＝4，
点的坐标是
（4）当点 在一，三象限夹角平分线上时，有
解得
点的坐标是
当点 在二，四象限夹角平分线上时，有
解得
，
点的坐标是
【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；
关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数、纵坐标相同；平行于x轴直线上的点纵坐标
相等．
4．已知平面直角坐标系中一点P(m+1，2m﹣4)，根据下列条件，求点P的坐标．
（1）若点Q(-3，2)，且直线PQ与y轴平行；
（2）若点P到x轴，y轴的距离相等．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）根据题意易得m+1=-3，进而求出m的值，然后求解点P坐标即可；
（2）由题意易得 ，进而求解m，最后得到点P的坐标．
【详解】解：（1）∵点Q(-3，2)，且直线PQ与y轴平行，点P(m+1，2m﹣4)，∴m+1=-3，解得m=-4，
∴2m-4=-8-4=-12，
∴ ；
（2）∵点P到x轴，y轴的距离相等，
∴ ，即 或 ，
解得 或 ，
∴m+1=5+1=6或m+1=1+1=2，2m-4=10-4=6或2m-4=2-4=-2，
∴ 或 ．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握求平面直角坐标系点的坐标是
解题的关键．
5．已知点M的坐标为(a-6，3a+1)，请分别根据下列条件，求出点M坐标
（1）点M的横坐标比纵坐标大1；
（2）点M在y轴上；
（3）点A的坐标是(2，7)，直线AM与x轴平行
【答案】（1）(-10，-11)；（2）(0，19)；（3）(-4，7)
【分析】（1）根据横坐标比纵坐标大1，即可得到关于a的方程，然后求出a的数值即可
得到答案；
（2）点M在y轴上，即可得到横坐标为0，即可得到a的值，求出点M的坐标；
（3）根据MA与x轴平行，可知点M的纵坐标为7，求出a的值，即可得到点M的坐标.
【详解】（1）解：由题意得：a-6-(3a+1)=1，解得a=-4，故点M的坐标为(-10，-11)
（2）解：由题意得：a-6=0，解得a=6，故点M的坐标为(0，19)
（3）解：由题意得：3a+1=7，解得a=2，故点M的坐标为(-4，7)
【点睛】本题主要考查点的坐标的特征，能够利用方程的思想是解题的关键.
6．如图，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是A( ，1)，且边AB，CD与x轴平
行，边AD，BC与y轴平行，AB＝4，AD＝2.
(1)求B，C，D三点的坐标；
(2)怎样平移，才能使A点与原点O重合？
【答案】(1)B (4＋ ，1)， C (4＋ ，3)， D ( ，3)；(2)见解析.
【分析】(1)根据长方形的对边平行且相等求出BC到y轴的距离，CD到x轴的距离，然后
写出点B、C、D的坐标即可；(2)根据图形写出平移方法即可．
【详解】(1)∵A( ，1)，AB＝4，AD＝2，
∴BC到y轴的距离为4＋ ， CD到x轴的距离2＋1＝3，
∴点B的坐标为(4＋ ，1)，点C的坐标为(4＋ ，3)，点D的坐标为( ，3)；
(2)由图可知，先向下平移1个单位长度，再向左平移 个单位长度(或先向左平移 个单
位长度，再向下平移1个单位长度)．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，坐标与图形变化-平移，熟练掌握长方形的对边平行
且相等并准确识图是解题的关键．
考点4：面积的求法
方法点拨：在坐标系中求图形的面积应从两个方面去把握：（1）通常用割或补
的方法将要求图形转化为一些特殊的图形，去间接计算面积；（2）需要将已知
点的坐标转化为线段的长度，以满足求面积的需要。
1．如图所示的方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示的平面直
角坐标系.
