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专题 07 列方程解决问题重难题型分类练（八大考
点）
实战训练
一．行程类之一般相遇与追及
1．M、N两地相距600km，甲、乙两车分别从M、N两地出发，沿一条公路匀速相向而行，甲与乙
的速度分别为100km/h和20km/h，甲从M地出发，到达N地立刻调头返回M地，并在M地停留
等待乙车抵达，乙从N地出发前往M地，和甲车会合．
（1）求两车第二次相遇的时间；
（2）求甲车出发多长时间，两车相距20km．
试题分析：（1）设经过x小时两车第二次相遇，根据“甲车行驶路程减去乙车行驶路程＝600”列方程求解；
（2）设甲车出发t小时与乙车相距20km，分第一次相遇前、后，第二次相遇前、后及甲车到达
M地停留等待乙车抵达时五种情况，列方程求解．
答案详解：解：（1）设经过x小时两车第二次相遇，由题意可得：
100x﹣20x＝600，
解得：x＝7.5，
答：两车经过7.5小时第二次相遇；
（2）设甲车出发t小时与乙车相距20km，
①两车第一次相遇前，
100t+20t＝600﹣20，
29
解得：t= ；
6
②两车第一次相遇后且甲车还未到达N地，
100t+20t＝600+20，
31
解得：t= ；
6
③甲车到达N地返回M地至两车第二次相遇前，
100t﹣20t＝600﹣20，
29
解得：t= ；
4
④甲车到达N地返回M地至两车第二次相遇后，
100t﹣20t＝600+20，
31
解得：t= ；
4
⑤甲车达到N地等待乙车抵达时，
20t＝600﹣20，
解得：t＝29，
29 31 29 31
综上，甲车出发 时或 时或 时或 时或29时，两车相距20km．
6 6 4 4
2．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，
4
乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的 倍．
3（1）甲车的行驶速度是 8 0 千米/时，乙车的行驶速度是 6 0 千米/时；
（2）求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问）
（3）若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A
16 20
地出发到返回A地过程中，甲车出发 或 小时，两车相距40千米；甲车在B地休息
7 7
0.5 小时．
4
试题分析：（1）先根据路程÷时间＝速度求出乙车的速度，再根据甲车速度是乙车速度的 倍，
3
求出甲车的速度；
（2）设乙车出发后x小时两车相遇，根据相遇时两车的路程和为300千米列方程求解即可；
（3）设甲车出发t小时，两车相距40千米，①两车在相遇前相距40千米，②两车在相遇后相
距40千米，分别列方程求解即可；先求出甲车在乙车出发后行驶的时间，进一步即可甲车求出
在B地休息时间．
答案详解：解：（1）乙车的行驶速度是300÷5＝60千米/时，
4
甲车的行驶速度是60× =80千米/时，
3
所以答案是：80，60；
（2）设乙车出发后x小时两车相遇，
根据题意，得80+（80+60）x＝300，
11
解得x= ，
7
11
答：乙车出发后 小时两车相遇；
7
（3）设甲车出发t小时，两车相距40千米，
80÷80＝1（小时），
①两车在相遇前相距40千米，
根据题意，得80t+40+60（t﹣1）＝300，
16
解得t= ；
7
②两车在相遇后相距40千米，
根据题意，得80t+60（t﹣1）﹣40＝300，
20
解得t= ，
716 20
∴甲车出发 小时或 小时两车相距40千米；
7 7
（300+220）÷80＝6.5（小时），
2﹣（6.5﹣5）＝0.5（小时），
∴甲车在B地休息0.5小时，
16 20
所以答案是： 或 ，0.5．
7 7
3．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
试题分析：（1）如果两人同时出发相向而行，那么是相遇问题，设两人同时出发相向而行，需
经过x小时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题；
（2）此小题有两种情况：①还没有相遇他们相距16千米；②已经相遇他们相距16千米．但
都可以利用相遇问题解决；
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，此时是追及问题，设z小时后乙超过甲10千米，
那么z小时甲走了14z千米，乙走了18z千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题．
答案详解：解：（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，
根据题意得：14x+18x＝64，
解方程得：x＝2（小时）．
答：两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇；
（2）设两人同时出发相向而行，需y小时两人相距16千米，
①当两人没有相遇他们相距16千米，
根据题意得：14y+18y+16＝64，
解方程得：y＝1.5（小时）；
②当两人已经相遇他们相距16千米，
依题意得14y+18y＝64+16，
