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2022-2023 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 06 等边三角形的性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使
，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，
又CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，
∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，
故A、B、C均正确．
故答案为：D．
【思路引导】利用等边三角形性质得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；∠ABD＝∠CBD＝
30°，再利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质可得到∠CDE＝∠CED＝30°，可对A作出判断；由
此可推出∠CBD=∠DEC，同时可求出∠BDE的度数，可对B作出判断；利用等角对等边可证得DE=DB，可对C作出判断；不能证明DE=AB，可对D作出判断.
2．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【完整解答】解：根据题意得：最大角 ，
当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，
∴最大角a的取值范围是 .
故答案为：D.
【思路引导】根据三角形的内角和定理可得α<180°，当三角形为等边三角形时，α=60°，据此可得α的范
围.
3．（2分）（2021八上·遵义期末）点D、E分别是等边三角形 的边 、 的中点，
，F是AD上一动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【完整解答】解：连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6.
故答案为：A.
【思路引导】连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，根据等边三角形的性质可得CE⊥AB，根
据轴对称的性质可得BF+EF=CF，推出AD是BC的垂直平分线，得到CF=BF，则BF+EF=CF+EF=CE，证
明△ADB≌△CEB，得到CE=AD=6，据此解答.
4．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB
于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【完整解答】解：连接BE，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，
∴BE=DE，
在Rt BEF中，EF=1，
∴BE△=2EF=2，
∴BE=DE=2，
∴DF=EF+DE=3，
故答案为：C.
【思路引导】连接BE，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得
∠D=∠CBE，由等角对等边可得BE=DE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2，即得
DE=2，从而得出DF=EF+DE=3
5．（2分）（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置
在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【完整解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH.
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10.
故答案为：B.
【思路引导】利用AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF=CH，由于△BDE和△FGH是两个全等的等边三角
形，
可得BE=FH，由于五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+
AF)+(CE+BE)=AB+BC，据此计算即可.6．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边 的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，
Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【完整解答】解：过P作 ，交AC于M，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【思路引导】过P作 ，交AC于M，得出 是等边三角形，推出 ，根据
等腰三角形的性质证出 ，推出 ，即可得出结论。
7．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），在
同侧分别作正 和正 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，
连接 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ 是等边三角形．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【答案】A
【完整解答】解： 和 是正三角形，
， ， ，
， ，
，
，故①符合题意，
，故②符合题意；
，
，
，故③符合题意；
， ， ，
．
，
，
是等边三角形，故④符合题意；
故答案为：A．
【思路引导】根据三角形全等的判定、等边三角形的性质判断各选项即可得出答案。
8．（2分）（2021八上·江油期末）下列结论正确的是（ ）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B．两个等边三角形全等
C．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】D
【完整解答】解：A、∵两个三角形全等至少有一条边对应相等，错误；
B、两个等边三角形三个角对应相等，但对应边不一定相等，∵两个三角形全等至少有一条边对应相等，
错误；
C、 一条斜边对应相等，且有一个直角边对应相等的两个直角三角形全等，错误；
D、 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，正确；
故答案为：D.
【思路引导】三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，利用HL可证直角三角
形，逐项分析即可判断.
9．（2分）（2021八上·德阳月考）如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在
正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【完整解答】解： 设BE与AC交于点P'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P'D=P'B，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小，∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
∴ PD+PE的最小值为4.
故答案为：C.
【思路引导】由于点B与D关于AC对称，连接BE，与AC的交点即为P点，此时PD+PE=BE最小，根据
正方形ABCD的面积为16，得出AB=4，根据等边△ABE的性质得出BE=AB，即可得出答案.
10．（2分）（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形 中，M是高 所在直线上
的一个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 .则在点
M运动过程中，线段 长度的最小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【完整解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB= AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH= ×60°=30°，CG= AB= ×5=2.5，
∴MG= CG= ，
∴HN= .