（1）请写出△ABC各点的坐标A B C ；
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得 ，在图中画出 ，
（3）求△ABC 的面积
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）7
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可；
（2）分别将点 的横坐标和纵坐标都加2得到 ，并顺次连接 ，则
即为所求
（3）根据长方形减去三个三角形的面积即可求得△ABC 的面积
【详解】（1）根据平面直角坐标系可得
故答案为：
（2）如图所示，分别将点 的横坐标和纵坐标都加2得到 ，并顺次连接
，则 即为所求（3） 的面积等于
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移作图，掌握平移的性质是解题的关键．
2．如图，已知 的三个顶点分别为 ， ， ．
（1）请在坐标系中画出 关于 轴对称的图形 （ ， ， 的对应点分别是 ，
， ），并直接写出点 ， ， 的坐标；
（2）求四边形 的面积．
【答案】（1）画图见解析， ， ， ；（2）
【分析】（1）根据关于 轴对称的点的坐标特征写出点 ， ， 的坐标，然后描点即
可；
（2）根据三角形面积公式，利用四边形 的面积 进行计算．
【详解】解：（1）根据题意得：点 ， ， 关于 轴的对称点分别为
， ， ，
如图， 为所作；（2）四边形 的面积
．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——轴对称，坐标与图形，熟练掌握轴对称图形的关
键是找到对称轴，图形关于对称轴折叠前后对应线段，对应角相等是解题的关键．
3．已知 ， ， ．
（1）在所给的平面直角坐标系中作出 ；
（2）求 ABC的面积
【答案】（1）见解析；（2）5．
【分析】（1）将A、B、C画出来，顺次连接即可；
（2）△ABC的面积等于长为4，宽为4的正方形的面积减去三个三角形的面积．
【详解】解：(1)如图即为所求作的△ABC，(2) ∵A(3，5)，B(−1，2)，C(1，1)，
∴S ABC=4×4－ ×2×1- ×3×4- ×4×2=16-1-6-4=5；
【点△睛】本题考查坐标和图形的关系以及三角形的面积，找到各点的对应点是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1.5，-2)，其中a，b满足|
a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）求 ABC的面积；
（2）在x轴上求一点P，使得 ACP的面积与 ABC的面积相等；
（3）在y轴上是否存在一点Q，使得 BCQ的面积与 ABC的面积相等？若存在，请写出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2） ；（3）存在， 的坐标为 或
【分析】（1）先根据非负性的性质求出a、b的值，从而求出AB的长，过点 作
轴于点 ，根据C点坐标得到CN的长，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）设点 ，根据 进行求解即可得到答案；
（3）设 交 轴于点 ，设 ， ，先利用面积法求出 ．则 ，再根据 ，得到 ，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，且 ，
，
．
如图①，过点 作 轴于点 ，
∵点 ，
，
∵点 ，
，
．
（2）设点 ．
∵ ，
或 ．
当 时， 与 重合，不合题意，舍去，
∴点 ；
（3）如图②，设 交 轴于点 ，设 ， ．∵ ，
．
．
∵ ，
∴
，
解得 或 ．
∴点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，绝对值方程，非负数的性质，解题的
关在于能够熟练掌握非负数的性质，求出a、b的值．
5．已知A（-2，0），B（4，0），C（x，y）
（1）若点C在第二象限，且 ，求点C的坐标，
（2）在（1）的条件下，求三角形ABC的面积；
【答案】（1）点C的坐标为（-4，4）；（2）三角形ABC的面积为12．
【分析】（1）根据点C（x，y）在第二象限，可得 ，再由 ，即可
求解；
（2）根据A（-2，0），B（4，0），可得AB=6，即可求解．
【详解】解：（1）∵点C（x，y）在第二象限，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴点C的坐标为（-4，4）；
（2）∵A（-2，0），B（4，0），
∴AB=6，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内，各象限内点的坐标特征，三角形的面积，熟