∴y＝2.5（小时）．
答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米；
（3）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则z小时后乙超过甲10千米，根据题意得：18z＝14z+64+10，
解方程得：z＝18.5（小时）．
答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则18.5小时后乙超过甲10千米．
二．行程类之车过隧道大桥
4．一列始终保持匀速行驶的普通火车用 8秒的时间通过了长为96米的隧道（即从车头进入隧道入
口到车尾离开隧道出口），这列火车又用13秒的时间通过了256米的隧道．
（1）求这列普通火车的长度；
（2）相邻车道有一列长度为214.5米，匀速相向行驶的高铁列车经过，普通火车与高铁列车完
成会车（即从车头相遇开始到车尾相遇时结束）的时间是3.5秒，求高铁列车每小时行驶多少千
米．
试题分析：（1）设这列普通火车的长度为x米，根据速度＝路程÷时间，即可得出关于x的一元
一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据速度＝路程÷时间，即可算出普通火车的速度，设高铁每秒行驶y米，根据两车长度和
＝两车速度和×会车时间，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再化米/秒为千
米/小时即可得出结论．
答案详解：解：（1）设这列普通火车的长度为x米，
96+x 256+x
根据题意得： = ，
8 13
解得：x＝160．
答：求这列普通火车的长度为160米．
（2）普通火车的速度为（96+160）÷8＝32（米/秒）．
设高铁每秒行驶y米，
根据题意得：3.5×（y+32）＝160+214.5，
解得：y＝75．
75×3600÷1000＝270（千米/小时）．
答：高铁列车每小时行驶270千米．
5．一列匀速行驶的列车在行进途中经过一个长700米的隧道，已知列车从进入隧道到离开隧道共
需18秒时间．在这以过程中，坐在该列车上的小王看到身旁的窗口从进入隧道到离开隧道用了
14秒时间，求该列车的行驶的速度和列车的长度．
试题分析：根据题意直接假设出速度，进而利用长700米的隧道得出等式求出速度即可得出答案．
答案详解：解：设列车的行驶的速度为xm/s，根据题意可得：
14x＝700，
解得：x＝50，
则列车的长为：18x﹣14x＝4x＝200（m），
答：列车的行驶的速度为50m/s，列车的长度为200m．
6．我国某部边防军小分队成一列在野外行军，通讯员在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前
面人数是后面的两倍，他往前超了6位战士，发现前面的人数和后面的人数一样．
（1）这列队伍一共有多少名战士？
（2）这列队伍要过一座320米的大桥，为安全起见，相邻两个战士保持相同的一定间距，行军
速度为5米/秒，从第一位战士刚上桥到全体通过大桥用了100秒时间，请问相邻两个战士间距
离为多少米（不考虑战士身材的大小）？
试题分析：（1）设这支队伍有x人，根据题中所述列出方程即可求出；
（2）设相邻两个战士间距离为y米，队伍全部通过所经过的路程为（320+36y ）米，根据“行
军速度为5米/秒，用时100秒“，列方程求解即可．
答案详解：解：（1）设这支队伍有x人，
x−1 x−1
根据题意得： +6＝2（ −6），…（2分）
2 2
解得：x＝37．…（3分）
（2）设相邻两个战士间距离为y米…（4分）
队伍全部通过所经过的路程为（320+36y ）米，
320+36 y
∴ = 100
5
解得：y＝5…（6分）
答：（1）这列队伍一共有37名战士 （2）相邻两个战士间距离为5米．
三．行程类之顺水逆水
7．一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时．已知该船在静水中每小时航行12
千米，求水流速度和两码头间的距离．
试题分析：设水流的速度为x，由顺水速度＝静水速度+水流的速度，逆水速度＝静水速度﹣水
流的速度，表示出顺水速度和逆水速度，再根据码头之间距离不变列出方程．
答案详解：解：设水流的速度为x千米/小时，则顺水时的速度为（12+x）千米/小时，逆水时的速度为（12﹣x）千米/小时，
根据题意得：（12+x）×6＝（12﹣x）×10，
解得：x＝3．
（12+3）×6＝90千米．
答：水流的速度为3千米/小时，两码头之间的距离为90千米．
8．一艘轮船在长江A、B两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，如果船
在静水中的航速是18km/h，那么水的流速是多少？
试题分析：设水的流速为xkm/h，则顺水速度为（x+18）km/h，逆水速度为（18﹣x）km/h，根
据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论．
答案详解：解：设水的流速为x，
根据题意可得：4（18+x）＝5（18﹣x）
去括号：72+4x＝90﹣5x，
移项、合并同类项：9x＝18，
解得x＝2．
答：水的流速是2km/h．
四．（经典题型）方案设计类
