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专题06模型方法课之将军饮马模型解题方法专练（解析
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上
一个动点，则下列线段的长度等于 最小值的是( )
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称的性质可知，点B关于AD对称的点为点C，故当P为CE与AD的交点时，
BP+EP的值最小．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC
∴点B关于AD对称的点为点C，
∴BP=CP，
∴当P为CE与AD的交点时，BP+EP的值最小，
即BP+EP的最小值为CE的长度，
∵CE是AB边上的中线，
∴CE⊥AB，BE= ，
∴在Rt BCE中，CE= ，
△
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是找到当P为CE与AD的
交点时，BP+EP的值最小．
12．如图，已知点P(0，3) ，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，BC
边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 （ ）
A． B． C．5 D．2
【答案】B
【分析】
过点P作PD∥x轴，做点A关于直线PD的对称点A´，延长A´ A交x轴于点E，则当
A´、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，根据勾股定理求出 的长即可.
【详解】
如图，过点P作PD∥x轴，做点A关于直线PD的对称点A´，延长A´ A交x轴于点
E，则当A´、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，
∴AE=BE=1，
∵P(0，3) ，
∴A A´=4，
∴A´E=5，
∴ ，
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是作出点A关于直
线PD的对称点，找出PA+PB的值最小时三角形ABC的位置．
23．如图， 是等边三角形， 是 边上的高，E是 的中点，P是 上的
一个动点，当 与 的和最小时， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得
∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【详解】
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故选：A．
3【点睛】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解
答此题的关键．
4．如图，在 中，点 、 、 的坐标分别为 、 和 ，则当
的周长最小时， 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时 的周长最小，由等
腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．
【详解】
解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC
周长最小
4过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B′H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
【点睛】
此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知
识，根据已知得出A点位置是解题关键．
5．如图，在五边形 中， ， ， ， 在
， 上分别找一点 ， ，使得 的周长最小时，则 的度数
为（ ）
5A．55° B．56° C．57° D．58°
【答案】B
【分析】
作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为
AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可．
【详解】
解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，
则AM=MG，AN=NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE=152°，
∴∠G+∠H=28°，
∵AM=MG，AN=NH，
∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，
∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找
出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键．
66．如图，等腰 的底边BC长为4cm，面积为 ，腰AC的垂直平分线EF交
AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则 周长
的最小值为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【分析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据
三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于
直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为
BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
ABC
△
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝10（cm）．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线
的性质是解答此题的关键．
77．如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段
AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为
（ ）
A．75° B．90° C．95° D．105°
【答案】C
【分析】
先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最
小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可．
【详解】
解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角
三角形且FH+BF最小，
∵AC=BC，
∴CH=AC，
∵∠HCB=90°，AD⊥BC，
∴AD//CH，
∵∠ACB=50°，
∴∠ACH=∠CAE=40°，
∴△CFH≌△AEC，
∴FH=CE，
∴FH+BF=CE+BF最小，
此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．
故选：C．
【点睛】
8本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出
辅助线，有一定难度．
二、填空题
8．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和
射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____．
【答案】100°
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P ，交OA于M，交OB于
N，△PMN的周长= P P ，然后得到等腰△OP1P2中，∠O P P +∠O P P =100°，
即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP M+∠OP N=100°．
【详解】
分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ,连接P P ，交OA于M，交OB于N，则
O P =OP=OP ,∠OP M=∠MPO,∠NPO=∠NP O，
根据轴对称的性质,可得MP=P M,PN=P N，则
PMN的周长的最小值=P P ，
△∴∠P OP =2∠AOB=80°，
∴等腰△OP P 中,∠OP P +∠OP P =100°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP M+∠OP N=100°，
故答案为100°
【点睛】
此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线
99．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点 出发，
沿长方体表面到达占 处，则所走的最短路路径长是________cm.
【答案】6
【分析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成
一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
【详解】
路径一：AB= ；
路径二：AB= ；
路径三：AB= ；
∵ ，
∴ cm为最短路径，
故答案为6 cm.
