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专题 09 整式的加减
【思维导图】
◎题型1：同类项的相关概念
（1）定义：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项
备注：所有的常数项都是同类项
（2）判断同类项的标准：
判断同类项的标准是两个“同”，第一个“同”是所含字母相同，第二个“同”是相同字母的指数相同
备注：
①同类项与该项系数无关(在系数不为零的前提下)，例如﹣m2n与3m2h是同类项,x2y3与2x2y3是同类项；
②同类项与该项中字母排列顺序无关。例如,2ab与﹣ba是同类项；
③同类项都是单项式
例．（2022·浙江舟山·七年级期末）下列各组中的两个代数式属于同类项的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与【答案】B
【解析】
【分析】
根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，逐一判断即可．
【详解】
解：A．3xy与 相同字母的指数不相同，不是同类项，故A不符合题意；
B．-2.1与 是同类项，故B符合题意；
C． 与 相同字母的指数不相同，不是同类项，故C不符合题意；
D． 与 相同字母的指数不相同，不是同类项，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
变式1．（2022·浙江湖州·七年级期末）下列各组代数式中，不是同类项的是（ ）
A．﹣3m与66m B．5x2y与-0.3xy2 C．5与﹣2 D．﹣a2b与ba2
【答案】B
【解析】
【详解】
A、-3m与66m是同类项，故A不符合题意．
B、5x2y与-0.3xy2不是同类项，故B符合题意．
C、5与-2是同类项，故C不符合题意．
D、-a2b与ba2是同类项，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查同类项的定义，如果两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这
两个单项式为同类项．解题的关键是正确理解同类项定义．
变式2．（2022·湖南·长沙市华益中学七年级阶段练习）已知单项式 与 可以合并同类项，则
m，n分别为（ ）
A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0【答案】A
【解析】
【分析】
根据同类项的定义得出关于m，n的式子，计算求出m，n即可．
【详解】
解：∵单项式 与 可以合并同类项，
∴m＋1＝3，n－1＝1，
∴m＝2，n＝2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了合并同类项及同类项的定义，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也
分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．
变式3．（2022·云南文山·七年级期末）若单项式 与单项式 是同类项，则代数式 的值为
（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同类项的概念求解．
【详解】
解：因为单项式 与单项式 是同类项，
所以m=1、n=3，
则m-n=1-3=-2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
◎题型2：合并同类项
1、合并同类项的概念定义:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项
备注：一定要合并到不能再合并为止
2、合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变
并同类项
3、合并同类项的一般步骤
①找出同类项,当项数较多时,通常在同类项的下面作上相同的标记；
②利用加法交换律把同类项放在一起,在交换位置时,要连同项的符号一起交换；
③利用合并同类项的法则合并同类项,系数相加,字母及其指数不变；
④写出合并后的结果。
备注：
①记忆口诀：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母指数不变样
②注意没有同类项的项,仍作为多项式的项
例．（2022·江苏·七年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据合并同类项进行计算即可．
【详解】
解：A. ，该项正确，故符合题意；
B. ，该项错误，故不符合题意；
C. ，该项错误，故不符合题意；
D. 不能合并，该项错误，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查合并同类项，解题关键是掌握运用合并同类项的法则∶合并同类项后，所得项的系数是合并前各
同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．
变式1．（2022·云南红河·七年级期末）下列计算正确的是A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项，积的乘方，去括号逐项分析判即可求解．
【详解】
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 与 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了合并同类项，积的乘方，整式的加减，正确的计算是解题的关键．
变式2．（2022·浙江台州·七年级期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A．a3+d3＝a6 B．2ab﹣ab＝2