9．为举办校园文化节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人（其
中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．
（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？
（2）甲、乙两班各有多少名同学？
（3）如果甲班有10名同学被调去参加书画比赛不能参加演出，请你为两班设计一种最省钱的
购买服装方案．
试题分析：（1）若甲、乙两班联合起来购买服装，则每套是40元，计算出总价，即可求得比
各自购买服装共可以节省多少钱；
（2）设甲班有x名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲班每套服装是 50元，乙
班每套服装是60元．根据等量关系：①共92人；②两校分别单独购买服装，一共应付5020元，
列方程即可求解．（3）甲班需服装40套，乙班需服装42套，方案一：甲乙合买82套服装费用：82×50＝4100元，
方案二：甲乙共买92套服装费用：92×40＝3680元，即可得答案．
答案详解：解：（1）由题意得：5020﹣92×40＝1340（元）．
即两班联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1340元．
（2）设甲班有x名学生准备参加演出（依题意46＜x＜90），则乙班有学生（92﹣x）人．
依题意得：50x+60（92﹣x）＝5020，
解得：x＝50．
于是：92﹣x＝42（人）．
答：甲班有50人，乙班有42人；
（3）∵甲班有10名同学被调去参加书画比赛不能参加演出，
∴甲班需服装40套，乙班需服装42套，
方案一：甲乙合买82套服装费用：82×50＝4100元，
方案二：甲乙共买92套服装费用：92×40＝3680元，
∵4100＞3680，
∴甲乙两班共买92套服装最省钱．
10．某商场销售一种夹克和衬衣，夹克每件定价100元，衬衣每件定价50元，商场在开展促销活
动期间，向顾客提供两种优惠方案．
方案一：买一件夹克送一件衬衣；
方案二：夹克和衬衣均按定价的80%付款．
现有顾客要到该商场购买夹克30件，衬衣x件（x＞30）．
（1）用含x的代数式表示方案一购买共需付款y 元和方案二购买共需付款y 元．
1 2
（2）通过计算说明，购买衬衣多少件时，两种方案付款一样多？
（3）当x＝40时，哪种方案更省钱？请说明理由．
试题分析：（1）根据题意结合优惠方案分别计算得出应付的费用；
（2）利用（1）中所求，进而使两代数式相等求出答案；
（3）利用（1）中所求，将x＝40代入求出答案．
答案详解：解：（1）由题意可得：用方案一购买共需付款：y ＝100×30+50（x﹣30）＝
1
3000+50x﹣1500＝（50x+1500）元，
用方案二购买共需付款：y ＝100×30×0.8+50x×0.8＝（2400+40x）元，
2
∴y ＝（50x+1500）元，y ＝（2400+40x）元；
1 2
（2）令y ＝y ，则50x+1500＝40x+2400，
1 2解得：x＝90，
∴购买衬衣90件时，两种方案付款一样多；
（3）当x＝40时，
方案一：y ＝50×40+1500＝3500（元），
1
方案二：y ＝40×40+2400＝4000（元），
2
方案三：按照方案一购买夹克30件，可以送30件衬衣，
再按照方案二购买40﹣30＝10件衬衣需要花费：30×50+1500+10×50×0.8＝3400（元）．
故方案三比较省钱．
11．某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价
为30元，对集体购票有两种优惠方案．
方案一：所有人按全票价的90%购票；
方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；
（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？
（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？
试题分析：（1）方案一的收费＝学生人数×30×90%，方案二的收费＝20×30+（学生人数﹣20）
×30×80%，将两者的收费进行比较，从而确定选择何种方案更省钱；
（2）设女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，列出方程求解即可．
答案详解：解：（1）方案一收费为：35×30×90%＝945（元），
方案二收费为：20×30+（35﹣20）×30×80%＝960（元），
∵960＞945，
∴方案一更省钱；
（2）设女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，由题意得
（15+x）×30×90%＝20×30+（15+x﹣20）×30×80%，
解得：x＝25，
答：当女同学人数是25人时，两种方案付费一样多．
12．某中学七年级（1）班要购买20个笔记本和x（x＞40）支圆珠笔作为期末考试奖品，已知笔记
本每本8元，圆珠笔每支0.8元．其中有甲、乙两家文具店可供选择，甲文具店优惠办法：买一
个笔记本赠送2支圆珠笔，乙文具店优惠办法：全部商品按九折出售．
（1）着单独到甲文具店购买，笔记本应付 16 0 元，圆珠笔应付 0. 8 x ﹣ 3 2 元．
