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专题 08 二次函数中的定值与定点问题
类型一、定值问题
例1．已知抛物线 与x轴交于 和B两点．
(1)求出该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
(2)若 ，对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ．
①求该抛物线的函数解析式；
②若直线 与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线AP，AQ分别与y轴交
于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：mn为定值．
【答案】(1) ；(2)① ；②见解析
【解析】(1)解：∵抛物线 与x轴交于 ， ， ，
该抛物线的对称轴为 ，即 ．
(2) ， ∴ 或 ．
对于该抛物线上的任意两点 ，当 时，总有 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，∴ ． .
又 ， ． 该抛物线的解析式为 ．
该抛物线的解析式为 ．
∵直线 与抛物线交于P，Q两点，
∴可设 ．
，
设直线AP的解析式为 ，由题意得 ，解得 ，
直线AP的解析式为 ，
令 ，则 ，∴ ；
同理可得，直线AQ的解析式为 ， ．
∴ ．
联立 ，得 ．∴ ，
．
例2.如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为 ，直线 （ ）分
别交抛物线于点 ， （点 在点 的左边），直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，交抛
物线 轴右侧部分于点 ，交 于点 ，且 ．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)若 为直线 下方抛物线上的一个动点，连接 ， ，求当 面积最大时，点 的坐标及
面积的最大值；
(3)求 的值．【答案】(1) ； ；(2)点 的坐标为 时， 面积有最大值为 ；(3)2
【解析】(1)解：∵ ， ，
∵抛物线的对称轴为 ，∴ ，∴ ，
∴抛物线的函数表达式为： ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴直线 的函数表达式为 ．
(2)过点 作 轴交 于点 ，如图所示：联立 ，解得 ， ，
∴点 的横坐标为 ，设点 ，则点 ，
∴当 时，即点 的坐标为 时， 面积有最大值为 ．(3)分别过点A， ， 作 ， ， 垂直 轴于点 ， ， ，
设点 ， ，则 ， ，
联立 得 ，∴ ， ，
联立 得 ，即 ，
∵ 轴， 轴， 轴，∴ ，
∴ ．
【变式训练1】已知抛物线 与x轴的两个交点为A，B（点B在点A的右侧），且 ，
与y轴交点为C．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)若点M是抛物线位于直线 下方的图象上一个动点，求点M到直线 的距离的最大值；
(3)设直线 （ ）与抛物线交于P，Q两点（点Ｑ在点P的右侧），与直线 交于点R．试
证明：无论k取任何正数， 恒成立．
【答案】(1) ；(2) ；(3)见解析
【解析】(1)解：对称轴又抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A的右侧），且 ，∴ ，
∴ ，即 ，∴函数表达式为： ；
(2)解：设直线 的函数表达式为 ，
∵ ， 在直线 上，∴ ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ；
法1：如图1，过点M作 轴于点E，交 于点D，
依题意，设 ，则点 ，
设点M到 的距离为d，
∵ 轴，∴ ，则 ，即 ，
则
当 时， ．
法2：如图1，过点M作 轴于点E，交 于点D，
依题意，设，设 ，则点 ，设点M到 的距离为d，连结 ， ，
，又 ，则 ，∴ ，
当 时， ．
法3：如图2，过点M作直线 ，
当直线l与抛物线只有一个公共点时，点M到直线 的距离最大．
设直线l解析式为： ，联立方程 ，得 ，
由 ，得 ，∴此时直线l： ，
则直线l与y轴交点 ，∴ ，
又 ，∴ ，
即 ，即 ，∴ ；
(3)如图3，设点 ，点 ，联立方程 ，得 ，则 ， ，
联立方程 ，∴ ，
法1：∴ ，
， ，
∴ ，
又 ，
，∴无论k取何正数， 成立；
法2：如图4，过P，Q，R分别作 轴于F， 轴于G， 轴于H，由 ，则 ，
可设 ，则 ， ， ，
则 ，
又 ，
即 ，∴无论k取何正数， 成立．
【变式训练2】如图1，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
(1)直接写出点B的坐标（_____，_____）和直线BC的解析式_______；
(2)点D是抛物线对称轴上一点，点E为抛物线上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
求点E的横坐标；(3)如图2，直线 ，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点
P、Q的纵坐标为 、 ，求证： 的值为定值．
【答案】(1)4，0， ；(2) 或 或 ；；(3)证明见解析
【解析】(1)解：对抛物线与 来说，
当y＝0时， ，解得 ，
由图像可知，点B的横坐标大于0，∴点B的坐标是（4，0），点A的坐标是（﹣1，0）
当x＝0时，得y＝﹣2，即点C的坐标是（0，﹣2），
设直线BC的表达式是y＝kx＋b，将B、C两点坐标代入，得 解得
∴直线BC的解析式为 ，故答案为：4，0；
(2)解：由题意和（1）可知，抛物线的对称轴为 ，设点D的坐标为（ ， ），
当四边形CBED是平行四边形时，CB DE且CB＝DE，
则点C（0，﹣2）向右平移4个单位，向上平移2个单位到点B（4，0），