C．5a2b﹣2ba2＝3a2b D．x4﹣x3＝x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项的法则判断即可．
【详解】
解：A． 与 不是同类项，无法合并，所以原计算错误，故该项不符合题意；
B．2ab﹣ab＝ab，所以原计算错误，故该项不符合题意；
C．5a2b﹣2ba2＝3a2b，所以原计算正确，故该项符合题意；
D． 与 不是同类项，无法合并，故该项不符合题意．故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项，掌握把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的
关键．
变式3．（2022·山东滨州·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A． 与 可以合并 B． 的系数是
C． 的次数是2 D． 是二次三项式
【答案】A
【解析】
【分析】
根据合并同类项的条件、单项式的次数和系数的定义，多项式的定义．即可判断出正确答案为A．
【详解】
A、 和 ，字母相同，各字母的指数也相同，可以合并．说法正确，符合题意；
B、 的系数是 ．说法错误，不符合题意；
C、 的次数是3．说法错误，不符合题意；
D、 是一次三项式．说法错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查的知识点为，合并同类项的条件：字母相同，各字母的指数也相同的单项式可以合并、单项式的
次数和系数的定义：单项式的次数是单项式中各字母指数的和，单项式的系数是单项式中的数字部分，多
项式的定义：由几个单项式的和组成的式子叫多项式，多项式的次数是多项式中最高次的单项式的次数．
理解以上知识点，是解决本题的关键．
◎题型3：去添括号法则
1、去括号法则：
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负
数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。备注：
①去括号时,要将括号连同它前面的符号一起去掉
②在去括号时,首先要明确括号前是“+”还是“﹣”
③需要变号时,括号里的各项都变号:不需要变号时,括号里的名项都不变号
④记忆口诀:去掉“正括号”,各项不变号；去掉“负括号”,各项都变号
2、添括号法则
所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。
3、多层括号的去法
对于含有多层括号的题目,应先观察式子的特点,再考虑去括号的顺序,以使运算简便；一般由内向外,先
去小括号,再去中括号,最后去大括号,但有时也可以由外向内,先去大括号,再去中括号,最后去小括号
备注：去大括号时,要将中括号看作一个整体；去中括号时,要将小括号看作一个整体
例．（2022·河南南阳·七年级期末）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用去括号法则和添括号法则即可作出判断．
【详解】
解： ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查去括号与添括号，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号．去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括
号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，
括号里的各项都改变符号．
变式1．（2021·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期中）下列去括号变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据去括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以便于选用合适的法则．
【详解】
解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括
号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符
号．运用这一法则去掉括号．
变式2．（2020·黑龙江·虎林市实验中学七年级期中）下列去括号错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据去括号法则进行判断即可．
【详解】
A. ，故A正确，不符合题意；
B. ，故B正确，不符合题意；
C. ，故C正确，不符合题意；
D. ，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则，是解题的关键，注意括号前面为负号的，将括号和负
号去掉，括号内每一项的符号都要发生改变．
变式3．（2022·全国·七年级课时练习）下列去括号或添括号不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号
外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前
面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．进行分析
即可．
【详解】
解：A. ，正确，故A不符合题意；
B. ，正确，故B不符合题意；
C. ，正确，故C不符合题意；D. ，∵ ，∴计算不正确，故D符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查了去括号和添括号的方法，注：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变
符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
◎题型4：整式的加减
1、整式的概念：单项式与多项式统称为整式