（2）若单独到乙文具店购买，笔记本应付 0. 8 x +12 8 元，圆珠笔应付 14 4 元．
（3）当x等于多少时，单独到甲文具店购买和单独到乙文具店购买所花的总钱数一样多？（4）若该班需要购买20个笔记本和50支圆珠笔，怎样购买最省钱？（直接写出购买方案即
可）
试题分析：（1）由总价＝单价×数量，结合题意即可得出结论；
（2）由总价＝单价×数量，结合题意即可得出结论；
（3）令两店费用相等，解关于x的一元一次方程，即可得出结论；
（4）由20×2＝40，50﹣40＝10，可得出在甲店购买20个笔记本（赠送40支圆珠笔），再到乙
商店购买10支圆珠笔最省钱．
答案详解：解：（1）由题意可知，甲店购买笔记本价钱为20×8＝160（元），
甲店赠送圆珠笔20×2＝40（支），
在甲店购买圆珠笔的价钱为0.8×（x﹣40）＝0.8x﹣32（元），
共需支付160+0.8x﹣32＝0.8x+128（元）．
所以答案是：160；0.8x﹣32；0.8x+128．
（2）由题意可知，乙店购买笔记本价钱为20×8×0.9＝144（元），
在乙店购买圆珠笔的价钱为0.8×0.9x＝0.72x（元），
共需支付144+0.72x（元）．
所以答案是：144；0.72x；0.72x+144．
（3）令两店支付费用相等，即0.8x+128＝0.72x+144，
解得：x＝200．
答：当x等于200时，单独到甲文具店购买和单独到乙文具店购买所花的总钱数一样多．
（4）∵20×2＝40（支），
50﹣40＝10（支），
∴在甲店购买20个笔记本（赠送40支圆珠笔），再到乙商店购买10支圆珠笔最省钱．
五．日常生活中的方程--水电类
13．近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022
年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．
气量分档 年用气量（立方米） 价格
（元/立方
调整前 调整后
米）
第一档 年用气量≤300 年用气量≤400 2.73
第二档 300＜年用气量≤600 400＜年用气量≤1000 3.28
第三档 年用气量＞600 年用气量＞1000 3.82人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二
档上限增加60立方米、120立方米）．
（1）若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 3233.2 元，调整后气费
为 301 6 元；
（2）小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？
试题分析：（1）根据调整前后的政策分别计算即可；
（2）设小红家年用气量为x立方米，分四种情况，计算出小红家年用气费用，根据调整后比调
整前气费节省109元，列方程求解即可．
答案详解：解：（1）调整前：360×2.73+（600+120﹣360）×3.28+（1000﹣600﹣120）×3.82＝
3233.2（元）；
调整后：480×2.73+（1000﹣480）×3.28＝3016（元）；
所以答案是：3233.3，3016；
（2）设小红家年用气量为x立方米，
①300＜x≤400时，
调整前：300×2.73+（x﹣300）×3.28＝（3.28x﹣165）元；
调整后：2.73x（元），
∴调整后比调整前气费节省3.28x﹣165﹣2.73x＝（0.55x﹣165）元；
∵300＜x≤400，
∴0＜0.55x﹣165≤55，不合题意；
②400＜x≤600时，
调整前：300×2.73+（x﹣300）×3.28＝（3.28x﹣165）元；
调整后：400×2.73+3.28（x﹣400）＝（3.28x﹣220）元；
∴调整后比调整前气费节省3.28x﹣165﹣（3.28x﹣220）＝55（元），不合题意；
③600＜x≤1000时，
调整前：300×2.73+（600﹣300）×3.28+（x﹣600）×3.82＝（3.82x﹣489）元；
调整后：400×2.73+3.28（x﹣400）＝（3.28x﹣220）元；
∴调整后比调整前气费节省3.82x﹣489﹣（3.28x﹣220）＝0.54x﹣269，
由题意得：0.54x﹣269＝109，
解得：x＝700，
∴小红家年用气量，700立方米；
④x＞1000时，调整前：300×2.73+（600﹣300）×3.28+（x﹣600）×3.82＝（3.82x﹣489）元；
调整后：400×2.73+3.28×（1000﹣400）+（x﹣1000）×3.82＝（3.82x﹣760）元；
∴调整后比调整前气费节省3.82x﹣489﹣（3.82x﹣760）＝271（元），不合题意；
综上，小红家年用气量，700立方米．
14．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超
过20m2时，按2元/m2计算：月用水量超过200m2时，其中的20m2仍按2元/m2计算，超过部分
按2.6元/m2计算．设某户家庭月用水量xm2．
（1）用含x的式子表示：
当0≤x≤20时，水费为 2 xy u \ \ 元 ；当x＞20时，水费为 （ 2. 6 x ﹣ 1 2 ）元 ；
（2）
月份 4月 5月 6月
