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专题 09 因式分解之八大题型
判断是否是因式分解
例题：（2023下·陕西宝鸡·七年级校联考期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（
）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（
）
A． B．
C． D．已知因式分解的结果求参数
例题：（2023下·河北保定·八年级保定十三中校考期末）已知 ，则
．
【变式训练】
1．（2023下·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于 的二次三项式 可分解为
，则 的值为 ．
2．（2023上·河南开封·八年级校考期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，则 ，
即 ，∴ ，解得 ．
故另一个因式为 ，m的值为 ．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
公因式
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）单项式 与 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）多项式 各项的公因式是 ．
2．（2023下·江西景德镇·八年级统考期末）对多项式 分解因式时，应提取的公因式是．
提公因式法分解因式
例题：（2023上·吉林长春·八年级统考期末）因式分解： ．
【变式训练】
1．（2023下·广东清远·八年级统考期末）因式分解： ．
2．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）若 ， ，则 ．
综合提公因式法和公式法分解因式
例题：（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）将下列各式分解因式：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）分解因式：
(1) ； (2) ．
2．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) .十字相乘法分解因式
例题：（2023下·四川达州·八年级校考期末）将多项式 分解因式后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
得 ．
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字
相乘法”．
例如：将式子 分解因式．
解： .
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式： ．
(2)分解因式： ．
(3)若 可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
2．（2023下·广西崇左·七年级统考期中）阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是
运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为： ，例如：分解因式 ， ， ，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于 ，
得到 ，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)先分解因式，再求值： ，其中 ．
分组分解法分解因式
例题：（2023下·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）
（2）
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）
分析：甲发现该多项式前两项有公因式 ，后两项有公因式 ，分别把它们提出来，剩下的是相
同因式 ，可以继续用提公因式法分解．
解：
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式 ，第一项和第三项含有公因式 ，把 ， 提
出来，剩下的是相同因式 ，可以继续用提公因式法分解．
解：
探究2：分解因式：（2）分析：甲发现先将 看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续
再提出因式，从而达到分解因式的目的．
解：
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的
多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按
“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
【拓展提升】：
（3）分解因式： ．
【变式训练】
1．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但
有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式 ．这样我们就需要
结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符
合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后
会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
分成两组
分别分解提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项
或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成
分解．
(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
① ______．
② ______．
(3)利用分组分解法进行因式分解： ．
因式分解的应用
例题：（2023下·辽宁丹东·八年级统考期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足
则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练】
1．（2023下·四川达州·八年级校考期末）已知a、b是 的两边，且满足 ，则
的形状是 ．
2．（2023下·陕西榆林·八年级校考期末）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如： ．
②拆项法：
例如： ．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法： ；
②用拆项法： ；
(2)已知： ， ， 为 的三条边， ，求 的周长．
一、单选题
1．（2023下·云南昭通·八年级校联考期末）在多项式 中，各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如果 ，则k应为（ ）
A． B．3 C．7 D．
4．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）要使多项式 能运用平方差公式进行分解因式，
整式 可以是（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）已知 的三边长分别为a，b，c，且满足
，则 一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
二、填空题
6．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）因式分解：
7．（2023上·山东淄博·八年级统考期末）因式分解： ．
8．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期末）若 ， ，则多项式 的
值是 ．
9．（2023上·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了 ，分
解结果为 ；乙看错了 ，分解结果为 ，则正确的分解结果为 ．
10．（2023下·四川达州·八年级统考期末）∵ ，∴
，这说明 能被 整除，即 或 是 的一个
因式．另外，当 即 时，多项式 的值为0；当 即 时，多项式
的值为0．若 能被 整除，则k的值是 ．
三、解答题
11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）分解因式：(1) ；
(2) ．
12．（2023下·四川达州·八年级校考期末）因式分解：
(1) ；
(2) ；
13．（2023下·四川达州·八年级校考期末）（1）因式分解： ；
（2）若 ， ．求 的值．
14．（2023下·江西景德镇·八年级统考期末）阅读下列分解因式的过程：
．这种分
解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2) 三边 满足 ，判断 的形状
15．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．
生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方
便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： 可以因式分解为
，当 时， ， ， ，此时可以得到数字密码
283031．
任务：
(1)根据上述方法，当 ， 时，对于多项式 分解因式后可以形成哪些数字密码？
(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项
式 分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
16．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可
以对很多数学问题进行直观推导和解释 如图 ，有足够多的A，B，C三种纸片：A种是边长为
的正方形，B种是边长为 的正方形，C种是宽为 ，长为 的长方形．用A种纸片 张，B种纸片
张，C种纸片 张可以拼出（不重不漏）如图 所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解
释整式乘法 ，反过来也可以解释多项式 ，因式分解的结
果为 ，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：
(1)若多项式 表示分别由 ， ， 张A，B，C三种纸片拼出如图 所示的大长方形的
面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式 进行因式分解；(2)我们可以借助图 再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由 张A种纸片， 张B种纸片， 张
C种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______，据此可得到该多项式因式分解的
结果为______．