2、整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项
例．（2022·江苏·七年级专题练习）已知多项式A＝﹣3x2+5x﹣4，B＝﹣x2﹣2x，则A﹣3B的结果为
（ ）
A．﹣6x2﹣x﹣4 B．11x﹣4 C．﹣x﹣4 D．﹣6x2﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】
把A与B代入原式，再去括号，合并同类项，即可得到结果．
【详解】
解：∵A＝﹣3x2+5x﹣4，B＝﹣x2﹣2x，
∴A﹣3B＝（﹣3x2+5x﹣4）﹣3（﹣x2﹣2x）
＝﹣3x2+5x﹣4+3x2+6x
＝11x﹣4．
故选：B．
【点睛】
此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2022·浙江台州·七年级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣5，3y2﹣2xy＝10，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（
）
A．﹣7.5 B．﹣12.5 C．5 D．7.5
【答案】B
【解析】
【分析】由已知求得2x2﹣3xy＝﹣2.5，进而求得（2x2﹣3xy）－（3y2﹣2xy）=－12.5，去括号、合并同类项即可求
解．
【详解】
解：∵4x2﹣6xy＝﹣5，
∴2x2﹣3xy=-2.5，又3y2﹣2xy=10，
∴（2x2﹣3xy）－（3y2﹣2xy）=－12.5，
即2x2﹣xy﹣3y2=－12.5，
故选：B．
【点睛】
本题考查代数式求值、整式的加减，利用整体代入求解是解答的关键．
变式2．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）已知一个多项式与 的和等于 ，则这个多项式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设这个多项式为 ，根据题意得到 ，解出 即可得到结论．
【详解】
解：设这个多项式为 ，
这个多项式与 的和等于 ，
，
解得
，
故选：A．
【点睛】
本题考查整式的加减运算，熟练将整式的加减运算进行转换是解决问题的关键．变式3．（2021·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）如图所示，试化简：
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴_上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的意义化简，去括号后合并即可得
到结果．
【详解】
解：根据数轴上点的位置可得： ，且 ，
∴ ， ， ，
∴
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．绝对值的意义：一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的
绝对值等于它的相反数，零的绝对值等于零．熟练掌握运算法则和绝对值的意义是解答本题的关键．
◎题型5：整式的化简求值
①化：通过去括号,合并同类项将整式化简
②代：把已知字母或整式的取值代入化简后的式子
③算：依据有理数的混合运算法则进行计算
备注： 整式加减的结果要最简：①不能有同类项
②含字母的项的系数不能出现带分数,如果有带分数,必须将其化成假分数
③一般不含括号
例．（2020·黑龙江·集贤县第七中学七年级期中）当x=6，y=-1时，代数式 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简后代入数值求解即可．
【详解】
解：
，
∵x=6，
∴原式=- ×6=-2．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是整式的化简求值，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，注意要细心．
变式1．（2022·全国·七年级课时练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．5 B．-5 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】
【详解】
根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【分析】
解：原式＝a+c+b﹣d＝a+b+c﹣d，
当a+b＝3，c﹣d＝2时，
∴原式＝3+2＝5，
故选：A．
【点睛】
本题考查整式的加减中的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
变式2．（2022·河北承德·七年级期末）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将所求式子变形，再把 的值整体代入即可
【详解】
原式=
=
故选D
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，寻找要求的代数式与题设之间的关系，利用整体代入法是解题的关键．
变式3．（2022·广西贵港·七年级期末）若a﹣5＝6b，则(a+2b)﹣2(a﹣2b)的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据去括号的法则，先去括号，再将已知式子整体代入求解即可．
【详解】
解：∵a﹣5＝6b，
(a+2b)﹣2(a﹣2b)
故选B【点睛】
本题考查了整式的加减，化简求值，整体代入是解题的关键．
◎题型6：无关型问题
例．（2022·江苏·七年级专题练习）式子（x+y）﹣（x﹣y）的值（ ）
A．与x有关，与y无关 B．与x，y都有关
C．与x无关，与y有关 D．与x，y都无关
【答案】C
【解析】
【分析】
先去括号，然后合并同类项即可求解．
【详解】