用水量 15 17 a
小花家第二季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费117元，请你求出小花家6月份用
水量a的值？
试题分析：（1）分类讨论：当0≤x≤20时，水费为2x元；当x＞20时，水费为[20×2+2.6（x﹣
20）]元；
（2）小花家4月份，5月份共交水费30+34＝64，则可知6月份交了53元，则a＞20，可列出方
程求出a的值．
答案详解：解：（1）由题意可知：当0≤x≤20时，水费为2x元；
当x＞20时，水费为20×2+2.6（x﹣20）＝（2.6x﹣12）元
（2）4，5月份共交水费15×2+17×2＝30+34＝64（元），
则6月份用水量a＞20，
由题意可得：
15×2+17×2+20×2+2.6（a﹣20）＝117，
解得：a＝25．
答：小花家6月份用水25吨．
六．（易错题型）利润，购物类
15．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知
乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵 5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25
元/件．（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商
品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第
二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
试题分析：（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件y元．根据总进价3800
元列出方程即可解决问题．
（2）求出甲、乙两种商品的利润和即可．
（3）根据第二次的利润1000+160＝1160元，列出方程即可．
答案详解：解：（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
{ y−x=5
由题意可得： ，
40x+160 y=3800
{x=15
解得： ，
y=20
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元；
（2）（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润＝40×（20﹣
15）+160×（25﹣20）＝1000元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润．
（3）由题意40×[20（1+a%）﹣15]+160×[25（1﹣a%）﹣（20﹣3）]＝1000+160，
解得a＝10．
答：a的值是10．
16．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：
甲超市 乙超市
消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动
0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠
100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受
八折优惠
大于350 一律享受八折优惠
（1）小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？
（2）小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少
元的商品？
（3）小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？
试题分析：（1）计算出买240元的东西分别在甲、乙两家超市的花费，然后得出在甲超市更划
算；
（2）根据甲、乙的优惠政策分别计算出能购买商品的原价是多少，即可进行解答；
（3）分情况讨论，根据甲的优惠政策计算出购买商品的原价，即可求解．
答案详解：解：（1）甲超市购物所付的费用为240×0.9＝216（元）；
乙超市购物所付的费用为200+0.8×（240﹣200）＝232（元）．
216＜232，
答：在甲超市更划算；
（2）甲超市购买的商品原价：250÷0.9＝280（元），
设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得：
200+0.8（x﹣200）＝252，解得：x＝265；
280＞265，
∴应选择甲超市，
答：应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品；
（3）∵100×0.9＝90，
∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元，
∵350×0.9＝315，350×0.8＝280，
∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元，
设第二次购买商品的原价为m元，
①当100＜m≤350时，
由题意得：m＝288÷0.9＝320（元），