练掌握平面直角坐标系内，各象限内点的坐标特征是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2，−1)．
（1）若AB//y轴，且AB=2，请直接写出B点坐标；
（2）若将A点向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到点C，请在图中画出以
点O，点A，点C为顶点的三角形，并求△AOC的面积；
（3）在（2）问条件下，在x轴上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形，
若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）B点坐标为(−2，1)或(−2，−3)；（2）△AOC见解析，其面积为3；（3）存
在，点P的坐标为( ，0)．
【分析】（1）根据坐标与图形的性质直接写出B点坐标即可；
（2）利用平移变换的性质作出C点，连接AO、OC、AC，利用分割法，△AOC的面积看
成矩形的面积减去三个三角形面积即可；
（3）设点P的坐标为(m，0)，根据OA=OC，利用两点之间的距离公式列式求解即可．
【详解】解：（1）∵AB//y轴，且AB=2，
∴B点坐标为(−2，1)或(−2，−3)；
（2）如图，△AOC即为所求作：S AOC=4×2- ×1×2- ×2×2- ×1×4=3；
△
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为(m，0)，
∵△ACP是以AC为底边的等腰三角形，
∴PA=PC，
∴ ,
整理得： ，
解得： ，
∴点P的坐标为( ，0)．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，坐标与图形，等腰三角形的性质，三角形的面积等知
识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，学会利用分割法求三角形面积．
考点5：找规律
方法点拨：明确两个规律：①点的位置规律；②点的坐标数字规律
1．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OAB，第二次将
1 1
三角形OAB 变换成三角形OAB，第三次将三角形OAB 变换成三角形OAB，已知A
1 1 2 2 2 2 3 3
（1，2），A（2，2），A（4，2），A（8，2）；B（2，0），B（4，0），B（8，
1 2 3 1 2
0），B（16，0）．
3（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形OAB 变换成
3 3
三角形OAB，则A 的坐标是________，B 的坐标是________；
4 4 4 4
（2）若按（1）中找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An
的坐标是________，Bn的坐标是________．
（3）求出△OAnBn的面积．
【答案】（1）(16，2)， (32，0)；（2）(2n，2)， (2n+1，0)；（3） ．
【分析】（1）观察图形并结合已知条件，找到A 的横坐标、纵坐标的规律，及B 的横坐
n n
标、纵坐标的规律，即可解题；
（2）根据规律：A 的横坐标是2n，纵坐标都是2，得到An的坐标是(2n，2)，Bn的横坐标
n
是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋1，0)；
（3）分别计算 、 、 的面积，找到面积规律 的面积为:
.
【详解】解：（1） A（1，2），A（2，2），A（4，2），A（8，2）
1 2 3
的横坐标 的横坐标 的横坐标 的横坐标 ，三个点的纵
坐标都是2，
的横坐标是 ，纵坐标是0，
，
又B（4，0），B（8，0），B（16，0），
1 2 3
的横坐标 的横坐标 的横坐标 ，三个点的纵坐标都是0，
的横坐标 ，纵坐标是2，
故答案为：(16，2), (32，0)；
（2）由A（2，2），A（4，2），A（8，2）
1 2 3
可以发现它们各点坐标的关系为：横坐标是2n，纵坐标都是2，得到An的坐标是(2n，2)，
由B（4，0），B（8，0），B（16，0）
1 2 3
可以发现，它们各点坐标的关系为：横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋
1，0)，
故答案为：(2n，2)，(2n＋1，0)；
（3） 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为
，
据此规律可得 的面积为: .【点睛】本题考查平面直角坐标系与图形规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.