【点睛】
此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
10．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的
点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度．
【答案】80°
【分析】
据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A
10关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出
∠EAB+∠FAD=50°，即可得出答案．
【详解】
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则
A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠A′=∠EAB，∠A″=∠FAD，
∴∠EAB+∠FAD=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°，
故答案为80°．
【点睛】
本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的
外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
11．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．
（1）△ABC的周长等于_____；
（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的
周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段
PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证
明）_____．
【答案】12 见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，
连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形
11PCDQ为所求的周长最小的四边形
【分析】
（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一
点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长
最小的四边形．
【详解】
（1）△ABC的周长等于 ，
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB
于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的
周长最小的四边形．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识
点是解题的关键．
12．如图，在 中． ，若 ， ， ，将
折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则
的周长最小值为___．
【答案】20．
【分析】
根据 由 沿AD对称,得到 ，进而表示出 ，
最后求 周长即可．
12【详解】
由 沿AD对称得到，
则E与C关于直线AD对称，
，
∴ ，
如图,连接 ，
由题意得 ，
∴ ，
当P在BC边上，即D点时取得最小值12，
∴ 周长为 ，最小值为 ．
故答案为:20．
【点睛】
本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，
以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则
PC的长的最小值为_____．
【答案】
【分析】
以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证
△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
【详解】
解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
13∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝ ，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋ ＝ ，
∴PC的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
14．如图，在锐角 中， ，边 上有一定点 分别是 和
14边上的动点，当 的周长最小时， 的度数是_________．
【答案】80°
【分析】
根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，
继而求得答案；
【详解】
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
【点睛】
此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想
的应用．
15．如图，等腰三角形 的底边 长为10，面积是40，腰 的垂直平分线
分别交 ， 边于 ， 点．若点 为 边的中点，点 为线段 上一动点，
15则 周长的最小值为______．
【答案】13
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角
形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直
线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴ ，
解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵
∴AD的长为 的最小值，
16∴△CDM的周长最短= ．
故答案为：13．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关
键．
三、解答题
16．一个长方体盒子的长、宽、高分别为7cm、5cm，9cm.一只虫子想在盒子表面上
顶点 处爬到顶点 处，请你设计一条最短的爬行路线，求出最短路线的长，并说明
理由.
【答案】15cm
【分析】
画出长方体的表面沿展开图，连接AF分三种情况，利用勾股定理进行解答.
【详解】
把长方体的表面沿不同的棱展开，有三种不同的图形，如图1，图2，图3.
图1 图2 图3
如图1，在 中， ， ， ，
所以 ；
如图2，在 中， ， ， ；
如图3，在 中， ， ， .
17图3中的 最长，图1中的 最短.
所以蚂蚁应沿图1路线爬行到顶点 处，
所以最短路线长15cm.
【点睛】
此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出图形然后分情况讨论.
17．如图，在等腰三角形ABC中，底边 ， 的面积是 ，腰AB的
垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动
点．
（1）当 周长的最小时，请在图中作出满足条件的 （保留作图痕迹，不要
求写出画法）．
（2） 周长的最小值是___________．
【答案】（1）图见解析；（2）5.5
【分析】
（1）根据三角形周长公式和两点之间线段最短来分析，进而再利用简单的作图方法即
可作图；
（2）根据三角形面积公式求出AD，再根据中点定义求出BD即可求解．
【详解】
（1）如图所示；连接AM，
∵EF是AB的线段垂直平分线
∴AM＝BM
∴△BDM的周长＝BM＋DM＋BD
又AM＝BM
∴△BDM的周长＝AM＋DM＋BD
∵BD是定值
18∴当A、M、D三点在一条直线上时，AM＋DM值最小，即△BDM的周长最小，
（2）∵△ABC是等腰三角形
又点D为BC边上的中点，
∴AD是△ABC BC边上的高，
∵， ， 的面积是 ，
∴BD＝1.5cm，AD＝4cm
∴△BDM的周长最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm
【点睛】
本题考查轴对称—最短路线问题，线段存在平分线的性质、等腰三角形的性质、三角
形周长公式和面积公式等知识，解题的关键是运用所学知识求得△BDM的周长最小值
＝AM＋DM＋BD
18．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1）作出 关于 轴的对称图形 ；
19（2）写出点 ， ， 的坐标；
（3）在 轴上找一点 ，使 最短（不写作法）．
【答案】（1）见解析；（2） ， ， ；（3）见解析
【分析】
（1）根据轴对称的性质确定点 ，顺次连线即可得到图形；
（2）根据点的位置直接得解；
（3）连接 与y轴交于一点即为点P，连接PC，此时AP+PC最短．
【详解】
解：（1）如图所示， 为所求作．
（2）由图可得， ， ， ．
（3）如图所示，点 即为所求作．
【得解】
此题考查轴对称的性质，轴对称作图，点的坐标，最短路径问题，正确理解轴对称的
性质作出图形是解题的关键．
19．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（−4，5），B（﹣
3，1），C（−2，3）．
20（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A B C ，其中点B 的坐标是________；
1 1 1 1
（2）若点M是x轴上的动点，在图中画出使△B CM周长最小时的点M．
1
【答案】（1）图形见解析；B（3，2）；（2）见解析
1
【分析】
（1）分别找到A、B、C点关于y轴的对称点，然后连接即可；
（2）找C关于x轴的对称点C′，连接 交x轴于一点M，根据两点之间线段最短，
可知此时的M即为使 周长最小时的点M．
【详解】
解：（1） 如图所示；根据图形可知B (3，2)，
1
故答案为：(3，2)；
（2）如图所示：找C关于x轴的对称点C′，则C′(-2，-3)， ，
连接 交x轴于一点M，根据两点之间线段最短，可知此时的M即为使 周
长最小时的点M．
【点睛】
21本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．
20．如图， 是平面内三点．
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．
①作射线 ，过点 作直线 ，使 两点在直线 两旁；
