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猜想 03 旋转综合题（3 种常见题型专练）
题型一：线段问题 题型二：面积问题
题型三：角度问题题型一：线段问题
1．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期末）在锐角 中， ， ， ，将
绕点 按逆时针方向旋转，得到 ．
(1)如图1，当点 在线段 的延长线上时， 的度数为________ ；
(2)如图2，连接 ， ．若 的面积为4，求 的面积；
(3)如图3，点 为线段 中点，点 是线段 上的动点，在 绕点 按逆时针方向旋转过程中，点
的对应点是 ，直接写出线段 长度的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为7；最小值为
【分析】（1）由旋转的性质可得： ， ，又由等腰三角形的性质，即可求得
的度数；
（2）由旋转的性质可得： ，易证得 ，利用相似三角形的面积比等于相似比
的平方，即可求得 的面积；
（3）①当P在 上运动至 时， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 上时， 最
小，②当P在 上运动至点C， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 的延长线上时， 最
大，即可求得线段EP 长度的最大值与最小值．
1
【详解】（1）解：由旋转的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图，过点B作 ，D为垂足，
∵ 为锐角三角形，
∴点D在线段 上，
在 中， ；
①当P在 上运动至 时， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 上时， 最小，最
小值为： ；
②当P在 上运动至点C， 绕点B旋转，使点P的对应点 在线段 的延长线上时， 最大，
最大值为： ；
因此，线段EP 长度的最大值为7，最小值为： ．
1
【点睛】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应
用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
2．（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图①在正方形 中，连接 ，点E是边 上
的一点， 交 于点F，点P是 的中点，连接 ．(1)如图①，探究 与 有何关系，并说明理由；
(2)若将 绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接 ，取 的中点P，连接 ，请问在该条
件下，①中的结论是否成立，并说明理由；
(3)如果把 绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接 ，取 的中点P，连接 ，请你
直接写出 与 的关系．
【答案】(1) ，且 ；理由见详解
(2) ，且 ；理由见详解
(3) ，且 ；理由见详解
【分析】（1）过点 作 ，通过条件证明 ，就可以得出结论 ， ；
（2）作 于 ，根据平行线等分线段定理就可以得出 ，再根据中垂线的性质就可以得出
，
（3）延长 交 延长线于 ，连 ，最后通过证明三角形全等就可以得出结论 ．
【详解】（1） ，且 ．
证明：过 于点 ，延长 交 于点 ，作 于点 ．
则四边形 是正方形，四边形 是矩形，
， ，
，
，， 是 的中点，
，
，
在 和 中，
，
，
， ， ，
，
，
；
（2）成立．
证明：图2中，作 ，
则 ，
又 是 的中点，
，
则 是 的中垂线，
，
，
，
是 的中点， ，
则 ，
，
是等腰直角三角形，
，且 ；（3）图3中，延长 交 延长线于 ，连 ．
， ， ，
四边形 是矩形．
， ，
由图（2）可知，
平分 ， ，
，
又 ，
为等腰直角三角形
， ．
．
，
．
， ，
．
，
，
即 ，
又 ，
，
．
在 和 中，
，
．， ．
， ， ，
，
，
，
即 ，
．
【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难
度较大．
3．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将
绕点 逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 ， 分别交于点
， ．设等边 的面积为 ，通过证明可得 ，则
．
(1)【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 ， 分别交于点 ， ．若正方形 的面积为 ，
请用含 的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积为
，请直接写出正六边形 的面积
(3)【猜想结论】如图4， 为正 边形 ……的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正 边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积
为 ，请用含 、 的式子表示正 边形 ……的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）通过证明可得 ，则
．
（2）通过证明可得 ，则 ．
（3）通过证明可得 ，则
【详解】（1）解：如图2，
∵ 为正方形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正方形的边 分别交于点
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图3，
∵ 为正六边形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正六边形的边 分别交于点
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正六边形 的面积为 ．
（3）如图4，
∵ 为正多边形 的中心角，
∴ ， ，
∵ 绕点O逆时针旋转一个角度 ， 的两边与正多边形的边 分别交于点
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 面积为 ，
∴正多边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握
旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
4．（2022上·山东济南·九年级校考阶段练习）在 中， ，点D，E分别是
的中点，点P是射线 上一点，连接 ，将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ，连接