2．对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直
线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，
n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A 的等距点，称三角形ABC
的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC=
BC=3，所以B为点A 的等距点，此时点A的等距面积为 ．
（1）点A的坐标是（0，1），在点B （-1，0），B （2，3），B （-1，-1）中，点A 的
1 2 3
等距点为________________．
（2）点A的坐标是（-3，1），点A的等距点B在第三象限，
①若点B的坐标是 ，求此时点A的等距面积；
②若点A的等距面积不小于 ，求此时点B的横坐标t的取值范围．
【答案】（1）B , B ；（2）① ；② 或 ．
1 2
【分析】（1）根据题目示例即可判断出点A的等距点为B , B ；
1 2
（2）①分别求出AC，BC的长，利用三角形的面积计算公式即可求出点A的等距面积；
②分点B在点A左右两侧时进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图1，过A作x轴的平行线m，过B 作y轴的平行线n，交于C ，
1 1
∵点A的坐标是（0，1），在点B （-1，0），
1
∴AC =B C =1，即B 是点A的等距点，
1 1 1 1
同理：AC =BC =2，B 是点A的等距点，
2 2 2
AC ≠B C ，B 不是点A的等距点，
1 3 1 3
故答案为：B ，B ；
1 2（2）①如图，根据题意，可知AC⊥BC，
∵A（-3,1），B（ ， ），
∴AC=BC= ．
∴三角形ABC的面积为 ．
∴点A的等距面积为 ．
②当点B左侧时，如图，
则有AC=BC=-3-t，
∵点A的等距面积不小于 ，
∴ ≥ ，即 ≥ ，∴ ；
当点B在点A的右侧时，如图，
∵点B在第三象限，
同理可得， ．
故点B的横坐标t的取值范围是 或 ．
【点睛】本题主要考查阅读理解型问题，此类问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍
一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求自主探索，
理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读
——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发
你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能
力和知识的迁移能力．
3．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图）．他把图形与
x轴正半轴的交点依次记作 ， ，…， ，图形与y轴正半轴的交点依次记作
， ，…， ，图形与x轴负半轴的交点依次记作 ， ，…，
，图形与y轴负半轴的交点依次记作 ， ，…， ，发现其中包含了一
定的数学规律．
请根据你发现的规律完成下列题目：
（1）请分别写出下列点的坐标： __________， __________， __________，
__________．
（2）请分别写出下列点的坐标： __________， __________， __________，
__________．
（3）请求出四边形 的面积．【答案】（1） ， ， ， ；（2） ， ，
， ；（3）684.
【分析】（1）根据点的坐标规律即可写出.
（2）根据点的坐标规律即可写出.
（3）四边形 的面积为 计算即可.
【详解】由题意得:
的横坐标为 ，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为 ，得出
的横坐标为 ，纵坐标为0，得出
的横坐标为0，纵坐标为 ，得出
故答案为： ， ， ，
（2）根据上式得出的规律，直接即可写出 ， ， ，
故答案为： ， ， ，
（3）∵ ， ， ， ，
∴四边形 的面积为
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析.
4．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D
的坐标为（0，2）.长CB交x轴于点 ，作正方形 ；延长 交x轴于点 ，作
正方形 ……按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为多少？【答案】5
【分析】本题运用“从特殊到一般”的解题技巧，先根据点A的坐标为 ，点D的坐标
为 求出正方形ABCD的边长为 ，设其面积为 ，依此类推，再结合相似三角
形即可得到答案.
【详解】解：∵点A的坐标为 ，点D的坐标为
∴正方形ABCD的边长为 ，设其面积为 ，依此类推，接下来的面积依次为
第2011个正方形的面积为 ，
又∵三角形相似，
∴ .
∴ ， ……
∴ .
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2011个正方
形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键.