解：（x+y）﹣（x﹣y）＝x+y﹣x+y＝2y，
故与x无关，与y有关．
故选：C．
【点睛】
考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类
项．
变式1．（2022·湖南株洲·七年级期末）将多项式2(x2 3xy y2)﹣(x2+mxy+2y2)化简后不含xy项，则m的值
是（ ）
A． 6 B． 4 C． 2 D． 8
【答案】A
【解析】
【分析】
先将题目的式子化简，然后根据将多项式2（x2−3xy−y2）−（x2＋mxy＋2y2）化简后不含xy项，可知xy前
面的系数为0，从而可以计算出m的值．
【详解】
解：2（x2−3xy−y2）−（x2＋mxy＋2y2）
＝2x2−6xy−2y2−x2−mxy−2y2
＝x2＋（−6−m）xy−4y2，
∵将多项式2（x2−3xy−y2）−（x2＋mxy＋2y2）化简后不含xy项，∴−6−m＝0，
解得m＝−6，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确化简后的式子不含xy这一项就是xy前面的系数为0．
变式2．（2022·吉林省第二实验学校期中）已知关于x、y的多项式 合并后
不含有二次项，则m＋n的值为（ ）
A．－5 B．－1 C．1 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
先对多项式 进行合并同类项，然后再根据不含二次项可求解m、n的值，进
而代入求解即可．
【详解】
解：
，
∵不含二次项，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减是解题的关键．
变式3．（2021·甘肃庆阳·七年级期中）若多项式 的值与x的值无关，则m等于
（ ）
A．0 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
先将多项式化简，再根据多项式3x2-3（5+y-2x2）+mx2的值与x的值无关，即可得到m的值．
【详解】
解：3x2-3（5+y-2x2）+mx2
=3x2-15-3y+6x2+mx2
=（9+m）x2-3y-15，
∵多项式3x2-3（5+y-2x2）+mx2的值与x的值无关，
∴9+m=0，
解得m=-9，
故选：D．
【点睛】
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
◎题型7：整式加减的应用
例．（2022·吉林长春·七年级期末）某工厂一名技术人员拟用不锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是
一个正方形的窗户，相关数据(单位：米)如图所示，那么制造这个窗户所需不锈钢的总长是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出图形的外框的长度，再加上a即可．
【详解】
解：制造这个窗户所需不锈钢的总长是4a+2b+a=（5a+2b）米，
故选：B．【点睛】
本题考查了列代数式．解题的关键是弄清楚该窗户所含有边的条数和对应的边长．
变式1．（2022·浙江宁波·七年级期末）在一个长方形中，按如图所示的方式放入三个正方形①、②、③，
若要求出两个阴影部分的周之长差，只需测量一个小正方形的边长即可，则这个小正方形是（ ）
A．① B．②
C．③ D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③边长为c，BE=FG=x，BG=EF=y，可求出长方形
ABCD的周长和长方形MNFH的周长，再求出两个阴影部分的周长之差，从而可得答案．
【详解】
解：如图，
设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③边长为c，BE=FG=x，BG=EF=y，∴长方形ABCD
的周长为2（b+c-x）+2（a-y）=2a+2b+2c-2x-2y，
长方形MNFH的周长为2（a-x）+2（b-y）=2a+2b-2x-2y，
∴两个阴影部分的周长之差是：
2a+2b+2c-2x-2y-（2a+2b-2x-2y）=2a+2b+2c-2x-2y-2a-2b+2x+2y
=2c
∴若要求出两个阴影部分的周长之差、只需测量小正方形③的边长即可．
故选：C．
【点睛】
本题考查整式的加减运算，熟练学握整式加减运算法则是解决本题的关键．
变式2．（2022·河北·二模）数学实践活动课上，陈老师准备了一张边长为a和两张边长为 的正方
形纸片如图1、图2所示，将它们无重叠的摆放在矩形ABCD内，矩形未被覆盖的部分用阴影表示，设左
下阴影矩形的周长为 ，右上阴影矩形的周长为 ．陈老师说，如果 ，求a或b的值．下面是四位
同学得出的结果，其中正确的是（ ）
A．甲： ， B．乙： ，b的值不确定
C．丙：a的值不确定， D．丁：a，b的值都不确
【答案】C
【解析】
【分析】
设左下阴影矩形的宽为x，则AB=CD=a+x, 分别表示出左下阴影矩形的周长为 ，右上阴影矩形的周长为 ，
根据已知条件即可求得 ，进而即可求解．
【详解】
设左下阴影矩形的宽为x，则AB=CD=a+x,
右上阴影矩形的宽为a+x－2b
左下阴影矩形的周长l1=2(a+x)，右上阴影矩形的周长l=2(a+x－b)
2
l－l=2(a+x)－2(a+x－b)=2b，即2b=6，解得b=3，此时a不确定，
1 2
故选C.
【点睛】
本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．变式3．（2022·北京昌平·七年级期中）长方形的面积是 ，如果它的一边长为 ，则它的周
长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ，求出长方形的另一边长，然后求周长即可．
【详解】
解：由题意知，长方形的另一边长为 ，
∴长方形的周长为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了整式的乘除，整式的加减运算．解题的关键在于熟练掌握平方差公式．