∴点D向右平移4个单位，向上平移2个单位到点E，∴点E坐标是（ +4， +2）即（ ， +2）
∵点E在抛物线上，∴ +2＝ ，∴ ＝
∴点E坐标是（ ， ），即点E的横坐标是 ；
当四边形CBDE是平行四边形时，CB ED且CB＝ED，
则点B（4，0）向左平移4个单位，向下平移2个单位到点C（0，﹣2），
∴点D向左平移4个单位，向下平移2个单位到点E，∴点E坐标是（ －4， －2）即（﹣ ， －
2）
∵点E在抛物线上，∴ －2＝ ，∴ ＝∴点E坐标是（﹣ ， ），即点E的横坐标是﹣ ；
当四边形CEBD是平行四边形时，BC是对角线时，DB CE且DB＝CE，
则点D（ ， ）向左平移 个单位到，向下平移（ +2）个单位，到点C（0，﹣2），
∴点B（4，0）向左平移 个单位到，向下平移（ +2）个单位，到点E（ ， ），
∴点E的横坐标是
∵点E在抛物线上，∴ ＝ ，∴点E的坐标是（ ，﹣ ）即点E的横坐标是
；
综上所述，点E的横坐标是 或 或 ；
(3)解：由（1）知，直线BC的解析式为 ，点A的坐标是（﹣1，0）
设直线l 的表达式为 ，联立得方程组 得
设点M的坐标是（ ， ），点N的坐标是（ ， ）
由一元二次方程根与系数关系得 ＋ ＝4， ＝﹣4 ，
∵点M、N在直线l上，∴ ，设直线AM的解析式为 ，
把点A、点M坐标坐标代入，并联立得 ，解得
即直线AM的表达式y＝ x+ ，令x＝0，得y＝ ，即 ＝
同理，设直线AN的解析式为 ，把点A、点N坐标坐标代入，并联立得
得 ，即直线即直线AN的表达式y＝ x+
令x＝0，得y＝ ，即 ＝
故 ＋ ＝ ＋ ＝
∵ ＋ ＝4， ＝﹣4 ，
∴ ＋ ＝ ，即 ＋ ＝-2，∴ ＋ 为定值．
【变式训练3】抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）．
（1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．
（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为
线段AB上的两个点，MN＝2 ，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？
若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，
Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S HCQ＝2S GCQ，试证明 是否为一个定值．
△ △
【答案】（1） ；（2） ， ，2,0；（3）见解析
【详解】（1）根据题意，设 ，将 代入，即 ，解得
抛物线的解析式
（2）由y＝﹣x+4，令 ，则 ，令 ，则
设 与 轴交于点 ,则 ，
是等腰直角三角形，则
①当 ，则 ,设 ，则 ，
，则 ， 在线段 上， ，即
又 点在 上，即 ，解得 （舍）
此时 点与 点重合， 点与 点重合，如图，则 ,
②当 ，同理 ,
设 ，则 ，其中
又 点在 上，即 ，解得 （舍）
则此时 点与 点重合， 点与 点重合，如图，
则
③当 时，如图，由 ，解得 ，
， 是等腰直角三角形， ,
轴
设 ，则 ，其中
又 点在 上，即 ，解得
的横坐标为 ， ，综上所述 的横坐标为 ， ，2,0
（3）设直线PC： y＝mx+n，则 ，直线 ，则 ，直线 的解析式为
由y＝ax2+bx+c，令 ，则 ，即
，
即 ， ， ，即
联立抛物线y＝ax2+bx+c， ，即：则 ， ，
同理可得： ， ， + =
， ， ，同理可得： ，即 ， ，
【变式训练4】如图1，已知：抛物线 过点 ，交 轴于点 ，点 （ 在
左边），交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线上一动点， ，求点 的坐标；
（3）如图2， 交抛物线于 两点（ 不与 重合），直线 分别交
轴于点 ，点 ，试求此时 是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．【答案】（1） ；（2）不存在点D；（3）是，7
【详解】（1）将 代入 ，得
（2）取 作 轴于 ，
，
在 和 中， ，∴ ， ，∴ ，
， ，
∴ ，∴ ，
而 ， ，∴ ，∴∵ ，∴ 重合，∴此时 不存在，∴ 无解；
（3） ，设 ， ，
， ，∴ ： ，同理： ：
∴
【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相
交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
求二次函数的表达式；
①当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
②（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试
问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．
【答案】（1） y＝x2﹣8x+12； 线段MQ的最大值为9．（2）m+n的值为定值．m+n＝6．
① ②
【详解】（1） 由题意 ，解得 ，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
①
如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），
②∵B（6，0），C（0，12），∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴， ∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．理由：如图2中，
将B（6，0）代入二次函数解析式中，得 ，解得：
∴二次函数解析式为
∴C（0，﹣36﹣6b），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，
