文档内容
2024 年秋季学期开学素养提升训练
九年级数学学科试卷
【人教版】
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
测试范围：八年级下册-九年级上册第二章
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ）
A．B ． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的
概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示
y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，
故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，
故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D
符合题意；
故选：D．
2．下列计算，正确的是（ ）．
A．❑√3+❑√3=❑√6 B．❑√12−❑√3=❑√3
√ 1 1
C．❑√8÷❑√4=2 D．❑4 =2
9 3
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算法则逐个计算即可．
【详解】解：A、❑√3+❑√3=2❑√3，所以A选项错误；
B、原式＝2❑√3−❑√3=❑√3，所以B选项正确；
C、原式＝❑√8÷4=❑√2，所以C选项错误；√37 ❑√37
D、原式＝❑ = ，所以D选项错误．
9 3
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，能够准确进行
计算．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE=2，则菱形
ABCD 的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，得到AB=BC=CD=DA,OA⊥OD，结合点E为AD的中点，根据直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算AD，根据周长为4AD计算即可．
【详解】∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=DA,OA⊥OD，
∵点E为AD的中点，OE=2，
∴AD=4，
∴4AD=16，
故菱形的周长为16．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
4．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会
的人有（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出(x−1)份礼物，根据所有人共送了90份礼物，
即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出(x−1)份礼物，
依题意得：x(x−1)=90，
整理得：x2−x−90=0，解得：x =10，x =−9（不符合题意，舍去），
1 2
∴参加聚会的同学有10人．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．抛物线y=−(x−3) 2+5的顶点坐标是（ ）
A．(−3,5) B．(3,5) C．(5,−3) D．(5,3)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ) 2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，
对称轴是直线x= ℎ．
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线y=−(x−3) 2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为(3,5)，
故选：B．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符
合题意；
B．有一组对边和一组对角分别相等的四边形不一定是平行四边形，故B是假命题，不符合题意；
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，符合题意；
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌
握平行四边形的判定是解本题的关键．
7．若a=2❑√5，b=3❑√2，c=❑√2+2，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．c>b>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c
【答案】D
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
【详解】解：∵❑√2≈1.414，❑√5≈2.236，∴a≈4.472，b≈4.242，c≈3.414，
∴a>b>c，
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
8．如图，将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°<α<90°)得到矩形AB′C′D′，已知∠1=120°，
则旋转角α的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【分析】根据矩形的性质以及旋转的性质得出∠B′=∠B=90°，∠B′ AD′=∠BAD=90°，再根
据平角的定义即可推出结果．
【详解】解：∵将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°<α<90°)得到矩形AB′C′D′，
∴∠B′=∠B=90°，∠B′ AD′=∠BAD=90°，
∵∠1=120°，
∴∠B′OA=60°，
∴∠B′ AO=30°，
∴∠D′ AO=60°，
即旋转角α的度数为60°，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．9．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪
离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当
身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动
显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.4,BE=CD=1.8,ED=BC=0.8
∴AE=2.4−1.8=0.6
Rt△ADE中
AD=❑√AE2+DE2=❑√0.62+0.82=1（米）
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
10．已知x 、x 是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则x +x +x x 的值是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3 B．1 C．−1 D．−3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，掌握“一元二次方程的根与系数关系
b c
x +x =− 、x x = ”是解题的关键．
1 2 a 1 2 a
【详解】解：∵x 、x 是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，
1 2
b 1 c −2
∴x +x =− =− =−1，x x = = =−2，
1 2 a 1 1 2 a 1∴x +x +x x =−1+(−2)=−3，
1 2 1 2
故选：D
11．如图1所示，直角三角形AOB中，∠ABO=90°，且AB=OB．设直线l:x=t截此三角形所得
的阴影部分面积为S，S与t之间的函数关系的图象为图2所示，则△AOB的周长为（ ）
A．6+2❑√2 B．6+2❑√3 C．❑√6+2❑√3 D．2❑√6+2❑√3
【答案】D
【分析】由函数图象可得：阴影部分的最大面积为：3，x=t=OB, 再利用面积公式求解OB,AB,
再利用勾股定理求解OA, 从而可得答案.
【详解】解：由函数图象可得：阴影部分的最大面积为：3，
x=t=OB,
∵ ∠ABO=90°，且AB=OB，
1
∴ OB2=3,
2
解得：OB=❑√6, （负根舍去）
∴AB=OB=❑√6,OA=❑√ (❑√6) 2+(❑√6) 2=2❑√3,
所以△AOB的周长为：AO+OB+AB=2❑√6+2❑√3.
故选D
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次
根式的化简与加减运算，灵活应用以上知识解题是关键.
