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专题06 海伦—秦九昭公式
【例题讲解】
阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积
术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
……①（其中 、 、 为三角形的三边长， 为面积）．而另一个
文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ……②（其中
）
（1）若已知三角形的三边长分别为 ， ， ，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积 ；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．
【详解】解：（1）由公式得①得
由②得 ，故
（2）可以，过程如下： ，
【综合解答】
1．已知三角形的三边长分别为 ， ， ，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式
（其中 ），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计
算这个三角形的面积．
【答案】
【分析】根据题意可直接代入公式进行求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的应用是解题的关键．
2．我国南宋时期数学家秦九昭及古希腊的几何学家海伦对于问题：“已知三角形的三边，如何求
三角形的面积”进行了研究，并得到了海伦—秦九昭公式：如果一个三角形的三条边分别为 ，
记 ，那么三角形的面积为 ，请用此公式求解：在 中，
， ， ，求 的面积.
【答案】
【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
【详解】解： ， ， ,
,
.
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
3．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p= （a+b+c），则有下列面积公式：S=（海伦公式）；S= （秦九韶公式）．
(1)一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为 ， ， ，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先求出 ，再由海伦公式计算即可；
（2）先求出 ， ， ，再由秦九韶公式计算即可．
【详解】（1）∵一个三角形的三边长依次为3，5，6，
∴ ，
由海伦公式得： ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
由秦九韶公式得： ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式；熟练掌握二次根式的化简是解题的关
键．
4．材料阅读：
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记
，那么三角形的面积为 ，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式．
(1)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式
的一致性．如图①，在 ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求 ABC的面积．
△ △
(2)在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为
____________．
【答案】(1)我同意这种说法．
(2)
【分析】（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的；
（2）利用角平分线的性质与判定定理得点O到△ABC三边的距离相等，设OD=x，再利用面积相
等即可求解．
（1）
解：我同意这种说法．
验证：利用海伦公式：p= ×（5+6+7）=9．
ABC的面积的面积为： ；
△利用秦九韶公式：
ABC的面积的面积为
△
．
∵ ，
∴海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．且 ；
（2）
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴点O分别到AB、BC及BC、AC的距离相等，
∴点O到AB、AC的距离相等，
∴O在∠BAC的平分线上，
∴O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，
∴△ABC的面积等于： ×（5+6+7）x=6 ，
解得：x= ．
所以OD的长为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，角平分线的判定定理与性质定理，解题的关键是明白海伦
公式与秦九韶公式的运用，代入数据即可．
5．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么这个三角形的面积
为 ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接
求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为
“海伦-秦九韶公式” ．解答下列问题：如图，在 中， ， ， ．(1) 的面积；
(2)过点A作 ，垂足为D，求线段AD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得三角形周长的一半，即 的值，然后代入公式进行计算即可求解；
（2）根据三角形面积进行计算即可求解．
（1）
∵ ， ， ，∴ ，
∴ 的面积 ；
（2）
如图，∵ 的面积 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形面积公式，二次根式的应用，正确的计算是解题的关键．
6．秦九韶（1208年－1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁
郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的
世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，
是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的
《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几
何学家海伦的成果统称海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记
，那么三角形的面积为：
(1)在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．
(2)如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．
求BE的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代
入公式，计算三角形的面积即可；
（2）根据角平分线的性质的到ED＝EH＝EF，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦-秦九韶
公式求得△ABC的面积．再根据 ，即可求DE，根据勾股定理求出
BE．
（1）
解：p＝ ，
∴ ；（2）