故答案为：A.【思路引导】取BC的中点G，连接MG，根据旋转角为60°可得∠MBH+∠HBN=60°，根据等边三角形
的性质可得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，推出∠HBN=∠GBM，易得HB= AB，则HB=BG，根据旋
转的性质可得BM=BN，证明△MBG≌△NBH，得MG=NH，由垂线段最短可知：MG⊥CH时，MG最短，
即HN最短，此时∠BCH=30°，CG= AB=2.5，据此求解.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021八上·丰台期末）如图，在等边三角形 中， ， 是 边的高线，延
长 至点 ，使 ，则BE的长为 ．
【答案】3
【完整解答】解： 三角形 是等边三角形，
BC＝AC＝2，
又 是 边的高线，
DC＝ ，
＝1，
，
故答案为：3.【思路引导】根据等边三角形的性质可得CD= AC=1，所以CE=CD=1，再利用BE=BC+CE计算即可。
12．（2分）（2021八上·本溪期末）如图， 和 都是等边三角形，连接AD，BD，BE，
．下列四个结论中：① ≌ ；② ；③
；④ ，正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【完整解答】解： 和 都是等边三角形，
，
，
，
，
故①符合题意；
，
在四边形 中，
，
，故②不符合题意；
，
，
，
，
，
故③符合题意；
，
，
不一定等于 ，
不一定成立，
故④不符合题意；
故答案是：①③．
【思路引导】由“SAS”可证 ，故①正确，由全等三角形的性质和四边形内角和定理可得
，故 ② 错误，先求出∠ADB=90°，由勾股定理可得 ，故③
正确，由∠ADC的大小无法确定，可得∠BED不一定为90°，故④ 错误，即可求解。
13．（2分）（2021八上·延边期末）如图，正三角形ABC中，D是AB的中点， 于点E，过
点E作 与BC交于点F．若 ，则 的周长为 ．【答案】18
【完整解答】解： 是等边三角形，
， ，
，
，
为等边三角形，
，
由于D是AB的中点，故 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为：18．【思路引导】由等边三角形的性质得出 ， ，再由含30度角
的直角三角形的性质得出 ，则 ，再证出 为等边三角形，即
可求解。
14．（2分）（2021八上·道里期末）如图， 是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段
AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作 于点N， ， ，若 ，
则AN的长为 ．
【答案】22
【完整解答】解：作DG∥AC交BC于G，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∴∠DGB=∠ACB=60°，∠DGF=∠ECF，
∵∠DFG=∠EFC， ，
∴△DFG≌△EFC，
∴ ，
∵∠DGB=∠ACB=60°，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
，
则 ， ，
AN的长为27-5=22，
故答案为：22．【思路引导】作DG∥AC交BC于G，根据 是等边三角形，证出△DFG≌△EFC，得出 ，
再证出 是等边三角形，得出 ，设 ，则 ，根据垂直的性质得出a的值
即可。
15．（2分）（2021八上·铁西期末）如图， 是等边三角形， 是 边上的高， 是 的中
点， 是 上的一个动点，当 与 的和最小时， 度．
【答案】30
【完整解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP=30°，
故答案为：30．
【思路引导】连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得出
PC=PB，即BE就是PE+PC的最小值，根据△ABC是等边三角形，得出BE⊥AC，从而得出∠ACP的度数。
16．（2分）（2021八上·延边期末）如图， 是等腰直角三角形，AB是斜边，以BC为一边在右侧
作等边三角形BCD，连接AD与BC交于点E，则 的度数为 度．
【答案】75
【完整解答】解：∵ 是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，∠BCD=60°，
∴AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ；
故答案为：75．
【思路引导】结合等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质得出AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，进而
求解 ，再利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解。
17．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、
AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝ 度.
【答案】30
【完整解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH.
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为30.
【思路引导】作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，根据等边三角形的性质和平行线的性质得出有
关角或边相等，利用SAS证明△ABM≌△CHN，得出BM＝HN，根据两点之间线段最短得出B，N，H共
线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，由△ABM≌△CHN，求出∠ABM=45°，然后由角的和差关系求出
∠DBM＝15°，从而求出∠MBN的度数即可.