5．如图1，在平面直角坐标系中，第一象限内长方形ABCD，AB∥y轴，点A（1，1），
点C（a，b），满足 +|b﹣3|=0．
（1）求长方形ABCD的面积．
（2）如图2，长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点E从原点O出发
沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①当t=4时，直接写出三角形OAC的面积为 ；②若AC∥ED，求t的值；
（3）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴
随点，已知点A 的伴随点为A，点A 的伴随点为A，点A 的伴随点为A，…，这样依
1 2 2 3 3 4
次得到点A，A，A，…，A．
1 2 3 n
①若点A 的坐标为（3，1），则点A 的坐标为 ，点A 的坐标为 ；
1 3 2014
②若点A 的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A 均在x轴上方，则a，b应满足的
1 n
条件为 ．
【答案】（1）8;
（2）①3．
②当AC∥ED，t的值为3秒．
（3）①（﹣3，1）；（0，4）．
②﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
【详解】试题分析：(1)、首先根据非负数的形状得出a和b的值，然后根据长方形的形状
得出点B、点C和点D的坐标，从而得出长方形的面积；(2)、将t=4时的图像画出来，然
后根据三角形的面积计算法则得出答案；过点D做DF垂直x轴于F点，根据平行线的形
状得出∠CAD=∠DEF，当运动时间为t时，点D（5+t，1），点F（5+t，0），E（2t，
0），从而得出答案；(3)、首先根据题意先写出前面的几个点的坐标，从而得出点的坐标
循环规律，从而得出所要求的点坐标；首先根据题意先写出前面的几个点的坐标，根据点
所在的位置列出不等式组，从而得出a和b的取值范围．
试题解析：(1)、∵ +|b﹣3|=0， ∴a﹣5=0，b﹣3=0，即a=5，b=3，
∵四边形ABCD为长方形， ∴点B（1，3），点C（5，3），点D（5，1），
∴AB=3﹣1=2，BC=5﹣1=4， 长方形ABCD的面积为AB×BC=2×4=8．
(2)、①将t=4时，线段AC拿出来，放在图3中，各字母如图，
∵点A′（5，1），点C′（9，3）， ∴OM=5，ON=9，A′M=1，C′N=3，MN=ON﹣
OM=4，
三角形OA′C′的面积= ON•C′N﹣ OM•A′M﹣ （A′M+C′N）•MN= ﹣ ﹣ =
=3；
②过点D做DF垂直x轴于F点，如图2，∵AC∥ED， ∴∠CAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵AD∥x轴， ∴∠DEF=∠ADE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠CAD=∠DEF，
当运动时间为t时，点D（5+t，1），点F（5+t，0），E（2t，0），
则 = ，解得t=3秒， 故当AC∥ED，t的值为3秒；
(3)、①根据题意可知：A（3，1），A（0，4），A（﹣3，1），A（0，﹣2），A
1 2 3 4 5
（3，1），
由此发现此组数据以4个为一组进行循环，
2014÷4=503…2，即A =A ，
2014 2
故答案为（﹣3，1）；（0，4）．
②根据题意可知：A（a，b），A（1﹣b，a+1），A（﹣a，2﹣b），A（b﹣1，1﹣
1 2 3 4
a），A（a，b），
5
由此发现此组数据以4个为一组进行循环，
∵对于任意的正整数n，点A 均在x轴上方，则有 ，
n
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
6．已知在平面直角坐标系中，已知A（3，4），B（3，﹣1），C（﹣3，﹣2），D（﹣
2，3）.
（1）在图上画出四边形ABCD，并求四边形ABCD的面积；
（2）若P为四边形ABCD形内一点，已知P坐标为（﹣1，1），将四边形ABCD通过平移后，P的坐标变为（2，﹣2），根据平移的规则，请直接写出四边形ABCD平移后的四个
顶点的坐标．
【答案】（1）作图见解析，27;（2）A（6，1），B（6，﹣4），C（0，﹣5），D（1，
0）．
【详解】试题分析：（1）在坐标系内描出各点，再顺次连接，利用矩形的面积减去三角形
与正方形的面积即可；
（2）根据P点坐标的变化写出各点坐标即可．
解：（1）如图所示．
S =6×6﹣ ×6×1﹣ ×5×1﹣ ×5×1﹣1
四边形ABCD
=36﹣3﹣ ﹣ ﹣1
=36﹣3﹣5﹣1
=27；
（2）∵P坐标为（﹣1，1），将四边形ABCD通过平移后，P的坐标变为（2，﹣2），
∴平移后各点横坐标加3，纵坐标减3，
∴平移后的点坐标A（6，1），B（6，﹣4），C（0，﹣5），D（1，0）．
考点：作图-平移变换．