（320+80）×0.8＝320（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元；
②当m＞350时，
由题意得：m＝288÷0.8＝360（元），
（360+80）×0.8＝352（元），
∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元；
综上，把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元．
17．某商店用3700元购进A、B两种玻璃保温杯共80个，这两种玻璃保温杯的进价、标价如下表
所示：价格\类型 A型 B型
进价（元/个） 35 65
标价（元/个） 50 100
（1）这两种玻璃保温杯各购进多少个？
（2）已知A型玻璃保温杯按标价的8折出售，B型玻璃保温杯按标价的7.5折出售．在运输过程
中有2个A型和1个B型玻璃保温杯不慎损坏，不能销售，请问在其它玻璃保温杯全部售出的情
况下，该商店共获利多少元？
试题分析：（1）设购进A型玻璃保温杯x个，则购进B型玻璃保温杯（80﹣x）个，根据A型保
温杯的总进价+B型保温杯的总进价＝3700，列出方程求解即可；
（2）根据A型保温杯的利润+B型保温杯的利润＝总利润解答．
答案详解：解：（1）设购进A型玻璃保温杯x个，则购进B型玻璃保温杯（80﹣x）个．
由题意可得：35x+65（80﹣x）＝3700．
解得：x＝50．
∴80﹣50＝30（个）．
答：购进A型玻璃保温杯50个，购进B型玻璃保温杯30个；
（2）（50﹣2）×50×0.8+（30﹣1）×100×0.75﹣3700
＝48×40+29×75﹣3700
＝1920+2175﹣3700
＝395（元），
答：该商店共获利395元．
18．郑州丹尼斯超市（嵩山路店）购进A、B两种品牌足球共100个，已知购买A品牌足球比购买
B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．
（1）求购进A、B两种品牌足球各多少个？
（2）在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元，很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价
25%销售，售出一部分后，恰逢元旦假期，商场搞促销活动，决定打九折出售剩余的B品牌足球，
两种品牌足球全部售出后共获利2150元，有多少个B品牌足球打九折出售？
试题分析：（1）由题意可设购进A品牌足球x个，则购进B品牌足球（100﹣x）个，列一元一
次方程有（100﹣x）80﹣50x＝2800，即可求得购进A品牌足球40个，购进B品牌足球60个．
（2）设打九折出售剩余的B品牌足球为x个，则加价25%销售B品牌足球为（60﹣x）个，列一
元一次方程有40×（80﹣50）+（60﹣x）×（80×（1+25%）﹣80）+[80×（1+25%）×0.9﹣80]x＝2150，即可求得有25个B品牌足球打九折出售．
答案详解：解：（1）设购进A品牌足球x个，则购进B品牌足球（100﹣x）个，由题意有
（100﹣x）80﹣50x＝2800，
解得x＝40，
则购进A品牌足球40个，购进B品牌足球60个；
（2）设打九折出售剩余的B品牌足球为x个，则加价25%销售B品牌足球为（60﹣x）个，
由题意有 40×（80﹣50）+（60﹣x）×（80×（1+25%）﹣80）+[80×（1+25%）×0.9﹣80]x＝
2150，
整理得40×30+（60﹣x）×80×25%+10x＝2150，
化简得1200+1200﹣20x+10x＝2150，
解得x＝25，
故有25个B品牌足球打九折出售．
七．（经典题型）方程与数轴的融合
19．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动
点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每
秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若 P，Q两点同时出发，问运动时间为 1 或 9
秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度．
试题分析：设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，然后分两种情况：①当
Q在P点左边时，②当P在Q的左边时分别列出方程，再解即可．
答案详解：解：设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得：
①当Q在P点左边时，4x+10﹣6x＝8，
解得：x＝1，
②当P在Q的左边时，6x﹣（4x+10）＝8，
解得：x＝9，
所以答案是：1或9．
20．如图，在数轴上，O为原点，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为4．
（1）A，B两点间的距离是 1 4 ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，此时原点O与表示数 ﹣ 6 的点重合．
（3）若点A，B分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向左运动，则几秒时