18．（2分）（2021八上·铁东期中）如图，在 中， ， ，以BC为
边在BC的右侧作等边 ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当
的值最小时， 的度数为 ．【答案】15°
【完整解答】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P，
1
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P 时，AP+BP有最小值，
1
连接BP，则BP=DP，
1 1 1
∴∠PBD=∠PDB，又∠CBD=∠BDC，
1 1
∴∠CBP=∠CDP ，
1 1
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP =∠CAD，即
1
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP +∠CAD=2∠CDP ，
1 1∴∠CDP =15°，即∠CBP=15°，
1 1
∴当 的值最小时， =15°，
故答案为：15°．
【思路引导】连接PD、AD，设AD与CE交于点P，因为△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，得出
1
CE为线段BD的垂直平分线，PD=BP，当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，当点A、P、D
共线时即点P运动到P 时，AP+BP有最小值，连接BP，则BP=DP，得出∠CDP =∠CAD，延长AC至
1 1 1 1 1
Q，得出∠CBP=15°，推出当 的值最小时， =15°。
1
19．（2分）（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点
分别落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，则AB的长为 .
【答案】
【完整解答】解：如图，在EB上取一点G，使EG=AD，连接FG，
∵∠A=90°-∠B=60°，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DEF=60°，DE=EF，
∵∠FEG+∠AED=180°-∠DEF=120°，∠ADE+∠AED=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠FEG，在△AED和△GEF中，
{
AD=EG
∠ADE=∠FEG，
DE=EF
∴△AED≌△GEF（SAS），
∴∠FGE=∠DAE=60°，
∴∠GFB=∠FGE-∠B=30°，
∴∠B=∠GFB，
∴GB=GF，
设AD=EG=x，
∴BG=BE-EG=6-x，
∴AE=FG=GB=6-x，
∴AB=AE+EG+GB=2（6-x）+x=12-x，
∵AC=AD+CD=x+4，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∵2AC=AB，
∴2（x+4）=12-x，
解得：x= ，
∴AB=12-x=12- = .
故答案为： .
【思路引导】在EB上取一点G，使EG=AD，连接FG，根据等边三角形的性质得出∠DEF=60°，
DE=EF，然后利用角的和差关系求出∠ADE=∠FEG，则可利用SAS证明△AED≌△GEF，得出∠FGE=∠DAE，AD=EG，通过三角形外角的性质求出△FGB为等腰三角形，设AD=EG=x，然后把AC和
AB用x表示出来，结合AB=2AC建立方程求解，即可求出AB长.
20．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一
动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为 .
【答案】2
【完整解答】解：如图，连接AP，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8，
∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，
∵△CEP为等边三角形，
∴CE=CP，∠PCE=60°，
∴∠PCE=∠ACB，
∴∠BCE=∠ACP，
∴在△BCE和△ACP中，
∴△BCE≌△ACP（SAS），∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，
∴当DP⊥AP时，DP值最小，
此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4，
∴DP=2.
故答案为：2.
【思路引导】连接AP，由等边三角形的性质可得BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，
∠CBE=30°，CE=CP，∠PCE=60°，证明△BCE≌△ACP，得到∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，推出当
DP⊥AP时，DP值最小，据此求解.
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·盐池期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使
．求证： ．
【答案】证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2= ∠ABC=30°，由等腰
三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证
明.
22．（5分）（2021八上·建邺期末）如图，在 中， ， 和 都
是等边三角形， 和 交于点 ，求证： .【答案】∵ 和 都是等边三角形；
∴ ，
∵ ，
∴
在 中，
∴
【思路引导】由等边三角形的性质可得∠ACP=∠CBQ=60°，由角的构成可求得∠BCP=30°，在三角形
BCH中，由三角形的内角和等于180°可求解.
23．（9分）（2021八上·覃塘期中）如图，已知 ABC是等边三角形，点M，N分别在CB，BC的延
长线上，且BM＝CN.