．
(1)问题发现
如图（1），当点P与点D重合时，线段 与 的数量关系是 ， ．(2)探究证明
当点P在射线 上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出
证明．
(3)问题解决
若 ，连接 ，当 是等边三角形时，直接写出 的长度．
【答案】(1) ，45
(2)结论成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
（2）结论不变．连接 ．证明 ，推出 ， ，可得结
论．
（3）当点P在点E的上方时，过点P作 于Q．设 ，则 ， ，可
得 ，从而得到 ，进而得到 ，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图（1）中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ，45．
（2）结论成立，证明如下：
如图（2）中，连接 ．
∵ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）当点P在点E的上方时，如图（3）中，过点P作 于Q．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
5．（2023上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，已知 中， ， ，点D是
所在平面内一点，连接 ， ， ．(1)如图1，点D在 上， ，且 ，求 的面积；
(2)如图2，点D为 内部一动点，将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点G是
线段 的中点，连接 ，猜想线段 ， 之间存在的位置关系和数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点C关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ，点D为 内部一动点，连接 ．
若 ，且 ，当线段 最短时，直接写出 的面积．
【答案】(1)6
(2) 且 ，见解析
(3)
【分析】（1）过点D作DE⊥AC于点E，解 ，求出 ， ，从而求得 ，则
．然后由 求解即可；
（2）将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BH，连接FH，证明 ，得 ，
，再延长 至点K，使得 ； 交 于点P，连接 ， ，证明
，得 ， ．再证明 ，得
，继而证得 ，即可得出结论；
（3）由 ，所以A、C、B、D四点是在以 为直径的圆上，设此圆的圆心为O，所以
当 、D、O三点其线时， 最短，过点O作 于E，过点D作 于F，利用等腰直角
三角形的性质、勾股定理，垂直径定理，求得 ， ， ，再利用
对称的性质求得 ， ， ，则
，然后证明 ，得 ，从而求得 ，最后根据
求解即可．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥AC于点E，如图1，在 中，∠AED 90°，
∵ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
在等腰 中， ，
∴ ．
（2）解：猜想：
证明：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BH，连接FH，如图2，
即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
再延长 至点K，使得 ； 交 于点P，连接 ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
，
，
，
，
即 ．
在 和 中，
，
∴ ，
，
，
，
，
．
（3）解：∵ ，
∴A、C、B、D四点是在以 为直径的圆上，设此圆的圆心为O，
∴当 、D、O三点其线时， 最短，
过点O作 于E，过点D作 于F，如图3，在等腰 中， ， ， ，
由勾股定理，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点C与点 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，垂径定理，三角形的面积，最短距离问题，本题综合性质强，难度较大，熟练掌握相关性质和判定
是解题的关键．
6．（2023上·福建厦门·九年级统考期末）在 中， ， ，将 绕
点A逆时针旋转，旋转角为 ，记点B，C的对应点分别为D，E．(1)若 和线段 如图所示，请在图中作出 （要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)M是 的中点，N是点M旋转后的对应点，连接 ， ， ，则是否存在β与α的某种数量关系，
使得无论α取何值时，都有 ？若存在，请说明理由，并直接写出此时 与 的数量关系；若不
存在，也请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，理由见解析，
【分析】（1）根据全等三角形的判定和尺规作图的方法，根据题意画出图形即可；
（2）连接 ， ，根据三角形的外角定理可得 ，则 ，再通过证明四边形
是平行四边形，得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图 即为所求．
解法一（利用 作全等三角形）：
解法二（利用 作全等三角形或作点C旋转后的对应点E）：
解法三（利用 作全等三角形）：（2）解法一：
当 时，无论 取何值时，都有 ．
理由如下：
∵ ， ，
∴ 始终在 的外部．
连接 ， ，
∵在 中， ， 是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
又∵ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
∵ 由 绕点 逆时针旋转得到，且点 是点 旋转后的对应点，点 是点 旋转后的对应点，
∴ ， ， ．
又∵点 在 上，
∴ ．
∴ ，即点 在 上．
∴ ．
∴ ．又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
此时， ．
解法二：
∵ ， ，
∴ 始终在 的外部．
连接 ， ，
∵在 中， ， 是 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵ 由 绕点 逆时针旋转得到，且点 是点 旋转后的对应点，点 是点 旋转后的对应点，
∴ ， ， ．
又∵点 在 上，
∴ ．
∴ ．即点 在 上．
∴ ．
∴ ．
要使得无论 取何值时，都有 ，只要使四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴要使四边形 是平行四边形，只要使 ．