解：如图，过点E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足为F，H．
由角平分线的性质可得：ED＝EH＝EF．
在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦—秦九韶公式：
求得p=
△ABC的面积为： = ．
∴ ，
即 ，
；
又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D
∴ ，
∴在Rt∆BDE中， 由勾股定理得：
BE= ．
【点睛】本题考查二次根式的应用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性质，
解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角形的面积．
7．已知 是关于 的一元二次方程 的两实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)已知等腰 的底边 ，若 恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．(3)阅读材料：若 三边的长分别为 ，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：
，其中 ，在（2）的条件下，若 和 的角平
分线交于点 ，根据以上信息，求 的面积．
【答案】(1) 且
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义
得出 ，即可求解；
（2）根据 恰好是等腰 的腰长，令 ，解一元二次方程求得 ，进而即可求解；
（3）由(2)知： 的三边长为 ，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得
，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，且 ，
化简得： ，
解得： 且 ；
（2）由题意知： 恰好是等腰 的腰长，
∴ ，
∵ 是关于 的一元二次方程 的两实数根，
∴ ，
解得 ，∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ 的周长为： ；
（3）由(2)知： 的三边长为 ，
∴ 5，
∴ ，
过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ，
∵ 是△ABC角平分线的交点，
∴ ，
∴
，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平
分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
8．请阅读下面材料，并解决问题：
海伦——秦九韶公式
海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个
三角形的三条边长分别为a，b，c，记 那么三角形的面积 ．
这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202－1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角
形的三边长求面积的秦九韶公式 ．它填补了中国数学史中的一个空白，
从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公
式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．
问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．
【答案】
【分析】已知三角形ABC的三边为整数，直接将其带入海伦公式求面积即可.
【详解】解：根据材料，得 ， ， ，
，
．
【点睛】本题题型属于阅读理解型，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再
运用材料中的知识点解决对应的问题即可．
9．在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准
确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦
（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，
给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德
（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：
如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为 ．（公式
里的p为半周长，即 ）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意直接将三边长代入海伦—秦九韶公式即可求得答案；
（2）根据题意分别计算△ABC的面积和△ACD的面积进而相加即可得出四边形的面积．
【详解】（1）解：由海伦—秦九韶公式可得三边长分别为3、6、7的三角形面积为：
，
；
（2）连接AC，如图，∵四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5，
∴△ABC的面积= ×3×4＝6，
∵ ，
∴△ACD的面积= ，
∴四边形ABCD的面积为： .
【点睛】本题考查二次根式的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式进行解答．
10．设一个三角形的三边长为a，b，c， ，则有下列面积公式：
（海伦公式），
（秦九韶公式）
请选择合适的公式求下列三角形的面积：
(1)三角形的三边长依次为a=5，b=6，c=7；
(2)三角形的边长依次为a= ，b= ，c= ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 ，然后利用海伦公式求解即可；（2）先求出 ， ， ，然后利用秦九韶公式求解即可；
（1）
解：∵a=5，b=6，c=7，
∴ ，
∴
；
（2）
解：∵a= ，b= ，c= ，
∴ ， ， ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是关键．
11．[阅读材料]
我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，为三角形和多边形的面积计
算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用秦九韶公式可以更简
便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就
可以方便地求出答案，即三角形的三边长分别为a、b、c，则其面积S＝
（秦九韶公式），此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a、b、c，记p＝ ，则其面积S＝ （海伦公式），虽然这两个公式形
式上有所不同，但它们本质是等价的，计算各有优劣，它填补了中国数学史中的一个空白，从中
可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．
[解决问题]
（1）当三角形的三边a＝7，b＝8，c＝9时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算出三
角形的面积．
（2）当三角形的三边a＝ ，b＝2 ，c＝3时，请你从上面两个公式里，选择合适的公式计算
出三角形的面积．
【答案】（1）S=12 ；（2）S＝
【分析】（1）利用三角形的三边均为整数，可选择海伦公式进行计算；