（1）（4分）求证：AM＝AN；
（2）（5分）在（1）的条件下，作∠AMN的平分线MF，MF与AB，AC，AN分别交于点D，E，
F，若AD＝MD.求证：MF＝AC+CN.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点M，N分别在CB，BC的延长线上，
∴∠ABM＝∠ACN＝120°，
又BM=CN，
∴△ABM≌△CAN（SAS），
∴BM=CN；
（2）证明：∵MF是∠AMN的平分线，
∴∠AMF=∠CMF，∵AD=MD，
∴∠AMF=∠MAB，
∴∠AMF=∠MAB=∠CMF，
又由（1）知：∠NAC=∠MAB，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠MAB+∠BAC=∠CMF+∠ACB，即∠MAE=∠MEA，
∴MA=ME，
∵∠MAF=∠MAE+∠NAC=∠MAE+∠AMF=∠MEC，
∴ △MEC≌△MAF（ASA），
∴MF=MC，又AC=BC，CN=BM，
∴MF=AC+CN.
【思路引导】（1）由题意用边角边可证△ABM≌△CAN，根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）由角平分线定义得∠AMF=∠CMF，结合等边对等角得∠AMF=∠MAB=∠CMF，结合三角形外角的
性质得∠MAE=∠MEA，由等角对等边得MA=ME，由角的构成可得
∠MAF=∠MAE+∠NAC=∠MAE+∠AMF=∠MEC，用角边角可证△MEC≌△MAF，由全等三角形的对应
边相等得MF=MC，于是MF=MC=BC+MB=AC+CN可求解.
24．（13分）（2021八上·遵义期末）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维
也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到
一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例
子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：
（1）（3分）（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直
接写出结论：AE DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.
（2）（5分）（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，
请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE ▲ DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由
如下，过点E作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.
（3）（5分）（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.
（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.
【答案】（1）＝
（2）解：＝；理由如下，过点E作EF//BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°，AB=AC，
∵EF//BC，
∴AEF=∠ABC=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
{
DE=CE
在△DBE和△EFC中， ∠DEB=∠ECF ，
BE=FC
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）解：点E在AB延长线上时，如图3所示，作EF//BC，交AC的延长线于点F，则△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝2，BE=CF，∠ABC=∠DBE=∠F=60°，
在△DBE和△EFC中，
{
DE=CE
∠DEB=∠ECF ，
BE=FC
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF＝2，BC＝1，
则CD＝BC+DB＝3.
【完整解答】解：（1）AE＝DB，理由如下：
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD＝ ∠ACB＝30°，
∴∠EDC＝30°，
∵∠CBE=∠D+∠DEB=60°，
∴∠D＝∠DEB＝30°，
∴DB＝BE，
∵AE＝BE，
∴AE＝DB；
故答案为：＝；
【思路引导】(1)由E为等边三角形AB边的中点，由等腰三角形的性质得出CE⊥AB，且CE为角平分线，由ED= EC，利用等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD=30°，再利用三角形外角的性质求出
∠DEB=30°，则可得出∠D=∠DEB，最后利用等腰三角形的性质即可得证； (2) 过点E作EF//BC，交AC
于点F，由△ABC为等边三角形，得到△AEF为等边三角形，则可得出AE=EF=AF，BE=FC，再利用三角
形外角的性质和角的和差关系求出∠DEB＝∠ECF，结合ED=EC，利用SAS证明 △DBE≌△EFC，得出
DB=EF，即可得证；
(3)当点E在AB延长线上时，同理可证△DBE≌△EFC，得出DB=EF，最后利用线段的和差关系求CD的
长即可.
