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专题 06 有理数的乘方及混合运算(含科学记数法)之六大考点
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【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 有理数幂的概念理解】....................................................................................................................1
【考点二 有理数的乘方运算】........................................................................................................................2
【考点三 程序流程图与有理数计算】............................................................................................................4
【考点四 含乘方的有理数混合运算】............................................................................................................5
【考点五 乘方的应用】....................................................................................................................................6
【考点六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】.........................................................................................7
【过关检测】.....................................................................................................................................................8
【典型例题】
【考点一 有理数幂的概念理解】
例题：（2023·浙江·七年级假期作业）代数式 可以表示为（ ）
A． B． C． D．n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式 可以表示为 ；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
【变式训练】
1.（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末） 表示的意义是( )
A． 与 相乘 B． 与 相加 C． 个 相乘 D． 个 相加
【答案】C【分析】根据幂的意义分析即可求解．
【详解】解： 表示的意义是 个 相乘，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的意义，掌握幂的意义是解题的关键．
2.（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）在 中，底数是 ，指数是 ；
【答案】 4
【分析】根据幂的相关概念解答即可．
【详解】解：在 中，底数是 ，指数是4，
故答案为： ，4．
【点睛】本题考查了幂的概念，,一般地 中a叫做底数，n叫做指数，正确理解定义是解题的关键．
【考点二 有理数的乘方运算】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ； (3)
【答案】(1)8
(2)
(3)
【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可；
（2）根据乘方法则计算；
（3）根据乘方法则计算．
【详解】（1）解： ；
（2） ；（3） ．
【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用．
【变式训练】
1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)625
(2)
(3)0.027
【分析】（1） 表示4个 相乘，即可得出答案；
（2）先计算2的立方，即可得出答案；
（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键．
2.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ．
【答案】(1)
(2)2.25
(3)
(4)
(5)8
【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可．【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
（5） ．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．
【考点三 程序流程图与有理数计算】
例题：（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果
应为 ．
【答案】0
【分析】按照程序流程图，把 代入求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ．
【答案】4
【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：输入的值为1时，由图可得： ；输入 可得： ；
∴输出的值应为4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键．
2.（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入 ，则输出的结果为 ．
【答案】5
【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可．
【详解】解：把 代入得： ，
由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将 输入，得：
，满足大于3的要求；
则输出结果是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
【考点四 含乘方的有理数混合运算】
例题：（2022秋·陕西西安·七年级西安市东方中学校考期末）计算：
【答案】
【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．
【详解】解： ．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算：
【答案】【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】解： ．
【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
2.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】原式 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
3.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：
(1) ． (2) ．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；
（2）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要
先做绝对值内的运算．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再
算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注
意乘法运算定律的应用．
【考点五 乘方的应用】
例题：（2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合
在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第 次后可拉出几根面条？
【答案】第 次后可拉出 根面条．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得： ，
答：这样捏合到第6次后可拉出 根面条．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．
【变式训练】
1.（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．
根据此规律可得：
(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？
(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？
【答案】(1)16
(2)3
【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；
（2）根据题意，得到规律，设经过 个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成 个细胞，
经过2小时后，可分裂成16个细胞；
（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即 个细胞；
第2个30分钟分裂成4个，即 个；
…
依此类推，第 个30分钟分裂为 个细胞；
，解得 ，
经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．
【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．【考点六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】
例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为 牛．将
用科学记数法表示应为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正整
数；当原数的绝对值 时，n是负整数．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练】
1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会
的约有 人，将 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，
n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ,
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于 年4月 日至
日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款
约 亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据 亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，
n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 亿 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题．
【详解】解：A、因为 ， ，所以 和 不相等，故A不符合题意；
B、因为 ， ，所以 和 相等，故B符合题意．
C、因为 ， ，所以 和 不相等，故C不符合题意．
D、因为 ， ，所以 和 不相等，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键．
2．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省
（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗 万剂次．其中， 万用科学记数
法表示为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： 万 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确
定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
3．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道
有理数运算题，你认为做对的同学是（ ）
甲： 乙：
丙： 丁：
A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁
【答案】C
【分析】据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可．
【详解】解： ，故甲的做法是错误的；
，故乙的做法是错误的；
，故丙的做法正确；
，故丁的做法错误．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
4．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列数或式子： ， ， ，0， 在数轴上所对应
的点一定在原点右边的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】在原点右边的数即正数，所以先根据有理数乘方的定义化简各数，继而可得答案．
【详解】解： ， ， ，0， ，
∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正确理解题意，依据数轴上原点右边的数表示正数，左边的数表示
负数及有理数的乘方运算法则即可解决．
5．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分
裂成16个，那么这个过程要经过（ ）
A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
【答案】B
【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可．
【详解】解：第一次：30分钟变成2个；
第二次：1小时变成 个；
第三次：1.5小时变成 个；
第四次：2小时变成 个；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点．
二、填空题
6．（2022秋·七年级单元测试）计算： ， ．
【答案】【分析】直接根据乘方运算法则求解即可．
【详解】解： ；
；
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，掌握基本的运算法则是解题关键．
7．（2023春·福建福州·八年级统考期末）数据 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数确定 的值时，要看把原数变
成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 时， 是正整数，
当原数的绝对值 时， 是负整数．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
8．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）根据如图的程序计算，若输入 的值为1，则输出 的值为
.