（2）利用三角形的三边中有无理数，可选择秦九韶公式进行计算．
【详解】解：（1） ，
由海伦公式得：
，
，
；
（2）由秦九韶公式得：
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了数学常识，三角形的面积，二次根式的应用，根据三角形三边数字的特
征选择恰当的公式是解题的关键．12．设一个三角形的三边长分别为 ， ， ， ，则有下列面积公式：
（海伦公式），
（秦九韶公式）．
（1）一个三角形的三边长依次为 ， ， ，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为 、 ， ，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据题目所给公式把 ， ， 代入求解即可得到答案；
（2）根据题目所给公式把 ， ， 代入求解即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得： ，
∴海伦公式求解：
；
秦九韶公式求解：
；
（2）∵ ，∴ ，
同理得 ， ，
∴海伦公式求解：∵ ，
∴
，
∴ ；
秦九韶公式求解：
；【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和平
方差公式．
13．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么这个三角形的面
积S＝ ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求
三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为
“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h，AC边上的高为h，求h+h 的值．
1 2 1 2
【答案】（1）△ABC的面积为 ；（2）
【分析】（1）根据题中所给公式可进行求解；
（2）由（1）及利用等积法可进行求解．
【详解】解：（1）∵a＝9，b＝7，c＝8，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）及题意得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
14．人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，
它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为 、、 ，记 ，那么这个三角形的面积为 ，如图，在
中， ， ， ．
（1）求 的面积；
（2）设 边上的高为 ， 边上的高为 ， 边上的高为 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】(1)直接将三角形的三边代入计算，再根据根式的性质进行化简计算；
(2)通过三角形面积公式以及第一问求出来的结果进行计算，可分别得出三角形三边的高，最后求
和即可得出最终结果．
【详解】解：(1) ，
，在 中， ， ， ，
代入可得 ，
；
(2) 设 边上的高为 ， 边上的高为 ， 边上的高为 ，
则 = ，
可得到 ，
，
，
．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算
法则是解决本题的关键．
15．综合与实践
问题情境
在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为
主题开展了数学活动.
操作发现
“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1是6×6的正方形网格，每个小正
方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，
同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此
图求出了△ABC的面积.
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面积为
.
实践探究
（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE= ，DF= ， EF=
，并写出△DEF的面积.
继续探究
“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求
其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年），
在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式：
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：（3）一个三角形的三边长依次为 ， ， ，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角
形的面积.（写出计算过程）
【答案】（1） ， ， ， ；（2）图见解析； DEF的面积为4；（3） .
△
【分析】（1）利用勾股定理计算 ABC的三边长；利用 ABC所在正方形的面积减去周围直角三
角形的面积可求其面积； △ △
（2）仿照“毕达哥拉斯”小组的方法利用勾股定理在正方形网格中画出 DEF，并利用割补法求
其面积即可； △
（3）利用秦九韶公式，代入求值即可.
【详解】解：（1） ， ， ，
ABC的面积＝ ，
△
故答案为 ， ， ， ；
（2） DEF如图所示，
△
DEF的面积＝ ；
△
（3）将 ， ， 代入秦九韶公式，
得.
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用以及二次根式的运算，如果直角三角形的两条直角边
长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
16．已知△ABC三条边的长度分别是 ， ， ，记△ABC的周长为C
ABC
△
．
(1)当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）；
(2)请求出C ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
△
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，
当C ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
△
【答案】(1)3
(2) ＋5
(3)
【分析】（1）依据△ABC三条边的长度分别是 ， ， ，即可得到当x
＝2时，△ABC的最长边的长度；
（2）依据根式有意义可得﹣1≤x≤4，进而化简得到△ABC的周长；
（3）依据（2）可得 ，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，
所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．
【详解】（1）解：当x＝2是， ， ，
∴△ABC的最长边的长度是3；
（2）解：由题知： 解得
∴ ，∴C ABC＝ ＋ ＋ ＝ ＋5−x＋x＝ ＋5
△
（3）解：∵C ABC＝ ＋5，且
△
又∵x为整数，且C ABC有最大值，
△
∴
∴当x＝4时，三边长度分别为1，4， ，但 ，不满足三角形三边关系
∴x≠4
当x＝3时，三边长度分别为2，2，3，满足三角形三边关系．此时C△ABC的最大值为7
不妨设a＝2，b＝2，c＝3
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三
边长度的特点选择合适的公式代入计算．