25．（8分）（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A
向C运动（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．
求证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不
与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果
不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝
AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°， ∵AP＝CQ， ∴△BAP≌△ACQ（SAS）， ∴BP＝AQ． （Ⅱ）解：当点
P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°， ∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°， 在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°， ∴∠APE＝∠BQF， ∴在△APE和△BQF中， ，
∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE＝
EF， ∵EB+AE＝BE+BF＝AB， ∴DE＝ AB， 又∵等边△ABC的边长为10， ∴DE＝5， ∴当
点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【思路引导】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB，交直线AB的延长线
于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四边形
PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝ AB，由等边△ABC的边长为10可得出
DE＝5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
26．（10分）（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为
边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）（5分）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点
M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）（5分）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究
线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【答案】（1）证明：①∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF
②EF=FD+AD
延长AD使DP=AD，连接CP
∵AD=DP，∠ADC=∠PDC，CD=CD
∴△ADC≌△PDC（SAS）
∴AC=CP=CE，∠ACD=∠PCD
∵∠ACF=∠AEF，且∠AMC=∠FME
∴∠EFC=∠EAC=60°
∵BF=CF，且∠EFC=60°
∴∠FCD=30°∵∠FCA=∠FCD-∠ACD
∴∠FCA=30°-∠ACD
∵∠ECF=∠ECA-∠FCA
∴∠ECF=30°+∠ACD
∵∠FCP=∠FCD+∠DCP
∴∠FCP=30°+∠ACD
∴∠ECF=∠FCP，且FC=FC，CP=CE
∴△ECF≌△FCP（SAS）
∴EF=FP
∴EF=FD+AD
（2）解：连接CF，延长AD使FD=DP，连接CP．
∵△AEC是等边三角形
∴∠EAC=∠ACE=60°，CE=AC=AE，且AB=AC
∴AB=AE
∴∠ABF=∠AEF
∵AB=AC，AD⊥BC
∴AD是BC的垂直平分线
∴BF=FC，且AF=AF，AB=AC
∴△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF=∠ACF
∴∠ACF=∠AEF且∠AME=∠CMF
∴∠EAC=∠EFC=60°
∵BF=CF，∠EFC=60°∴∠FCB=30°
∵FD=DP，∠FDC=∠PDC，CD=CD
∴△FDC≌△PDC（SAS）
∴FC=CP，∠FCD=∠PCD=30°
∴∠FCP=60°=∠ACE
∴∠ACP=∠FCE且CF=CP，AC=CE
∴△ACP≌△ECF（SAS）
∴EF=AP
∴EF=AD+DP=AD+DF.
【思路引导】（1）①利用AB=AC以及等边三角形ACE可得出∠ABF=∠AEF，再通过SSS证出
△ABF≌△ACF，得到∠ABF=∠ACF，从而证出∠ACF=∠AEF；
②先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠FCD=30°，进而得出∠ECF=∠FCP，再利用SAS证明出
△ECF≌△FCP，即可证出EF=FD+AD；
（2）先通过等边对等角与等边三角形得出∠ABF=∠AEF，再通过△ABF≌△ACF得出∠ABF=∠ACF，得
出∠ACF=∠AEF，从而得出∠EAC=∠EFC，再通过△FDC≌△PDC得出FC=CP，∠FCD=∠PCD，最后
通过SAS证出△ACP≌△ECF得到EF=AP，即可求证。
27．（10分）（2021八上·望花期末）已知，点P、点Q分别是等边△ABC的边AB、BC所在直线上的动
点（端点除外）．点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交
于点M．
（1）（5分）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上时，
①求证：△ABQ≌△CAP；
②当点P、点Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，
求出它的度数；
（2）（5分）如图2，当点P、Q分别在AB、BC的延长线上运动时，请直接写出∠QMC的度数．【答案】（1）解：①证明：如图1， 是等边三角形，
， ，
又 点 、 运动速度相同，
，
在 与 中，
，
；
②点 、 在 、 边上运动的过程中， 不变．
理由： ，
，
是 的外角，
，
，
；
（2）解：如图2，点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动时， ，理由：同理可得， ，
，
是 的外角，
，
，
即若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动， 的度数为 ．
【思路引导】（1）①根据等边三角形的性质利用SAS证明 即可；②先判定
，根据全等三角形的性质得出 ，从而得出答案；
（2）先判定 ，根据全等三角形的性质得出 ，从而得出答案。