即要使 ．
∵ ，
∴ ．
又∵ 是 的外角，
∴ ．
∴要使 ，
只要使 ，即 ．
∴当 时，无论 取何值时，都有 ．
此时， ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图，三角形的外角定理，平行四边形的判定和性质，
旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
题型二：面积问题
1．（2021下·辽宁丹东·八年级统考期末）如图在 中， ，点D，E分别在边上， ，连接 ， ，点M，P，N分别为 的中点，连接 ， ．
(1)图1中，线段 与 的数量关系是___________；位置关系是____________．
(2)将 绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接 ，判断 的形状，并说明理由．
(3)将 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 面积的最大值．
【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利
用三角形的中位线得出PM CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出 ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出
PM=PN，同（1△）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时， PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=10，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点P，N是BC，CD的中点，
△
∴PN BD，PN= BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM CE，PM= CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）解： PMN是等腰直角三角形．
证明：由旋转性质可知∠BAD＝∠CAE
△
又∵AB＝AC，AD＝AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE
∵点P，M分别是DC，DE的中点
∴PM是 DCE的中位线
∴PM＝△CE且PM CE
同理PN＝ BD且PN BD
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD
∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°
∴△PMN是等腰直角三角形．
（3）解：由（2）知， PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD，
∴PM最大时， PMN面△积最大，
∴点D在BA的延长线上，
△
∴BD=AB+AD=11，
∴PM=5，
∴S PMN = PM2= ×( )2= ．
最大
△
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM= CE，PN= BD，
解（2）的关键是判断出 ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时， PMN的面积最大．
2．（2023上·江西抚州·九年级统考期末）综合与实践：图形的几何变换
△ △
复习课上，老师对一张平行四边形纸片 进行如下操作：(1)如图1，折叠该纸片，使边 恰好落在边 上，边 恰好落在边 上，得到折痕 和 ，判断
四边形 的形状，并说明理由；
(2)老师沿折痕将 和 剪下，得到两个全等的等腰三角形，已知等腰三角形的腰长为5，底边长
为6，底角度数为a，通过不同的摆放方式，三个学习小组利用几何变换设置了几个问题，请一一解答．
①善思小组：将两个三角形摆放成如图2的位置，使边 与边 重合，然后固定 ，将 沿着
射线 的方向平移（如图3），当四边形 为矩形时，求平移的距离．
②勤学小组：将两个三角形摆成如图4的位置，使 与 重合，取 的中点O，固定 ，
将 绕着点O按逆时针方向旋转（ 旋转角 ），如图5，在旋转过程中，四边形 的形
状是______．
③奋进小组：在②勤学小组的旋转过程中，利用图6进行探究，当 与 的重叠部分为等腰三角
形时，旋转角为______（用含 的代数式表示），此时重叠部分的面积为_____．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)① ；②矩形；③ 或 ；
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ， ，从而得出 ，即可得出
结论；
（2）①作 垂直 于点G，由三线合一性质可得 ，求出 的长度，最后根据
即可求解；②通过证明 ， ，即可得出结论；③分
两种情况进行讨论：当点C在 边上时，当点F在 边上时．
【详解】（1）解：四边形 为平行四边形．理由如下：
在平行四边形 中， ， ，
由折叠可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，由 ，得 ，
∴四边形 为平行四边形．
（2）①如图，作 垂直 于点G，
∵ ，由三线合一性质可得 ，
∴ ，
当四边形 为矩形时， ，
则 ，
解得： ，
∴
即平移的距离为 ．
②∵ 与 重合，
∴
∵点O为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴四边形 为矩形．故答案为：矩形．
③如图：连接 ，过点E作 于点M，
∵点O为 中点， ，
∴ ， ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
当点C在 边上时，
∵ ，
∴ 为等腰三角形，
此时旋转角为 ，
过点O作 与点G，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，∴ ，
∴重叠部分面积 ，
当点F在 边上时，
∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
此时旋转角为 ，
过点O作 于点H，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
∴ ，
∴重叠部分面积 ，
综上：旋转角为 或 ；重叠部分面积为 ；
故答案为： 或 ， ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，
解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