点B追上点A？（4）若点A，B以（3）中的速度相向而行，则几秒时A，B两点相距2个单位长度？
试题分析：（1）根据两点间的距离公式可直接得出结论；
（2）由题知先求A、B中点，再根据对称性可求；
（3）根据点A，B的运动可知点A，B所对的数，若B追上A，则A，B重合，由此建立方程即
可得出结论；
（4）设x秒后A，B两点相距2个单位长度，根据等量关系列出方程即可．
答案详解：解：（1）A，B两点间的距离为：4﹣（﹣10）＝14；
所以答案是：14；
（2）由题知折叠点为A、B的中点，
即折叠点为﹣3表示的点，
根据对称性原点与﹣6表示的数关于﹣3对称，
所以答案是：﹣6；
（3）设t秒后点B追上点A，
根据题意，可知点A表示的数是﹣10﹣t，点Q表示的数是4﹣3t，
若点B追上点A，则有﹣10﹣t＝4﹣3t，
解得t＝7．
∴7秒时点B追上点A．
（4）设x秒后A，B两点相距2个单位长度，
根据题意，可知点A表示的数是﹣10+x，点Q表示的数是4﹣3x，
根据题意，得|﹣10+x﹣（4﹣3x）|＝2，
解得x＝3或x＝4，
∴3秒或4秒时A，B两点相距2个单位长度．
21．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，C
AC 5
是线段AB上一点，满足 = ．
BC 4
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到 B点后停止．在点M从A点出发的同时，
动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．
设点N的运动时间为t秒．
①当MN＝4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P
又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM＝2PN时，请直接写出t的值．
AC 5
试题分析：（1）根据A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，得AB＝9，又 = ，可得AC
BC 4
＝5，BC＝4，故C点对应的数是8﹣BC＝4；
5
（2）①设运动t秒时，MN＝4，当M、N未相遇，可得8﹣t﹣（﹣1+2t）＝4，解得t= ，当
3
17
M、N相遇后，有2t﹣5﹣（8﹣t）＝4，解得t= ；
3
1
②P与M还未第一次相遇时，4﹣3t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4﹣3t）]，解得t=− （舍去），
3
此种情况不存在，P与M在t＝1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，可
7
得3t﹣2﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t﹣2）]，解得t= ，由已知可知，当P与M在表示1的点处
3
7−1
相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过 =1.5秒，即t＝2.5时，P与N相遇，此时M正
3+1
好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，可得13﹣3t﹣4＝2[8﹣t﹣
19
（13﹣3t）]，解得t= ，当P与M第二次相遇后，有2t﹣5﹣（13﹣3t）＝2[8﹣t﹣（13﹣
7
3t）]，解得t＝8舍去，当P运动到A后，若N为PM的中点，此时PM＝2PN，可得t＝5.5．
答案详解：解：（1）∵A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，
∴AB＝9，
AC 5
∵ = ，
BC 4
∴AC＝5，BC＝4，
∴C点对应的数是8﹣BC＝8﹣4＝4，答：C点对应的数是4；
（2）①设运动t秒时，MN＝4
当M、N未相遇，则M在AC上运动，M表示的数是﹣1+2t，N在BC上运动，N表示的数是8﹣
t，
∴8﹣t﹣（﹣1+2t）＝4，
5
解得t= ，
3
5
当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2（t− −2）＝2t﹣5，N在AC上运动，N
2
表示的数是8﹣t，
∴2t﹣5﹣（8﹣t）＝4，
17
解得t= ，
3
5 17
综上所述，t的值为 或 ；
3 3
②P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4﹣3t，M表示的数是﹣1+2t，N表示的数是8﹣t，
∴4﹣3t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4﹣3t）]，
1
解得t=− （舍去），此种情况不存在，
3
由已知得，P与M在t＝1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到
N前，P表示的数是（4﹣3×1）+3（t﹣1）＝3t﹣2，
∴3t﹣2﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t﹣2）]，
7
解得t= ，
3
7−1