【答案】4
【分析】把 代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值．【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴输出y的值为4．
故答案为：4
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义．
9．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）我们常用十进制数，如 ，我国古代《易
经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳
子上打结，并采用七进制（如 表示的数为 ），用来记录孩子自出生后的天数，由图可
知，孩子自出生后的天数是 ．
【答案】67
【分析】根据七进制列式计算即可得．
【详解】解：因为七进制是满七进一，
所以孩子自出生后的天数是
，
故答案为：67．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解七进制是解题关键．
10．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）字母 表示一个有理数，下列关于 的运算：
① ② ③ ④
其中一定成立的有 （把你认为正确的序号都填上）．
【答案】 /
【分析】①根据②幂②的①意义，绝对值的意义分别判断即可．
【详解】解：① ，故正确；② ，故正确；
③ ，故错误；
④当 时， ；当 时， ，故错误；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，体现了分类讨论的思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负
数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．
三、解答题
11．（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键．
12．（2023春·上海嘉定·六年级统考期末）计算：【答案】
【分析】先根据平方运算、绝对值运算、 计算，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、 计算，熟练掌握相关运算法
则是解决问题的关键．
13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1) ； (2) ．
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解；
（2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解；
（3）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解；
（4）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键．
14．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来： ，
， ， ，
【答案】数轴见解析，
【分析】首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用小于号连接即可．
【详解】解： ， ， ， ，
如图所示：∴ ．
【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小以及绝对值化简和乘方运算，关键是掌握在数轴上表示的两个
有理数，右边的数总比左边的数大．
15．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题
(1)计算：
(2)认真阅读材料，解决问题：
计算：
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；
解：原式的倒数是：
故原式 ．
请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：
【答案】(1)5；
(2)
【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值；
（2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：原式的倒数是：
，
故原式 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算
律是解题关键．
16．（2023·浙江·七年级假期作业）规定: .
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据原式将 、 代入即可求解；
（2）将 ， 代入等式，即可求解x的值．
【详解】（1）原式 ；
（2） ，
，
，
．
【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．
17．（2023·浙江·七年级假期作业）已知 与 互为相反数， 与 互为倒数．
(1) ； ．(2)当 时，求 的值
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据相反数、倒数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数，相乘等于1的两个
数互为倒数；
（2）根据绝对值以及平方的非负性，求得 的值，进而根据有理数的乘方进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ 与 互为相反数， 与 互为倒数．
∴
故答案为： ； ．
（2）由题（1）可知，
由绝对值的非负性、平方数的非负性得：
解得：
将 和 的值代入得： ，
【点睛】本题考查了相反数、倒数的定义，非负性以及有理数的乘方运算．熟练掌握非负数的和为0，每
个非负数均为0，是解题的关键．
18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式：
① 与 ；
② 与 ；
（2）根据以上计算结果想开去： 等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当 为正整数时， 等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） ；（3） ；理由见解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；
（2）根据（1）的结果即可得到答案；
（3）根据乘方 的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为 和 的乘积即可证明猜想；
（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）① ，
；
② ，
；
（2） ；
（3） ，理由如下：
；
（4）
．【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运
算以及逆运算来简便运算是解题关键．