12．如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL=4，
CK=6．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM
均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（ ）A．40 B．48 C．42 D．50
【答案】B
【分析】设LD=x，DK= y，根据已知条件得x2+ y2=100，AL+LD=CK+DK，将LD=x，
DK= y，AL=4，CK=6代入AL+LD=CK+DK整理得x−y=2，根据完全平方公式得
x2+ y2−2xy=4，将x2+ y2=100代入x2+ y2−2xy=4中整理得xy的值，根据长方形LFKD的面积
=DL⋅DK=xy即可得到答案．
【详解】解：设LD=x，DK= y，
∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形，
∴DN=LD=x，DM=DK= y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，
∵AD=AL+LD，CD=CK+DK，
∴AL+LD=CK+DK，
∵AL=4，CK=6，LD=x，DK= y，
∴4+x=6+ y，
∴x−y=2，
∴(x−y) 2=x2+ y2−2xy=4，
∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为100，
∴x2+ y2=100，
将x2+ y2=100代入x2+ y2−2xy=4中，得：
100−2xy=4，
2xy=96，
xy=48，
∴重叠部分长方形LFKD的面积=DL⋅DK=xy=48，
故选：B．【点睛】本题考查了利用完全平方公式解几何问题，利用完全平方公式代入计算是解题的关键．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如果式子❑√x−7有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥7
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，x−7≥0，
解得，x≥7．
故答案为：x≥7．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题
的关键．
14．已知正比例函数y=(k−3)x的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为 ．
【答案】k>3/30时，y随x的增大而增大，据此
列不等式并求解即可．
【详解】解：根据题意，正比例函数y=(k−3)x的函数值y随x的增大而增大，
则k−3>0，
解得k>3．
故答案为：k>3．
15．8名初中毕业生的中考体育考试成绩（单位：分）如下：56，59，56，55，56，46，57，60，
这些成绩的中位数是 ．
【答案】56分
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）
为中位数．
【详解】从小到大排列此数据为：46，55，56，56，56，57，59，60，处在第4和第5位两个数
的平均数为中位数，
故这些成绩的中位数是56分．
故答案为：56分．
【点睛】本题考查求一组数据的中位数，关键是掌握中位数的概念．
16．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零
件数量的月平均增长率是 ．
【答案】20%
【分析】设该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为x，利用三月份的产量=一月份的产量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该机械厂
二、三月份生产零件数量的月平均增长率．
【详解】设该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为x，
依题意得：50（1+x）2=72，
解得：x=0.2=20%，x=-2.2（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小
正方形的顶点，则∠ABC= °．
【答案】45
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接AC，先根据勾股定理的逆定理证明
△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB=90°，再根据AC=BC=❑√5，从而可得△ABC是等腰直
角三角形，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接AC，
由题意得：AC2=12+22=5，
BC2=12+22=5，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=❑√5，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
故答案为：45．
18．如图，一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为
cm3．
【答案】48
【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为(10−2x)cm，宽为
(6−x)cm，根据长方体铁盒的底面积是24cm2即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题
意的值即可得出结论；
【详解】解：设剪去的正方形的边长为xcm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为(10−2x)cm，
12−2x
宽为 =(6−x)cm，
2
依题意得：(10−2x)(6−x)=24，
整理得：x2−11x+18=0，
解得：x =2,x =9（不合题意，舍去）．
1 2
∴该纸盒的体积为2×4×6=48(cm3)；
故答案为：48．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程
是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．解一元二次方程：x2−2x=1
【答案】x =❑√2+1，x =−❑√2+1．
1 2
【分析】利用配方法得到(x−1) 2=2，然后利用直接开平方解方程．
【详解】解： x2−2x=1，
配方得：x2−2x+1=2，
即(x−1) 2=2，
开方得：x−1=±❑√2，
解得：x =❑√2+1，x =−❑√2+1．
1 2【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
m2−1 ❑√2
20．先化简，再求值．(1+m)÷ ，其中m= ．
m+1 2
1+m
【答案】 ，−3−2❑√2
m−1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的除法计算法则化简，然后
代值计算即可．
m2−1
【详解】解：(1+m)÷
m+1
m+1
=(1+m)×
(m+1)(m−1)
1+m
= ．
m−1
❑√2
1+
❑√2 2 2+❑√2 (❑√2+2) 2 6+4❑√2
当m= 时，原式= = = = =−3−2❑√2．
2 ❑√2 ❑√2−2 (❑√2−2)(❑√2+2) 2−4
−1
2
21．西安高新一中初中校区九年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽
取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ；
（Ⅱ）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？
【答案】（Ⅰ）50，28；（Ⅱ）平均数为10.66，众数是12分，中位数是11分；（Ⅲ）1200
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m
的值；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据条形统计图中的数据，可以计算出我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少
人．【详解】解：（Ⅰ）本次抽取到的学生人数为4+5+11+14+16＝50，
14
m%＝ ×100%＝28%，
50
故答案为：50，28；
8×4+9×5+10×11+11×14+12×16
（Ⅱ）平均数x= =10.66（分），
50
众数是12分，中位数是（11+11）÷2＝11（分）；
14+16
（Ⅲ）2000× ＝1200（人），
50
答：我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有1200人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本
题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A，B，D在同一直
线上，且EF//AD，∠BAC=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=12cm，求BD的
长．
【答案】18−6❑√3
【分析】过F作FH垂直于AB，得到∠FHB为直角，进而求出∠EFD的度数为30°，利用30°角所
对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，再利用勾股定理求出DF的长，由EF与AD平行，得到
内错角相等，确定出∠FDA为30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出FH的长，进
而利用勾股定理求出DH的长，由DH-BH求出BD的长即可．
【详解】解：过点F作FH⊥AB于点H，
∴∠FHB=90°，
∵∠EDF=90°，∠E=60°，
∴∠EFD=90°-60°=30°，
∴EF=2DE=24，
∴DF=❑√EF2−DE2=12❑√3，
∵EF∥AD，
∴∠FDA=∠DFE=30°，1
∴FH= FD=6❑√3，
2
∴DH=❑√DF2−H F2=18，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠HFB=90°-45°=45°，
∴∠ABC=∠HFB，
∴BH=HF=6❑√3，
则BD=DH-BH=18−6❑√3．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
23．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使
FE=OF，连接CE，DE．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)求证：OE∥BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质得∠DOC=90°，即可证得四边
形OCED是矩形．
（2）证明OF是△DBC的中位线即可得到结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，∵CF=DF，EF=OF，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，
∵CF=DF，
∴OF∥BC
即OE∥BC
【点睛】本题主查了菱形的性质，矩形的判定以及平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定
理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
24．为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂
的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数
关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低m元，（0