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过 =1.5秒，
3+1
即t＝2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀
速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是（8﹣2.5）﹣3（t﹣2.5）＝13﹣3t，
∴13﹣3t﹣4＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，
19
解得t= ，
7
当P与M第二次相遇后，P表示的数是13﹣3t，M在BC上运动，M表示的数是2t﹣5，
∴2t﹣5﹣（13﹣3t）＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，解得t＝8，此时13﹣3t＝﹣11＜﹣1，
∴t＝8舍去，这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为PM的中点，此时PM＝2PN，
∴﹣1+（2t﹣5）＝2（8﹣t），
解得t＝5.5，
7 19
综上所述，t的值为 或 或5.5．
3 7
22．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；
（2）数轴的原点右侧是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的
值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时
点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位
长度时，求点P所对应的数是多少？
试题分析：（1）由点P为AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、3，根据中点公式即可确定
点P对应的数；
（2）根据题意可知，点P在B点右边时，根据点P到点A、点B的距离之和为8，列出方程求
出x的值即可．
（3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距3个单位时，②当点A在点B右边时，
两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可．
答案详解：解：（1）∵点P是AB的中点，点A、B对应的数分别为﹣1、3，
∴点P对应的数是（﹣1+3）÷2＝1；
（2）点P在B点右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝8，
解得：x＝5，
即存在x的值，当x＝5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；
（3）①当点A在点B左边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则3+0.5t﹣（2t﹣1）＝3，2
解得：t= ，
3
2
则点P对应的数为﹣6× +1＝﹣3；
3
②当点A在点B右边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则2t﹣1﹣（3+0.5t）＝3，1.5t＝7
14
解得：t= ，
3
14
则点P对应的数为﹣6× +1＝﹣27；
3
综上可得当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是﹣3或﹣27．
八．（易错题型）数字类
23．一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两
位数是 2 6 ．
试题分析：设十位数字为x，个位数字为x+4，根据数字问题的数量关系建立方程组求出其解即
可．
答案详解：解：设十位数为x，个位数字为x+4，根据题意得：
10x+x+4＝3（x+x+4）+2，
解得：x＝2，
则这个两位数是26；
所以答案是：26．
24．有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这个两位数的两个数字的位置对换，那
么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．
试题分析：设这个两位数的十位为x，个位为（x+5），根据这个两位数的两个数字的位置对换
所得的新数与原数的和是143，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
答案详解：解：设这个两位数的十位为x，个位为（x+5），
根据题意得：10x+（x+5）+10（x+5）+x＝143，
解得：x＝4，
∴x+5＝9．
答：这个两位数是49．
25．列方程解应用题：一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得
的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．
试题分析：设原来十位上的数字为x，则个位数字为2x．利用新数＝原数+36，列方程求解即可．
答案详解：解：设原来十位上的数字为x，
依题意得：10×2x+x＝10x+2x+36，
解得x＝4，
则2x＝8．
答：原来的两位数是48．