②过点 作直线 的垂线段，垂足为 ；
③点 为直线 上任意一点，点 为射线 上任意一点，连结线段 ．
（2）在（1）所作图形中，若点 到直线 的距离为2，点 到射线 的距离为5，点
、 之间的距离为8，点 之间的距离为6，则 的最小值为__________，
依据是___________．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短
【分析】
（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②过点A作AE⊥直线 ，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值．
【详解】
解：如图所示，
（1）①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线 ，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线 相交与点P，
22∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5．
依据为：垂线段最短．
故答案为：5，垂线段最短．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关
键．
21．如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处．
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接 ，试说明
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）要使PA＋PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直线l的对称
点A′，连接A′B交直线l于P；
（2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．根据轴对称的性质得到PA＝
PA′，QA＝QA′．根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，点P即为所求．
（2）如图，在直线l上任取一点Q，连接 ．
23∵点A与 关于直线l对称，点P，Q在直线l上，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了轴对称，以及三角形的三边关系，正确确定如何使线段的和最小是关键．
22．要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为同侧的A，B两个居民小区
发送快件．
（1）试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请
在如图中，画出点P的大致位置；
（2）试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短．请
在如图中画出点M的大致位置；
（3）如图，D是 内一点，连接 ．延长 交 于点E．
∵在 中， ①，
在 中， ②；
∴①＋②得 ；
∴ ．
如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该
区域．请同学们用以上这个结论，在图中画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两
个居民小区路程之和最短．
24【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线点性质点P在线段AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分
线，与l的交点即为所求；
（2）根据两点之间线段最短的性质，作点A关于l的对称点A，连接BA 与l的交点
1 1
Q即为所求；
（3）如图，作点A关于l的对称点A，连接DA，BD，DA 与l交于点Q，由已知可
2 2 2
得QE+BE＞QD+BD，可得QD+BD是点B到点Q的最短距离，点Q即为所求．
【详解】
（1）如图，点P即为所求：
（2）如图，点M即为所求：
（3）如图，点Q即为所求：
【点睛】
本题考查轴对称——最短路径，熟练掌握轴对称性质是解题关键．
2523．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，
， ．
（1）画出 关于 轴的对称图形 ；
（2）画出 向右平移4个单位长度后得到的 ；
（3）如果点 是 内部的一点，则经过上述两次变换后，在 内部
的对应点 的坐标是__________；
（4）在 轴上存在一点 ，使 的值最小，请在图中标出点 ，并直接写出点
的坐标__________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ；（4）画图见解析，
【分析】
（1）作出A、B、C 即可得到答案，
1 1 1
（2）作出A、B、C 即可得到答案，
2 2 2
（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位
长度则横坐标增加4，
（4）作A关于y轴对称点A′，连接A′B，与y轴交点即为所求的点P，可以求出A′B的
解析式，再令x=0即可得答案．
【详解】
解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△ABC 见下图；
1 1 1
26（2）△ABC 沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△ABC 见上图；
1 1 1 2 2 2
（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位
长度则横坐标增加4，
∴AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，对应AC 上的点M 的坐标是（a+4，
2 2 2
b），
故答案为：（a+4， b）；
（4）如下图：
若使PA+PB的值最小，作A关于y轴对称点A′，连接A′B，与y轴交点即为所求的点
P，
∵A（ 3，5），
∴A′（3，5），
又B（ 2，1），
∴A′B的解析式为： ，
令x=0得 ，
∴P（0， ），
27故答案为：（0， ）．
【点睛】
本题考查对称、平移的作图和坐标变化，最短路径问题，解题的关键是作出特殊点的
对应点．
24．如图，等边 （三边相等，三个内角都是 的三角形）的边长为 ，动
点 和动点 同时出发，分别以每秒 的速度由 向 和由 向 运动，其中一个
动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为 ， ， 和 交于点 ．
（1）在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由；
（2）连接 ，求 为何值时， ；
（3）若 于点 ，点 为 上的点，且使 最短．当 时，
的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【分析】
（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；
（2）根据DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可；
（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则
DP+PE=D'E，证明△CD′E为等边三角形，即可求D'E的值．
【详解】
解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，
∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
28∴AD=AE，
∵AB=AC=10，
∴t=10-t，
∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，
∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，
∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，
∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．
【点睛】
本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段DP+PE=D'E，再由等边三
角形的性质求解D'E的长是解题的关键．
25．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点 ，则所有符合 且 的点 会组成一个圆.这个结论
29最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
（问题）如图1，在平面直角坐标中，在 轴， 轴上分别有点 ，点
是平面内一动点，且 ，设 ，求 的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在 上取点 ，使得 ；
第二步：证明 ；第三步：连接 ，此时 即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在 上取点 ，使得 ，
又 .
任务：
将以上解答过程补充完整.
如图2，在 中， 为 内一动点，满足
，利用 中的结论，请直接写出 的最小值.
30【答案】（1） （2） .
【分析】
⑴ 将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中
可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；
⑵ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对
应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时 为最小值，所以
= =
【详解】
解 ，
，当 取最小值时， 有最小值，即 三
点共线时有最小值，利用勾股定理得
的最小值为 ，
提示： ， ，
的最小值为 .
【点睛】
31此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的
关键.
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