把（6，0）代入得到：k＝6+b，
∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，
∵MN∥CB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，
由 ，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，∴x+x＝6，
1 2
∵点M、N的横坐标为m、n，∴m+n＝6．∴m+n为定值，m+n＝6．类型二、定点问题
例．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点（点 在点
的左侧），点 关于 轴的对称点为 ．
(1)当 时，求 ， 两点的坐标；
(2)连接 ， ， ， ，若 的面积与 的面积相等，求 的值；
(3)试探究直线 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；(2) 或 ；(3)是，
【解析】(1)根据题意，得 ，
整理得到 ，解方程，得 ，
当x=-3时，y=-9；当x=1时，y= -1；
∵点 在点 的左侧，∴点 的坐标为（-3，-9），点 的坐标为（1，-1）．
(2)∵A，B是抛物线 图像上的点，设A（m， ），B（n， ），则 （-n， ），
当k＞0时，根据题意，得 ，整理得到 ，∴m，n是 的两个根，
∴ ，
设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴ ， ，
∴ = = ，∴3= = ，∴ ，
∵n≠0，∴ ， ，∴ ，
解得k= 或k= - (舍去)，故k= ；当k＜0时，根据题意，得 ，整理得到 ，∴m，n是 的两个根，
∴ ，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）
∴ ， ，
∴ = = ，∴3= =- ，∴- ，
∵n≠0，∴ ， ，∴ ，解得k=- 或k= (舍去)，
故k=- ；
综上所述，k的值为 或 ．
(3)直线A 一定过定点（0，3）．理由如下：
∵A，B是抛物线 图像上的点，
∴设A（m， ），B（n， ），则 （-n， ），
根据题意，得 ，整理得到 ，∴m，n是 的两个根，
∴ ，
设直线A 的解析式为y=px+q，根据题意，得 ，解得 ，
∴直线A 的解析式为y=（n-m）x-mn，
∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A 的解析式为y=（n-m）x+3，
故直线A 一定过定点（0，3）．
【变式训练1】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线
上．（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．
求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】（1）y＝ x2﹣ x﹣2；（2）（﹣6，10）；（3）见解析，定点坐标为（ ，﹣ ）
【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）延长DC交x轴于点M，
∵∠DCA＝2∠CAB，∴∠CAB＝∠CMA，∴CA＝CM，
过点C作CQ⊥AM于点Q，则QM＝AQ＝8，∴点M坐标为（14，0），
设直线DM的解析式为 ，将 ， 代入得 ，解得直线DM的解析式为：y＝ x+7，
令y＝ x+7＝ x2﹣ x﹣2；解得x＝﹣6或6，x＝﹣6，y＝ ×（﹣6）+7＝10，
∴点D坐标为（﹣6，10）；
（3）设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点 代入，解得b＝4﹣6k，
故直线CE解析式为：y＝kx﹣6k+4，则点M（0，﹣6k+4），
x2﹣ x﹣2＝kx﹣6k+4，整理得 x2﹣（ +k）x+6k﹣6＝0，
∴xC+xE＝2+4k，∴xE＝4k﹣4 ①，
同理设直线CF的解析式为：y＝tx﹣6t+4，则点N（0，﹣6t+4），即xF＝4t﹣4 ②，
由 x2﹣ x﹣2＝mx+n，整理得 x2﹣（ +m）x﹣2﹣n＝0，
∴xE+xF＝4m+2③，xE•xF＝﹣8﹣4n④，
将①②代入③④，得 ，
又OM•ON＝3，∴（﹣6k+4）（6t﹣4）＝﹣36kt+24（k+t）﹣16＝3，
∴n＝ m﹣ ，
∴y＝mx+n＝mx+ m﹣ ＝m（x+ ）﹣ ，
当x＝ 时，y＝﹣ ，∴直线EF经过定点且定点坐标为（ ，﹣ ）．
【变式训练2】已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 ， 两点．
（1）求抛物线 的解析式；（2）如图1， 为抛物线 上 ， 之间的动点，过点 作 轴于点 ， 于点 ，求
的最大值；
（3）如图2，平移抛物线 的顶点到原点，得到抛物线 ，直线 交抛物线 于 ， 两点，已
知点 ，连接 ， 分别交抛物线 于另一点 ， ，求证：直线 经过一个定点．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【详解】解：（1）由题意得： ，解得 ，∴抛物线的表达式为： ；
（2）设直线 交 于点 ，如图1，
由点 的坐标知，直线 的表达式为： ，
设 （ ），则 ，则 ，E(t，0)，
∴ ，OE=∣t∣，EG= ∣t∣，∴ ∣t∣，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
（3）如图2，∵平移抛物线 的顶点到原点，得到抛物线 ，∴ ，设 ，联立 得， ，∴ ，∴ ，
同理可设 ，可得 ，联立 得： ，，
∴ ，∴ ，∴ ，
设直线 ，联立 得 ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
直线 ，当 时， ，
∴直线 过定点 ．
